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東京大学　2020年度　前期日程　文科

第1問微分法の解答・解説

3次関数・重解と接する条件・格子点・領域当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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$C : y = x^{3} - 3 a x^{2} + b$ が $x$ 軸に接し、 $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域（境界を除く）の格子点がちょうど $1$ 個になるように、 $b$ を $a$ で表し $a$ の範囲を求める

答 $b = 4 a^{3}$ で、 $3 \frac{1}{4} < a \leq 3 \frac{1}{2}$ （ $\frac{3 2}{2} < a \leq \frac{3 4}{2}$ とも書ける）

3次関数が $x$ 軸に接するのは、接点が極値を与える点のときに限る。極大値は $b > 0$ なので、接するのは極小のほうである。そこから $b = 4 a^{3}$ が出て、 $C$ は $(x + a) (x - 2 a)^{2}$ と因数分解できる。あとは囲まれた領域の中にある格子点を、 $x$ が整数の列ごとに数える。

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 a x = 3 x (x - 2 a)$ で、 $a > 0$ だから $C$ は $x = 0$ で極大、 $x = 2 a$ で極小になる。値は

(極大) = b, (極小) = 8 a^{3} - 12 a^{3} + b = b - 4 a^{3}

である。条件1。 3次関数が $x$ 軸に接するのは、 $x$ 軸との共有点が重解になるとき、つまり極値が $0$ のときに限る。極大値は $b > 0$ なので接するのは極小のほうで

b - 4 a^{3} = 0 ⟺ b = 4 a^{3}

である（これは $a > 0$ のもとで $b > 0$ をみたす）。このとき

y = x^{3} - 3 a x^{2} + 4 a^{3} = (x + a) (x - 2 a)^{2}

と因数分解できる。 $C$ は $x = - a$ で $x$ 軸を横切り、 $x = 2 a$ で接する。

囲まれた領域。 $- a < x < 2 a$ では $(x + a) > 0$ 、 $(x - 2 a)^{2} > 0$ だから $y > 0$ である。よって $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域（境界を除く）は

D = {(x, y) - a < x < 2 a, 0 < y < (x + a) (x - 2 a)^{2}}

である。

格子点を数える。 $f (x) = (x + a) (x - 2 a)^{2}$ とおく。整数 $x$ が $- a < x < 2 a$ にあるとき、 $D$ に属する格子点の個数は $0 < y < f (x)$ をみたす整数 $y$ の個数である。 $f (x) > 0$ なので、その個数は $f (x) \leq 1$ なら $0$ 個、 $1 < f (x) \leq 2$ なら $1$ 個、 $f (x) > 2$ なら $2$ 個以上である。

$x = 0$ はつねに $- a < x < 2 a$ に入り、 $f (0) = 4 a^{3} = b$ である。格子点が全部で $1$ 個なら、まず $x = 0$ の列だけで $2$ 個以上になってはいけないから

4 a^{3} \leq 2 ⟺ a \leq 3 \frac{1}{2} = 0.7937 \dots

が必要である。このとき $2 a \leq 1.5875$ 、 $- a \geq - 0.7937$ なので、 $- a < x < 2 a$ にある整数は $x = 0$ と、 $2 a > 1$ のときの $x = 1$ だけである（ $x = - 1$ は $- a > - 1$ より入らない）。

$x = 1$ の列を調べる。 $f (1) = (1 + a) (1 - 2 a)^{2}$ で、 $\frac{1}{2} < a \leq 3 \frac{1}{2}$ のとき

f (1) \leq (1 + 3 \frac{1}{2}) (2 3 \frac{1}{2} - 1)^{2} = 1.7937 \times 0.587 4^{2} = 0.619 < 1

なので、 $x = 1$ の列に格子点はない（ $(1 + a)$ も $(2 a - 1)^{2}$ も $a$ について増加なので、右端での値を見れば足りる）。

したがって格子点の個数は $x = 0$ の列だけで決まり、ちょうど $1$ 個になる条件は

1 < 4 a^{3} \leq 2

である。 $a > 0$ だからこれは

3 \frac{1}{4} < a \leq 3 \frac{1}{2}, すなわち \frac{3 2}{2} < a \leq \frac{3 4}{2}

と同値である。このとき唯一の格子点は $(0, 1)$ である。

a = 0.7

（

b = 4 a^{3} = 1.372

）のときの

C : y = (x + a) (x - 2 a)^{2}

。

x = - a = - 0.7

で

x

軸を横切り、

x = 2 a = 1.4

で接する。囲まれた部分にある格子点は

(0, 1)

ただ1つ。

$3 \frac{1}{4} = 0.6299605$ 、 $3 \frac{1}{2} = 0.7937005$ 。 $b = 4 a^{3}$ として領域内の格子点を直接数えると、 $a = 0.629960$ では $0$ 個、 $a = 0.629962$ では $1$ 個、 $a = 0.793700$ では $1$ 個、 $a = 0.793701$ では $2$ 個になる。 $a = 0.9$ なら $3$ 個、 $a = 1.2$ なら $12$ 個で、範囲を外れると条件は崩れる。

「 $x$ 軸に接する」を「 $x$ 軸と共有点をもつ」と読み違えない。接するのは重解をもつときで、3次関数では極値が $0$ になるときに限る。極大値 $b$ は $b > 0$ より $0$ にならないので、極小値の側だけを考えればよい。

格子点は $y$ の個数を数えるので、 $f (x)$ が整数のときに注意がいる。 $0 < y < f (x)$ の整数 $y$ は $f (x) = 2$ のとき $y = 1$ の $1$ 個で、 $2$ 個ではない。境界を含まないという条件が右端 $a = 3 \frac{1}{2}$ を範囲に入れている。

$x = 1$ の列を忘れない。 $a > \frac{1}{2}$ では $x = 1$ も区間に入るので、そこに格子点がないことを確かめてはじめて「 $x = 0$ の列だけ」と言える。

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C:y=x3−3ax2+b が x 軸に接し、x 軸と C で囲まれた領域（境界を除く）の格子点がちょうど 1 個になるように、b を a で表し a の範囲を求める

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