第5問 微分・三角関数の解答・解説

$f\left(x\right)=x-\tan x$ は $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ で連続・微分可能で

である。等号は $x=0$ のときだけなので、$f$ はこの区間で狭義単調減少である。したがって $f\left(x\right)=a$ の解は多くても1個である。

次に値域を見る。

であり、$x$ の部分は有界なので

である。よって、どんな実数 $a$ に対しても $f\left(x_{-}\right)>a>f\left(x_{+}\right)$ となる $x_{-}<x_{+}$ が区間内にとれる。$f$ は連続なので中間値の定理より $f\left(x\right)=a$ の解が $x_{-}$ と $x_{+}$ の間に存在する。

存在と一意性を合わせて、解はちょうど1個である。$■$

$a>0$ のとき $f\left(0\right)=0<a$ と減少性から解は負、$a<0$ のときは正、$a=0$ のときは $x=0$ である。とくに $a=n\pi >0$ での解 $x_n$ は $-\frac{\pi }{2}<x_n<0$ をみたす。

$C$ 上の点 $\left(u,\sin u\right)$ における接線は

である。$g\left(u\right)=\sin u-u\cos u$ とおく。2つの接線が同じ直線である条件は、傾きと切片がともに一致すること、すなわち

である。

$\cos u=\cos t$ は $u=t+2k\pi$ または $u=-t+2k\pi$（$k$ は整数）と同値である。$\left|t\right|<\frac{\pi }{2}$ より $\cos t>0$ であることに注意する。

(i) $u=t+2k\pi$ の場合。$\cos u=\cos t$ なので

である。$g\left(u\right)=g\left(t\right)$ は $2k\pi \cos t=0$、$\cos t>0$ より $k=0$、すなわち $u=t$ を意味する。しかし $u=t<\frac{\pi }{2}$ なので、$x\ge \frac{\pi }{2}$ の点にはならない。この場合は不適である。

(ii) $u=-t+2k\pi$ の場合。$\sin u=-\sin t$ なので

であり、$g\left(u\right)=g\left(t\right)$ は

すなわち

である。$\cos t>0$ で割って

を得る。

さらに $u\ge \frac{\pi }{2}$ を課す。$k$ の符号で分ける。

1. $k\ge 1$ のとき。$\left(♯\right)$ の右辺は正なので (1) の注意より $t<0$、よって $u=-t+2k\pi >2k\pi \ge 2\pi >\frac{\pi }{2}$ で条件をみたす。また (1) の一意性から $t=x_k$ である。
2. $k=0$ のとき。$\left(♯\right)$ は $t-\tan t=0$ で、(1) より $t=0$。このとき $u=0<\frac{\pi }{2}$ なので不適。
3. $k\le -1$ のとき。$\left(♯\right)$ の右辺は負なので $t>0$、よって $u=-t+2k\pi <2k\pi \le -2\pi <\frac{\pi }{2}$ で不適。

以上より、「$\mathrm{P}$ における接線が $x\ge \frac{\pi }{2}$ の点でも $C$ と接する」ことは「ある自然数 $k$ について $t-\tan t=k\pi$」と同値であり、(1) の一意性からこれは「$t$ が $x_1,x_2,x_3,\dots$ のいずれかと等しい」ことと同値である。$■$