第2問 空間ベクトルの解答・解説

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおく。4点が同一平面上にないので、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は1次独立である。内分点を書くと

である（${\mathrm{B}}_0$ は ${\mathrm{OB}}_0:{\mathrm{B}}_0\mathrm{B}=1:2$ なので $\frac{1}{3}\vec{b}$）。

4点が同一平面上にある条件は、実数 $\alpha ,\beta$ を用いて $\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0\mathrm{Q}}=\alpha \overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0}+\beta \overrightarrow{{\mathrm{A}}_0\mathrm{P}}$ と書けることである。各ベクトルは

なので、1次独立性から係数を比べて

である。第2式から $\alpha =3\left(1-t\right)$、第3式から $\beta =\frac{t}{s}$（$s>0$）。これを第1式に入れると

であり、整理すると

である。$0<s<1$ のとき $2s<s+1$ なので $0<t<1$ をみたしており、条件に合う。

この問題は同じ年度の理系 第2問とまったく同じ設定で、答えも同じである。空間ベクトルの基本（基底・1次独立・係数比較）だけで解けるので、文理共通で出せる形になっている。

与えられた長さと角から

であり、${\left|\vec{a}\right|}^2=1$、${\left|\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{c}\right|}^2=4$ である。

$\angle \mathrm{POQ}=90^{\circ }$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=0$ である。展開すると

なので、条件は

である。(1) の $t=\frac{2s}{s+1}$ を代入し、両辺に $s+1$ を掛けると

すなわち

である。$0<s<1$ より $s=\frac{1}{5}$ である。このとき $t=\frac{2/5}{6/5}=\frac{1}{3}$ で、たしかに $0<t<1$ をみたす。