独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

大阪大学　2021年度　前期日程　理系

第4問積分・整数の解答・解説

定積分の計算・整数の合同・約数の個数・因数分解当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)整数 $a, b, c$ が $\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x = \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x \dots (*)$ および $a \neq = b$ をみたすとき、 $c$ が $3$ の倍数であることを示す

答 $(*)$ は $(b - a) {(2 a + b) (a + 2 b) + 3 c^{2}} = 0$ と同値。 $a \neq = b$ より $(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}$ 。法 $3$ で見ると $3 ∣ (a - b)$ がわかり、 $a - b = 3 m$ を戻すと $3 (a + m) (a + 2 m) = - c^{2}$ から $3 ∣ c$

両辺を計算して因数分解し、合同式を2段階で使う。

両辺を計算すると

\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x = \frac{c ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{b}{2} (c^{2} - a^{2}) = \frac{c ^{3} - b ^{3}}{3} + \frac{a}{2} (c^{2} - b^{2})

なので、差をとると

\frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{c ^{2}}{2} (b - a) + \frac{ab}{2} (b - a) = (b - a) {\frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} + \frac{c ^{2}}{2} + \frac{ab}{2}}

である。 $6$ 倍して整理すると

(b - a) (2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} + 3 c^{2}) = 0

であり、 $2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} = (2 a + b) (a + 2 b)$ だから

(b - a) {(2 a + b) (a + 2 b) + 3 c^{2}} = 0

となる。 $a \neq = b$ なので

(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2} \dots (* *)

である。

第1段。 $(* *)$ の右辺は $3$ の倍数である。法 $3$ で $2 a + b \equiv b - a$ 、 $a + 2 b \equiv a - b$ なので

(2 a + b) (a + 2 b) \equiv - (a - b)^{2} (mod 3)

である。よって $3 ∣ (a - b)^{2}$ であり、 $3$ は素数なので $3 ∣ (a - b)$ である。

第2段。 $b - a = 3 m$ （ $m$ は $0$ でない整数）とおくと

2 a + b a + 2 b = 3 a + (b - a) = 3 (a + m) = 3 a + 2 (b - a) = 3 (a + 2 m)

なので、 $(* *)$ は

9 (a + m) (a + 2 m) = - 3 c^{2}, c^{2} = - 3 (a + m) (a + 2 m)

となる。右辺は $3$ の倍数なので $3 ∣ c^{2}$ 、 $3$ は素数だから $3 ∣ c$ である。すなわち $c$ は $3$ の倍数である。 $■$

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ での全数調査で、現れた $c$ はすべて $3$ の倍数だった。

第1段だけでは「 $a - b$ が $3$ の倍数」しか出ず、 $c$ については何も言えない。もう一度代入して $9$ が現れるところまで進める必要がある。

$a \neq = b$ を使わないと $(*)$ は $b - a = 0$ でも成り立ってしまう（このとき $c$ は何でもよい）。

(2) $c = 3600$ のとき、 $(*)$ および $a < b$ をみたす整数の組 $(a, b)$ の個数を求める

答 $180$ 個

$u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと $uv = - 3 c^{2}$ 。 $a, b$ が整数になる条件は $3 ∣ (u + v)$ で、これは $u$ の $3$ 指数がちょうど $1$ 以上 $4$ 以下であることに言い換わる。

$a < b$ なので $a \neq = b$ であり、(1) より条件は $(* *)$ と同値である。 $u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと

uv = - 3 c^{2} = - 3 \cdot 360 0^{2}

である。逆に $u, v$ から

a = \frac{2 u - v}{3}, b = \frac{2 v - u}{3}

と戻せる。 $2 u - v \equiv - (u + v)$ 、 $2 v - u \equiv - (u + v) (mod 3)$ なので、 $a, b$ がともに整数になる条件は

3 ∣ (u + v)

の1つだけである。また $v - u = b - a$ なので、 $a < b ⟺ u < v$ である。

$uv = - 3 c^{2} < 0$ なので $u, v$ は異符号であり、 $u < v$ と合わせて $u < 0 < v$ である。そこで $u = - d$ （ $d$ は正の整数）とおくと、 $d$ は

N = 3 \cdot 360 0^{2} = 3 \cdot (2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2})^{2} = 2^{8} \cdot 3^{5} \cdot 5^{4}

の正の約数で、 $v = \frac{N}{d}$ である。逆に $N$ の正の約数 $d$ ひとつに対して $(u, v) = (- d, \frac{N}{d})$ がひと通り決まり、 $u < 0 < v$ も自動的に成り立つ。

残る条件は $3 ∣ (u + v) = \frac{N}{d} - d$ である。 $d$ に含まれる $3$ の個数を $e$ （ $0 \leq e \leq 5$ ）とすると、 $\frac{N}{d}$ に含まれる $3$ の個数は $5 - e$ である。

$e = 0$ のとき。 $d$ は $3$ の倍数でなく $\frac{N}{d}$ は $3$ の倍数なので、差は $3$ の倍数でない。
$1 \leq e \leq 4$ のとき。 $d$ も $\frac{N}{d}$ も $3$ の倍数なので、差は $3$ の倍数である。
$e = 5$ のとき。 $d$ は $3$ の倍数だが $\frac{N}{d}$ は $3$ の倍数でないので、差は $3$ の倍数でない。

よって条件は $1 \leq e \leq 4$ である。 $d = 2^{i} 3^{e} 5^{j}$ （ $0 \leq i \leq 8$ 、 $0 \leq j \leq 4$ ）と書けるので、求める個数は

9 \times 4 \times 5 = 180

である。すなわち $(a, b)$ は $180$ 組ある。

たとえば $d = 3$ のとき $u = - 3$ 、 $v = \frac{N}{3} = 12960000$ で、 $a = \frac{- 6 - 12960000}{3} = - 4320002$ 、 $b = \frac{25920000 + 3}{3} = 8640001$ である。たしかに整数で $a < b$ になっている。

$N$ の約数を全部調べて数えると $180$ 個で、どの組でも定積分の等式が厳密に成り立った。

$u, v$ から $a, b$ に戻すとき、整数になる条件は2つあるように見えて、法 $3$ では同じ1つの条件に帰着する。2つ別々に場合分けすると混乱する。

$N$ の約数の総数 $9 \cdot 6 \cdot 5 = 270$ から引くのではなく、 $e$ の範囲を直接 $4$ 通りに絞るほうが速い。

$a < b$ を $a \leq b$ にすると $a = b$ の場合が混ざるが、 $a = b$ では $(* *)$ を経由できないので別扱いになる。

2021年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる阪大理系数学 2027

阪大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・120ページ・2026年7月27日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)整数 a,b,c が ∫ac​(x2+bx)dx=∫bc​(x2+ax)dx ⋯(∗) および a=b をみたすとき、c が 3 の倍数であることを示す

(2)c=3600 のとき、(∗) および a<b をみたす整数の組 (a,b) の個数を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)整数 $a, b, c$ が $\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x = \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x \dots (*)$ および $a \neq = b$ をみたすとき、 $c$ が $3$ の倍数であることを示す

(2) $c = 3600$ のとき、 $(*)$ および $a < b$ をみたす整数の組 $(a, b)$ の個数を求める