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大阪大学　2021年度　前期日程　理系

第3問微分・積分・極限の解答・解説

微分による不等式・定積分と不等式・区分求積法・極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $n$ を自然数、 $t$ を $t \geq 1$ をみたす実数とする。 $x \geq t$ のとき $- \frac{( x - t ) ^{2}}{2} \leq lo g x - lo g t - \frac{1}{t} (x - t) \leq 0$ を示す

答差をとって微分すると、右の不等式は $\frac{1}{x} - \frac{1}{t} \leq 0$ から、左の不等式は $(x - t) \frac{x t - 1}{x t} \geq 0$ から出る

$x = t$ で $0$ になる関数を2つ作り、 $x \geq t$ での符号を微分で見る。

右側。 $h (x) = lo g x - lo g t - \frac{1}{t} (x - t)$ とおくと $h (t) = 0$ で

h^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{t} = \frac{t - x}{x t}

である。 $x \geq t \geq 1 > 0$ なので $t - x \leq 0$ 、 $x t > 0$ であり $h^{'} (x) \leq 0$ 、つまり $h$ は $x \geq t$ で減少する。よって $h (x) \leq h (t) = 0$ である。

左側。 $k (x) = h (x) + \frac{( x - t ) ^{2}}{2}$ とおくと $k (t) = 0$ で

k^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{t} + (x - t) = \frac{t - x}{x t} + (x - t) = (x - t) (1 - \frac{1}{x t}) = (x - t) \cdot \frac{x t - 1}{x t}

である。 $x \geq t \geq 1$ より $x - t \geq 0$ 、 $x t \geq 1$ なので $x t - 1 \geq 0$ 、 $x t > 0$ であり $k^{'} (x) \geq 0$ 、つまり $k$ は増加する。よって $k (x) \geq k (t) = 0$ である。

2つを合わせて

- \frac{( x - t ) ^{2}}{2} \leq lo g x - lo g t - \frac{1}{t} (x - t) \leq 0

である。 $■$

t = 1 のとき。真ん中が y = log x、上が x = t での接線 y = log t + (x−t)/t、下が接線から (x−t)²/2 を引いた放物線。x ≧ t では接線が上から、放物線が下から log x を挟む。

$20$ 万組の $(t, x)$ で違反は $0$ 件だった。

左側で $x t \geq 1$ を使うところが $t \geq 1$ の効き所。 $0 < t < 1$ だと $x$ が $t$ に近いとき $k^{'} < 0$ になり、不等式は成り立たない。

(2) $- \frac{1}{6 n ^{3}} \leq \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{2 t n ^{2}} \leq 0$ を示す

答(1) の各辺を $t$ から $t + \frac{1}{n}$ まで積分するだけ

$\int_{t}^{t + \frac{1}{n}} (x - t) d x = \frac{1}{2 n ^{2}}$ 、 $\int_{t}^{t + \frac{1}{n}} (x - t)^{2} d x = \frac{1}{3 n ^{3}}$ を使う。

$t \leq x \leq t + \frac{1}{n}$ では $x \geq t$ なので (1) が使える。各辺を $t$ から $t + \frac{1}{n}$ まで積分すると、不等号の向きは保たれる。

真ん中の積分は

\int_{t}^{t + \frac{1}{n}} {lo g x - lo g t - \frac{1}{t} (x - t)} d x = \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{t} [\frac{( x - t ) ^{2}}{2}]_{t}^{t + \frac{1}{n}} = \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{2 t n ^{2}}

である。左辺の積分は

\int_{t}^{t + \frac{1}{n}} {- \frac{( x - t ) ^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{2} [\frac{( x - t ) ^{3}}{3}]_{t}^{t + \frac{1}{n}} = - \frac{1}{6 n ^{3}}

であり、右辺の積分は $0$ である。したがって

- \frac{1}{6 n ^{3}} \leq \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{2 t n ^{2}} \leq 0

である。 $■$

数値積分で $400$ 組確かめて違反 $0$ 件だった。

$\frac{1}{t}$ は $x$ について定数なので積分の外に出せる。ここを $x$ の関数と勘違いしない。

(3) $a_{n} = k = 0 \sum n - 1 lo g (1 + \frac{k}{n})$ とおく。 $n \to \infty lim (a_{n} - p n) = q$ をみたす実数 $p, q$ を求める

答 $p = 2 lo g 2 - 1$ 、 $q = - \frac{lo g 2}{2}$

(2) を $t = 1 + \frac{k}{n}$ （ $k = 0, \dots, n - 1$ ）で足し合わせる。積分は $\int_{1}^{2} lo g x d x$ にまとまり、残った項は区分求積法で $lo g 2$ に向かう。

$t_{k} = 1 + \frac{k}{n}$ （ $k = 0, 1, \dots, n - 1$ ）とおくと $t_{k} \geq 1$ なので (2) が使える。 $t_{k} + \frac{1}{n} = t_{k + 1}$ だから、 $k$ について足すと

- \frac{n}{6 n ^{3}} \leq k = 0 \sum n - 1 \int_{t_{k}}^{t_{k + 1}} lo g x d x - \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 lo g t_{k} - \frac{1}{2 n ^{2}} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{t _{k}} \leq 0

である。積分は区間がつながって

k = 0 \sum n - 1 \int_{t_{k}}^{t_{k + 1}} lo g x d x = \int_{1}^{2} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{2} = 2 lo g 2 - 1

となる。また $k = 0 \sum n - 1 lo g t_{k} = a_{n}$ である。さらに

R_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}

とおくと、残りの項は $\frac{1}{2 n} R_{n}$ と書ける。まとめると

- \frac{1}{6 n ^{2}} \leq (2 lo g 2 - 1) - \frac{a _{n}}{n} - \frac{R _{n}}{2 n} \leq 0

である。両辺に $n$ を掛けて（ $n > 0$ なので向きは保たれる）

- \frac{1}{6 n} \leq (2 lo g 2 - 1) n - a_{n} - \frac{R _{n}}{2} \leq 0

である。すなわち

- \frac{R _{n}}{2} \leq a_{n} - (2 lo g 2 - 1) n \leq - \frac{R _{n}}{2} + \frac{1}{6 n}

である。 $R_{n}$ は区分求積法により

n \to \infty lim R_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = [lo g (1 + x)]_{0}^{1} = lo g 2

であり、 $\frac{1}{6 n} \to 0$ である。はさみうちの原理より

n \to \infty lim {a_{n} - (2 lo g 2 - 1) n} = - \frac{lo g 2}{2}

である。よって

p = 2 lo g 2 - 1, q = - \frac{lo g 2}{2}

である。

$p$ だけなら区分求積法で $\frac{a _{n}}{n} \to \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = 2 lo g 2 - 1$ とすぐ出る。難しいのは「ずれ」 $q$ のほうで、そこに (1)(2) の精密な不等式が効いている。 $q = - \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{2}$ （ $f (x) = lo g (1 + x)$ ）という形は、台形公式と長方形公式の差として説明できる。

$a_{n} - p n$ は $n = 1 0^{5}$ で $- 0.3465740$ 、 $q = - 0.3465736$ だった。

$a_{n}$ の和は $k = 0$ から $n - 1$ まで。 $k = n$ の項（ $lo g 2$ ）を入れてしまうと $q$ が $+ \frac{lo g 2}{2}$ になる。

$\frac{R _{n}}{2}$ の極限を取る前に $n$ を掛ける順番を間違えると、 $q$ が出ずに $0$ になってしまう。不等式を $n$ 倍してから極限を取る。

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問題文について

(1)n を自然数、t を t≥1 をみたす実数とする。x≥t のとき −2(x−t)2​≤logx−logt−t1​(x−t)≤0 を示す

(2)−6n31​≤∫tt+n1​​logxdx−n1​logt−2tn21​≤0 を示す

(3)an​=k=0∑n−1​log(1+nk​) とおく。n→∞lim​(an​−pn)=q をみたす実数 p,q を求める

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