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大阪大学　2021年度　前期日程　文系

阪大文系 2021年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/19

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/19時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分・図形と方程式

放物線の接線・2次方程式の判別式・解と係数の関係・点と直線の距離当サイトの体感難易度：標準

(1) $a$ を実数、 $C$ を放物線 $y = x^{2}$ とする。点 $A (a, - 1)$ を通るような $C$ の接線が、ちょうど2本存在することを示す

答接点の $x$ 座標 $t$ は $t^{2} - 2 a t - 1 = 0$ をみたす。判別式は $4 (a^{2} + 1) > 0$ なので $t$ は相異なる2つ。接点が違えば接線も違うので、接線はちょうど2本

接点を $(t, t^{2})$ とおき、接線が $A$ を通る条件を $t$ の方程式にする。

$y = x^{2}$ のとき $y^{'} = 2 x$ なので、 $C$ 上の点 $(t, t^{2})$ における接線は

y = t^{2} + 2 t (x - t) = 2 t x - t^{2}

である。これが $A (a, - 1)$ を通る条件は

- 1 = 2 t a - t^{2}, t^{2} - 2 a t - 1 = 0 \dots (*)

である。 $(*)$ は $t$ の2次方程式で、判別式は

\frac{D}{4} = a^{2} + 1 > 0

である（ $a$ がどんな実数でも正）。よって $(*)$ は相異なる2つの実数解をもつ。

接点が異なれば接線も異なる。実際、接線 $y = 2 t x - t^{2}$ の傾きは $2 t$ なので、 $t$ が違えば傾きが違う。したがって $A$ を通る $C$ の接線はちょうど2本である。 $■$

$A$ の $y$ 座標が $- 1$ （放物線より下）なので、 $a$ がどこにあっても接線が2本引ける。もし $A$ が放物線の上側にあれば $0$ 本になる。 $(*)$ の定数項が $- 1$ であること（ $< 0$ ）が「いつでも2本」の正体である。

$2$ 万通りの $a$ で、2解から作った接線がどちらも $A$ を通り、2接点は相異なった。

「接点が2つ」から「接線が2本」を言うには、接点が違えば接線も違うことを一言添える。傾き $2 t$ で区別できる。

(2)点 $A (a, - 1)$ から $C$ に2本の接線を引き、接点を $P, Q$ とする。直線 $PQ$ の方程式が $y = 2 a x + 1$ であることを示す

答接点の $x$ 座標を $p, q$ とすると解と係数の関係から $p + q = 2 a$ 、 $pq = - 1$ 。傾きは $\frac{p ^{2} - q ^{2}}{p - q} = p + q = 2 a$ 、切片は $p^{2} - 2 a p = - pq = 1$

$(*)$ の解と係数の関係を使う。

(1) の $(*)$ の2解を $p, q$ （ $p \neq = q$ ）とすると、 $P (p, p^{2})$ 、 $Q (q, q^{2})$ である。解と係数の関係より

p + q = 2 a, pq = - 1

である。直線 $PQ$ の傾きは

\frac{p ^{2} - q ^{2}}{p - q} = \frac{( p + q ) ( p - q )}{p - q} = p + q = 2 a

である（ $p \neq = q$ なので割ってよい）。 $P$ を通るので、 $PQ$ の式は

y = 2 a (x - p) + p^{2} = 2 a x + (p^{2} - 2 a p)

である。定数項は $2 a = p + q$ を使って

p^{2} - 2 a p = p^{2} - (p + q) p = - pq = 1

となる。よって

PQ : y = 2 a x + 1

である。 $■$

a = √2/2（距離が最小になるとき）。A から引いた 2 本の接線の接点 P、Q を結ぶと、直線 PQ は y = 2ax + 1 になる。a がどこでも PQ は点 (0, 1) を通る。

$y = 2 a x + 1$ は $a$ によらず点 $(0, 1)$ を通る。 $A$ が直線 $y = - 1$ の上を動くとき、2接点を結ぶ直線はつねに $(0, 1)$ を通る、ということである（ $y = - 1$ を準線とみたときの焦点にあたる）。

$2$ 万通りの $a$ で $P, Q$ がともに $y = 2 a x + 1$ の上にあった。

$p, q$ を具体的に $a \pm a^{2} + 1$ と書き下しても解けるが、根号が残って計算が重い。解と係数の関係だけで足りる。

(3)点 $A (a, - 1)$ と直線 $y = 2 a x + 1$ の距離を $L$ とする。 $a$ が実数全体を動くとき、 $L$ の最小値とそのときの $a$ の値を求める

答最小値 $3$ 、 $a = \pm \frac{2}{2}$

$L = \frac{2 a ^{2} + 2}{4 a ^{2} + 1}$ 。 $u = 4 a^{2} + 1$ とおくと $L = \frac{1}{2} (u + \frac{3}{u})$ で相加相乗平均。

直線を $2 a x - y + 1 = 0$ と書くと、点と直線の距離の公式より

L = \frac{∣ 2 a \cdot a - ( - 1 ) + 1 ∣}{( 2 a ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{2 a ^{2} + 2}{4 a ^{2} + 1}

である（分子は $2 (a^{2} + 1) > 0$ なので絶対値は外せる）。

$u = 4 a^{2} + 1$ とおくと $u \geq 1$ で、 $a^{2} = \frac{u - 1}{4}$ である。分子は

2 a^{2} + 2 = \frac{u - 1}{2} + 2 = \frac{u + 3}{2}

なので

L = \frac{u + 3}{2 u} = \frac{1}{2} (u + \frac{3}{u})

である。 $u > 0$ なので相加平均と相乗平均の関係から

u + \frac{3}{u} \geq 2 u \cdot \frac{3}{u} = 23

であり、等号は $u = \frac{3}{u}$ 、すなわち $u = 3$ のときに成り立つ。 $u = 3$ は $4 a^{2} + 1 = 3$ 、つまり

a^{2} = \frac{1}{2}, a = \pm \frac{2}{2}

である。これは $u \geq 1$ をみたすので実現できる。したがって

L の最小値は \frac{2 3}{2} = 3 (a = \pm \frac{2}{2})

である。

$60$ 万等分の走査でも最小 $1.7320508$ （ $a = - 0.7071$ ）で、 $3$ と一致した。

相加相乗平均を使うときは、等号が実際に成り立つ（ $u = 3$ が $u \geq 1$ の範囲にある）ことを確かめる。

$a = \pm \frac{2}{2}$ の2つとも答え。 $L$ が偶関数なので片方だけにしない。

▸ 別解：そのまま微分する

$L$ は偶関数なので $a \geq 0$ で考えてよい。 $L^{2} = \frac{( 2 a ^{2} + 2 ) ^{2}}{4 a ^{2} + 1}$ を $a$ で微分すると

(L^{2})^{'} = \frac{8 a ( 2 a ^{2} + 2 ) ( 4 a ^{2} + 1 ) - 8 a ( 2 a ^{2} + 2 ) ^{2}}{( 4 a ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{8 a ( 2 a ^{2} + 2 ) ( 2 a ^{2} - 1 )}{( 4 a ^{2} + 1 ) ^{2}}

である。 $a > 0$ では符号は $2 a^{2} - 1$ と同じなので、 $a = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ で最小。同じ答えになるが、置きかえのほうが式が軽い。

第1問だけのページ

第2問　空間ベクトル

空間ベクトル・共面条件・内分点・内積と角当サイトの体感難易度：標準

(1)空間内に同一平面上にない4点 $O, A, B, C$ がある。 $0 < s < 1$ 、 $0 < t < 1$ とし、 $OA$ を $1 : 1$ に内分する点を $A_{0}$ 、 $OB$ を $1 : 2$ に内分する点を $B_{0}$ 、 $AC$ を $s : (1 - s)$ に内分する点を $P$ 、 $BC$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $Q$ とする。 $A_{0}, B_{0}, P, Q$ が同一平面上にあるとき、 $t$ を $s$ で表す

答 $t = \frac{2 s}{s + 1}$

$a, b, c$ を基底にとり、 $A_{0} Q = α A_{0} B_{0} + β A_{0} P$ の係数を比較する。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。4点が同一平面上にないので、 $a, b, c$ は1次独立である。内分点を書くと

OA_{0} OP = \frac{1}{2} a, = (1 - s) a + s c, OB_{0} OQ = \frac{1}{3} b, = (1 - t) b + t c

である（ $B_{0}$ は $OB_{0} : B_{0} B = 1 : 2$ なので $\frac{1}{3} b$ ）。

4点が同一平面上にある条件は、実数 $α, β$ を用いて $A_{0} Q = α A_{0} B_{0} + β A_{0} P$ と書けることである。各ベクトルは

A_{0} B_{0} A_{0} P A_{0} Q = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b = (\frac{1}{2} - s) a + s c = - \frac{1}{2} a + (1 - t) b + t c

なので、1次独立性から係数を比べて

⎩ ⎨ ⎧ - \frac{1}{2} = - \frac{α}{2} + β (\frac{1}{2} - s) 1 - t = \frac{α}{3} t = β s

である。第2式から $α = 3 (1 - t)$ 、第3式から $β = \frac{t}{s}$ （ $s > 0$ ）。これを第1式に入れると

- \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} (1 - t) + \frac{t}{s} (\frac{1}{2} - s) = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} t + \frac{t}{2 s} - t

であり、整理すると

1 = \frac{t}{2} + \frac{t}{2 s} = \frac{t ( s + 1 )}{2 s}, t = \frac{2 s}{s + 1}

である。 $0 < s < 1$ のとき $2 s < s + 1$ なので $0 < t < 1$ をみたしており、条件に合う。

この問題は同じ年度の理系第2問とまったく同じ設定で、答えも同じである。空間ベクトルの基本（基底・1次独立・係数比較）だけで解けるので、文理共通で出せる形になっている。

$2$ 万組の無作為な配置で、 $t = \frac{2 s}{s + 1}$ のとき4点が同一平面上にあった。

$1 : 2$ の内分を $\frac{2}{3} b$ と取り違えやすい。 $OB_{0} : B_{0} B = 1 : 2$ なので $OB_{0}$ は $OB$ の $\frac{1}{3}$ である。

「同一平面上にない4点」は $a, b, c$ の1次独立を保証するための条件。これを明示しないと係数比較ができない。

(2) $OA = 1$ 、 $OB = OC = 2$ 、 $∠ AOB = 12 0^{\circ}$ 、 $∠ BOC = 9 0^{\circ}$ 、 $∠ COA = 6 0^{\circ}$ 、 $∠ POQ = 9 0^{\circ}$ のとき、 $s$ の値を求める

答 $s = \frac{1}{5}$

内積をすべて数値にし、 $OP \cdot OQ = 0$ を $s, t$ の式にしてから (1) を代入。

与えられた長さと角から

a \cdot b b \cdot c c \cdot a = 1 \cdot 2 cos 12 0^{\circ} = - 1 = 2 \cdot 2 cos 9 0^{\circ} = 0 = 2 \cdot 1 cos 6 0^{\circ} = 1

であり、 $∣ a ∣^{2} = 1$ 、 $b^{2} = ∣ c ∣^{2} = 4$ である。

$∠ POQ = 9 0^{\circ}$ は $OP \cdot OQ = 0$ である。展開すると

OP \cdot OQ = {(1 - s) a + s c} \cdot {(1 - t) b + t c} = - (1 - s) (1 - t) + (1 - s) t + 0 + 4 s t = - 1 + s + 2 t + 2 s t

なので、条件は

s + 2 t + 2 s t = 1

である。(1) の $t = \frac{2 s}{s + 1}$ を代入し、両辺に $s + 1$ を掛けると

s (s + 1) + 4 s + 4 s^{2} = s + 1, 5 s^{2} + 4 s - 1 = 0

すなわち

(5 s - 1) (s + 1) = 0

である。 $0 < s < 1$ より $s = \frac{1}{5}$ である。このとき $t = \frac{2/5}{6/5} = \frac{1}{3}$ で、たしかに $0 < t < 1$ をみたす。

座標を作って $OP \cdot OQ = 0$ を数値的に解くと $s = 0.200001$ の1つだけだった。

$∣ c ∣^{2} = 4$ を $1$ と間違えると $s t$ の係数がずれて別の答えになる。長さが $A$ だけ $1$ であることに注意。

出てくる $s = - 1$ は $0 < s < 1$ の外なので捨てる。

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第3問　積分・整数

定積分の計算・因数分解・約数の列挙・整数の合同当サイトの体感難易度：やや難

(1)整数 $a, b, c$ に関する条件 $\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x = \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x \dots ()$ を考える。 $a, b, c$ が $()$ および $a \neq = b$ をみたすとき、 $c^{2}$ を $a, b$ で表す

答 $c^{2} = - \frac{( 2 a + b ) ( a + 2 b )}{3} = - \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{3}$

両辺を計算して差をとると $b - a$ でくくれる。

両辺を計算すると

\int_{a}^{c} (x^{2} + b x) d x \int_{b}^{c} (x^{2} + a x) d x = \frac{c ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{b}{2} (c^{2} - a^{2}) = \frac{c ^{3} - b ^{3}}{3} + \frac{a}{2} (c^{2} - b^{2})

なので、差をとると

\frac{b ^{3} - a ^{3}}{3} + \frac{c ^{2}}{2} (b - a) + \frac{ab}{2} (b - a) = (b - a) {\frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3} + \frac{c ^{2}}{2} + \frac{ab}{2}}

である。 $6$ 倍して整理すると

(b - a) (2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} + 3 c^{2}) = 0

であり、 $2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2} = (2 a + b) (a + 2 b)$ だから

(b - a) {(2 a + b) (a + 2 b) + 3 c^{2}} = 0

となる。 $a \neq = b$ なので

c^{2} = - \frac{( 2 a + b ) ( a + 2 b )}{3} \dots (* *)

である。展開した形で書けば $c^{2} = - \frac{2 a ^{2} + 5 ab + 2 b ^{2}}{3}$ である。

左辺は平方数なので $0$ 以上。つまり $(2 a + b) (a + 2 b) \leq 0$ が必要で、 $(*)$ をみたす $a, b$ はかなり限られる。(2) はこれを使って探す。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ の全数調査で、条件をみたす組はすべてこの式をみたした。

$a \neq = b$ を使わないと、 $b - a = 0$ （このとき $c$ は何でもよい）が混ざる。

$2 a^{2} + 5 ab + 2 b^{2}$ の因数分解 $(2 a + b) (a + 2 b)$ は (2)(3) でそのまま効く。展開形のままにしない。

(2) $c = 3$ のとき、 $(*)$ および $a < b$ をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (- 7, 5), (- 5, 7)$

$u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと $uv = - 27$ 。 $a, b$ が整数になる条件は $3 ∣ (u + v)$ 。

$c = 3$ を $(* *)$ に入れると

(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2} = - 27

である。 $u = 2 a + b$ 、 $v = a + 2 b$ とおくと $uv = - 27$ で、逆に

a = \frac{2 u - v}{3}, b = \frac{2 v - u}{3}

と戻せる。 $2 u - v \equiv - (u + v)$ 、 $2 v - u \equiv - (u + v) (mod 3)$ なので、 $a, b$ がともに整数になる条件は $3 ∣ (u + v)$ の1つだけである。また $v - u = b - a$ なので $a < b ⟺ u < v$ である。

$uv = - 27 < 0$ なので $u, v$ は異符号で、 $u < v$ と合わせて $u < 0 < v$ である。 $u = - d$ （ $d$ は $27$ の正の約数）とおくと $v = \frac{27}{d}$ で、 $d \in {1, 3, 9, 27}$ である。

$d = 1$ ： $u + v = - 1 + 27 = 26$ は $3$ の倍数でない。
$d = 3$ ： $u + v = - 3 + 9 = 6$ は $3$ の倍数。 $a = \frac{- 6 - 9}{3} = - 5$ 、 $b = \frac{18 + 3}{3} = 7$ 。
$d = 9$ ： $u + v = - 9 + 3 = - 6$ は $3$ の倍数。 $a = \frac{- 18 - 3}{3} = - 7$ 、 $b = \frac{6 + 9}{3} = 5$ 。
$d = 27$ ： $u + v = - 27 + 1 = - 26$ は $3$ の倍数でない。

よって

(a, b) = (- 5, 7), (- 7, 5)

の2組である。確かめると $(- 5, 7)$ では $(2 a + b) (a + 2 b) = (- 3) \cdot 9 = - 27$ 、 $(- 7, 5)$ では $(- 9) \cdot 3 = - 27$ で、どちらも合う。また $a < b$ もみたしている。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 200$ の全数調査でも、この2組だけだった。

$u, v$ から $a, b$ に戻すとき、整数になる条件は2つあるように見えて、法 $3$ では同じ1つの条件に帰着する。

$d = 1, 27$ を落とさずに全部調べる。約数は $4$ 個しかないので、素直に並べるのが速い。

(3)整数 $a, b, c$ が $(*)$ および $a \neq = b$ をみたすとき、 $c$ が $3$ の倍数であることを示す

答法 $3$ で $(2 a + b) (a + 2 b) \equiv - (a - b)^{2}$ なので $3 ∣ (a - b)$ 。 $b - a = 3 m$ を戻すと $9 (a + m) (a + 2 m) = - 3 c^{2}$ から $3 ∣ c^{2}$ 、よって $3 ∣ c$

合同式を2段階で使う。1段目で $a - b$ 、2段目で $c$ 。

$(* *)$ を分母を払った形で書くと

(2 a + b) (a + 2 b) = - 3 c^{2}

である。

第1段。右辺は $3$ の倍数である。法 $3$ で $2 a + b \equiv b - a$ 、 $a + 2 b \equiv a - b$ なので

(2 a + b) (a + 2 b) \equiv - (a - b)^{2} (mod 3)

である。よって $3 ∣ (a - b)^{2}$ であり、 $3$ は素数なので $3 ∣ (a - b)$ である。

第2段。 $b - a = 3 m$ （ $m$ は $0$ でない整数）とおくと

2 a + b a + 2 b = 3 a + (b - a) = 3 (a + m) = 3 a + 2 (b - a) = 3 (a + 2 m)

なので

9 (a + m) (a + 2 m) = - 3 c^{2}, c^{2} = - 3 (a + m) (a + 2 m)

となる。右辺は $3$ の倍数なので $3 ∣ c^{2}$ 、 $3$ は素数だから $3 ∣ c$ である。すなわち $c$ は $3$ の倍数である。 $■$

(2) の答えでも確かめられる。 $(a, b) = (- 5, 7)$ では $a - b = - 12$ でたしかに $3$ の倍数、 $c = 3$ もそうである。(2) で $c = 3$ という「 $3$ の倍数」が与えられていたのは偶然ではなく、(3) が言うとおり $c$ は $3$ の倍数しかありえない。

$∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq 40$ の全数調査で、現れた $c$ はすべて $3$ の倍数だった。

第1段だけでは「 $a - b$ が $3$ の倍数」しか出ず、 $c$ については何も言えない。もう一度代入して $9$ が現れるところまで進める。

$a \neq = b$ があるので $m \neq = 0$ 。ここは (1) から引き継ぐ。

第3問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)a を実数、C を放物線 y=x2 とする。点 A(a,−1) を通るような C の接線が、ちょうど2本存在することを示す

(2)点 A(a,−1) から C に2本の接線を引き、接点を P,Q とする。直線 PQ の方程式が y=2ax+1 であることを示す

(3)点 A(a,−1) と直線 y=2ax+1 の距離を L とする。a が実数全体を動くとき、L の最小値とそのときの a の値を求める

(2)​OA​=1、​OB​=​OC​=2、∠AOB=120∘、∠BOC=90∘、∠COA=60∘、∠POQ=90∘ のとき、s の値を求める

(1)整数 a,b,c に関する条件 ∫ac​(x2+bx)dx=∫bc​(x2+ax)dx ⋯(∗) を考える。a,b,c が (∗) および a=b をみたすとき、c2 を a,b で表す

(2)c=3 のとき、(∗) および a<b をみたす整数の組 (a,b) をすべて求める

(3)整数 a,b,c が (∗) および a=b をみたすとき、c が 3 の倍数であることを示す