第1問 微分・図形と方程式の解答・解説

$y=x^2$ のとき $y^{\prime }=2x$ なので、$C$ 上の点 $\left(t,t^2\right)$ における接線は

である。これが $\mathrm{A}\left(a,-1\right)$ を通る条件は

である。$\left(\ast \right)$ は $t$ の2次方程式で、判別式は

である（$a$ がどんな実数でも正）。よって $\left(\ast \right)$ は相異なる2つの実数解をもつ。

接点が異なれば接線も異なる。実際、接線 $y=2tx-t^2$ の傾きは $2t$ なので、$t$ が違えば傾きが違う。したがって $\mathrm{A}$ を通る $C$ の接線はちょうど2本である。$■$

$\mathrm{A}$ の $y$ 座標が $-1$（放物線より下）なので、$a$ がどこにあっても接線が2本引ける。もし $\mathrm{A}$ が放物線の上側にあれば $0$ 本になる。$\left(\ast \right)$ の定数項が $-1$ であること（$<0$）が「いつでも2本」の正体である。

(1) の $\left(\ast \right)$ の2解を $p,q$（$p\ne q$）とすると、$\mathrm{P}\left(p,p^2\right)$、$\mathrm{Q}\left(q,q^2\right)$ である。解と係数の関係より

である。直線 $\mathrm{PQ}$ の傾きは

である（$p\ne q$ なので割ってよい）。$\mathrm{P}$ を通るので、$\mathrm{PQ}$ の式は

である。定数項は $2a=p+q$ を使って

となる。よって

である。$■$

$y=2ax+1$ は $a$ によらず点 $\left(0,1\right)$ を通る。$\mathrm{A}$ が直線 $y=-1$ の上を動くとき、2接点を結ぶ直線はつねに $\left(0,1\right)$ を通る、ということである（$y=-1$ を準線とみたときの焦点にあたる）。

直線を $2ax-y+1=0$ と書くと、点と直線の距離の公式より

である（分子は $2\left(a^2+1\right)>0$ なので絶対値は外せる）。

$u=4a^2+1$ とおくと $u\ge 1$ で、$a^2=\frac{u-1}{4}$ である。分子は

なので

である。$\sqrt{u}>0$ なので相加平均と相乗平均の関係から

であり、等号は $\sqrt{u}=\frac{3}{\sqrt{u}}$、すなわち $u=3$ のときに成り立つ。$u=3$ は $4a^2+1=3$、つまり

である。これは $u\ge 1$ をみたすので実現できる。したがって

である。