第3問積分・整数の解答・解説

定積分の計算・因数分解・約数の列挙・整数の合同当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/19

問題文について

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(1)整数 $a, b, c$ に関する条件 $\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x = \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x \dots ()$ を考える。 $a, b, c$ が $()$ および $a \neq = b$ をみたすとき、 $c^{2}$ を $a, b$ で表す

答 $c^{2} = - \frac{( 2 a + b ) ( a + 2 b )}{3} = - \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{3}$

両辺を計算して差をとると $b - a$ でくくれる。

両辺を計算すると

\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x = \frac{c ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{b}{2} (c^{2} - a^{2}) = \frac{c ^{3} - b ^{3}}{3} + \frac{a}{2} (c^{2} - b^{2})

なので、差をとると

\frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{c ^{2}}{2} (b - a) + \frac{ab}{2} (b - a) = (b - a) {\frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} + \frac{c ^{2}}{2} + \frac{ab}{2}}

である。 $6$ 倍して整理すると

(b - a) (2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} + 3 c^{2}) = 0

であり、 $2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} = (2 a + b) (a + 2 b)$ だから

(b - a) {(2 a + b) (a + 2 b) + 3 c^{2}} = 0

となる。 $a \neq = b$ なので

c^{2} = - \frac{( 2 a + b ) ( a + 2 b )}{3} \dots (* *)

である。展開した形で書けば $c^{2} = - \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{3}$ である。

左辺は平方数なので $0$ 以上。つまり $(2 a + b) (a + 2 b) \leq 0$ が必要で、 $(*)$ をみたす $a, b$ はかなり限られる。(2) はこれを使って探す。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ の全数調査で、条件をみたす組はすべてこの式をみたした。

$a \neq = b$ を使わないと、 $b - a = 0$ （このとき $c$ は何でもよい）が混ざる。

$2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2}$ の因数分解 $(2 a + b) (a + 2 b)$ は (2)(3) でそのまま効く。展開形のままにしない。

(2) $c = 3$ のとき、 $(*)$ および $a < b$ をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (- 7, 5), (- 5, 7)$

$u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと $uv = - 27$ 。 $a, b$ が整数になる条件は $3 ∣ (u + v)$ 。

$c = 3$ を $(* *)$ に入れると

(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2} = - 27

である。 $u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと $uv = - 27$ で、逆に

a = \frac{2 u - v}{3}, b = \frac{2 v - u}{3}

と戻せる。 $2 u - v \equiv - (u + v)$ 、 $2 v - u \equiv - (u + v) (mod 3)$ なので、 $a, b$ がともに整数になる条件は $3 ∣ (u + v)$ の1つだけである。また $v - u = b - a$ なので $a < b ⟺ u < v$ である。

$uv = - 27 < 0$ なので $u, v$ は異符号で、 $u < v$ と合わせて $u < 0 < v$ である。 $u = - d$ （ $d$ は $27$ の正の約数）とおくと $v = \frac{27}{d}$ で、 $d \in {1, 3, 9, 27}$ である。

$d = 1$ ： $u + v = - 1 + 27 = 26$ は $3$ の倍数でない。
$d = 3$ ： $u + v = - 3 + 9 = 6$ は $3$ の倍数。 $a = \frac{- 6 - 9}{3} = - 5$ 、 $b = \frac{18 + 3}{3} = 7$ 。
$d = 9$ ： $u + v = - 9 + 3 = - 6$ は $3$ の倍数。 $a = \frac{- 18 - 3}{3} = - 7$ 、 $b = \frac{6 + 9}{3} = 5$ 。
$d = 27$ ： $u + v = - 27 + 1 = - 26$ は $3$ の倍数でない。

よって

(a, b) = (- 5, 7), (- 7, 5)

の2組である。確かめると $(- 5, 7)$ では $(2 a + b) (a + 2 b) = (- 3) \cdot 9 = - 27$ 、 $(- 7, 5)$ では $(- 9) \cdot 3 = - 27$ で、どちらも合う。また $a < b$ もみたしている。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 200$ の全数調査でも、この2組だけだった。

$u, v$ から $a, b$ に戻すとき、整数になる条件は2つあるように見えて、法 $3$ では同じ1つの条件に帰着する。

$d = 1, 27$ を落とさずに全部調べる。約数は $4$ 個しかないので、素直に並べるのが速い。

(3)整数 $a, b, c$ が $(*)$ および $a \neq = b$ をみたすとき、 $c$ が $3$ の倍数であることを示す

答法 $3$ で $(2 a + b) (a + 2 b) \equiv - (a - b)^{2}$ なので $3 ∣ (a - b)$ 。 $b - a = 3 m$ を戻すと $9 (a + m) (a + 2 m) = - 3 c^{2}$ から $3 ∣ c^{2}$ 、よって $3 ∣ c$

合同式を2段階で使う。1段目で $a - b$ 、2段目で $c$ 。

$(* *)$ を分母を払った形で書くと

(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}

である。

第1段。右辺は $3$ の倍数である。法 $3$ で $2 a + b \equiv b - a$ 、 $a + 2 b \equiv a - b$ なので

(2 a + b) (a + 2 b) \equiv - (a - b)^{2} (mod 3)

である。よって $3 ∣ (a - b)^{2}$ であり、 $3$ は素数なので $3 ∣ (a - b)$ である。

第2段。 $b - a = 3 m$ （ $m$ は $0$ でない整数）とおくと

2 a + b a + 2 b = 3 a + (b - a) = 3 (a + m) = 3 a + 2 (b - a) = 3 (a + 2 m)

なので

9 (a + m) (a + 2 m) = - 3 c^{2}, c^{2} = - 3 (a + m) (a + 2 m)

となる。右辺は $3$ の倍数なので $3 ∣ c^{2}$ 、 $3$ は素数だから $3 ∣ c$ である。すなわち $c$ は $3$ の倍数である。 $■$

(2) の答えでも確かめられる。 $(a, b) = (- 5, 7)$ では $a - b = - 12$ でたしかに $3$ の倍数、 $c = 3$ もそうである。(2) で $c = 3$ という「 $3$ の倍数」が与えられていたのは偶然ではなく、(3) が言うとおり $c$ は $3$ の倍数しかありえない。