独自の解答・詳解
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全4問・無料

東京大学　2020年度　前期日程　文科

東大文系 2020年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法

3次関数・重解と接する条件・格子点・領域当サイトの体感難易度：やや難

$C : y = x^{3} - 3 a x^{2} + b$ が $x$ 軸に接し、 $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域（境界を除く）の格子点がちょうど $1$ 個になるように、 $b$ を $a$ で表し $a$ の範囲を求める

答 $b = 4 a^{3}$ で、 $3 \frac{1}{4} < a \leq 3 \frac{1}{2}$ （ $\frac{3 2}{2} < a \leq \frac{3 4}{2}$ とも書ける）

3次関数が $x$ 軸に接するのは、接点が極値を与える点のときに限る。極大値は $b > 0$ なので、接するのは極小のほうである。そこから $b = 4 a^{3}$ が出て、 $C$ は $(x + a) (x - 2 a)^{2}$ と因数分解できる。あとは囲まれた領域の中にある格子点を、 $x$ が整数の列ごとに数える。

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 a x = 3 x (x - 2 a)$ で、 $a > 0$ だから $C$ は $x = 0$ で極大、 $x = 2 a$ で極小になる。値は

(極大) = b, (極小) = 8 a^{3} - 12 a^{3} + b = b - 4 a^{3}

である。条件1。 3次関数が $x$ 軸に接するのは、 $x$ 軸との共有点が重解になるとき、つまり極値が $0$ のときに限る。極大値は $b > 0$ なので接するのは極小のほうで

b - 4 a^{3} = 0 ⟺ b = 4 a^{3}

である（これは $a > 0$ のもとで $b > 0$ をみたす）。このとき

y = x^{3} - 3 a x^{2} + 4 a^{3} = (x + a) (x - 2 a)^{2}

と因数分解できる。 $C$ は $x = - a$ で $x$ 軸を横切り、 $x = 2 a$ で接する。

囲まれた領域。 $- a < x < 2 a$ では $(x + a) > 0$ 、 $(x - 2 a)^{2} > 0$ だから $y > 0$ である。よって $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域（境界を除く）は

D = {(x, y) - a < x < 2 a, 0 < y < (x + a) (x - 2 a)^{2}}

である。

格子点を数える。 $f (x) = (x + a) (x - 2 a)^{2}$ とおく。整数 $x$ が $- a < x < 2 a$ にあるとき、 $D$ に属する格子点の個数は $0 < y < f (x)$ をみたす整数 $y$ の個数である。 $f (x) > 0$ なので、その個数は $f (x) \leq 1$ なら $0$ 個、 $1 < f (x) \leq 2$ なら $1$ 個、 $f (x) > 2$ なら $2$ 個以上である。

$x = 0$ はつねに $- a < x < 2 a$ に入り、 $f (0) = 4 a^{3} = b$ である。格子点が全部で $1$ 個なら、まず $x = 0$ の列だけで $2$ 個以上になってはいけないから

4 a^{3} \leq 2 ⟺ a \leq 3 \frac{1}{2} = 0.7937 \dots

が必要である。このとき $2 a \leq 1.5875$ 、 $- a \geq - 0.7937$ なので、 $- a < x < 2 a$ にある整数は $x = 0$ と、 $2 a > 1$ のときの $x = 1$ だけである（ $x = - 1$ は $- a > - 1$ より入らない）。

$x = 1$ の列を調べる。 $f (1) = (1 + a) (1 - 2 a)^{2}$ で、 $\frac{1}{2} < a \leq 3 \frac{1}{2}$ のとき

f (1) \leq (1 + 3 \frac{1}{2}) (2 3 \frac{1}{2} - 1)^{2} = 1.7937 \times 0.587 4^{2} = 0.619 < 1

なので、 $x = 1$ の列に格子点はない（ $(1 + a)$ も $(2 a - 1)^{2}$ も $a$ について増加なので、右端での値を見れば足りる）。

したがって格子点の個数は $x = 0$ の列だけで決まり、ちょうど $1$ 個になる条件は

1 < 4 a^{3} \leq 2

である。 $a > 0$ だからこれは

3 \frac{1}{4} < a \leq 3 \frac{1}{2}, すなわち \frac{3 2}{2} < a \leq \frac{3 4}{2}

と同値である。このとき唯一の格子点は $(0, 1)$ である。

a = 0.7

（

b = 4 a^{3} = 1.372

）のときの

C : y = (x + a) (x - 2 a)^{2}

。

x = - a = - 0.7

で

x

軸を横切り、

x = 2 a = 1.4

で接する。囲まれた部分にある格子点は

(0, 1)

ただ1つ。

$3 \frac{1}{4} = 0.6299605$ 、 $3 \frac{1}{2} = 0.7937005$ 。 $b = 4 a^{3}$ として領域内の格子点を直接数えると、 $a = 0.629960$ では $0$ 個、 $a = 0.629962$ では $1$ 個、 $a = 0.793700$ では $1$ 個、 $a = 0.793701$ では $2$ 個になる。 $a = 0.9$ なら $3$ 個、 $a = 1.2$ なら $12$ 個で、範囲を外れると条件は崩れる。

「 $x$ 軸に接する」を「 $x$ 軸と共有点をもつ」と読み違えない。接するのは重解をもつときで、3次関数では極値が $0$ になるときに限る。極大値 $b$ は $b > 0$ より $0$ にならないので、極小値の側だけを考えればよい。

格子点は $y$ の個数を数えるので、 $f (x)$ が整数のときに注意がいる。 $0 < y < f (x)$ の整数 $y$ は $f (x) = 2$ のとき $y = 1$ の $1$ 個で、 $2$ 個ではない。境界を含まないという条件が右端 $a = 3 \frac{1}{2}$ を範囲に入れている。

$x = 1$ の列を忘れない。 $a > \frac{1}{2}$ では $x = 1$ も区間に入るので、そこに格子点がないことを確かめてはじめて「 $x = 0$ の列だけ」と言える。

第1問だけのページ

第2問　場合の数

格子点の選び方・包除原理・場合分け・行と列当サイトの体感難易度：標準

(1)選んだ点を1個も含まない直線がちょうど $2$ 本になる選び方の数を求める

答 $1824$ 通り

$8$ 本の直線は、縦 $4$ 本（ $x = a$ ）と横 $4$ 本（ $y = b$ ）に分かれる。選んだ $5$ 点が使う $x$ 座標の種類を $p$ 、 $y$ 座標の種類を $q$ とすれば、点を含まない直線の数は $(4 - p) + (4 - q) = 8 - p - q$ である。つまり条件は $p + q = 6$ だけで、あとは $(p, q)$ ごとに数えればよい。

選んだ $5$ 点の $x$ 座標の種類を $p$ 、 $y$ 座標の種類を $q$ とする。直線 $x = a$ が点を含まないのは $a$ が使われていないときだから、点を含まない直線は

(4 - p) + (4 - q) = 8 - p - q 本

である。 $5$ 点なので $1 \leq p \leq 4$ 、 $1 \leq q \leq 4$ 、さらに $pq \geq 5$ である。条件は $8 - p - q = 2$ 、つまり $p + q = 6$ なので

(p, q) = (4, 2), (3, 3), (2, 4)

の3通りを数える。

(i) $(p, q) = (4, 2)$ のとき。 $x$ 座標は $4$ 種類すべて、 $y$ 座標はちょうど $2$ 種類を使う。 $x$ 座標が $4$ 種類で点が $5$ 個だから、ある $x$ 座標だけ $2$ 点、残りの $3$ つは $1$ 点ずつである。

使う $y$ 座標 $2$ つを選ぶ： $_{4} C_{2} = 6$ 通り。
$2$ 点をもつ $x$ 座標を選ぶ： $4$ 通り。その $x$ では $2$ つの $y$ を両方使う（ $1$ 通り）。
残り $3$ つの $x$ 座標は、それぞれ $2$ つの $y$ のどちらかを選ぶ： $2^{3} = 8$ 通り。

$2$ 点をもつ列が $y$ を両方使っているので、 $y$ が $2$ 種類ちょうどになることは自動的にみたされる。よって $6 \times 4 \times 8 = 192$ 通りである。

(ii) $(p, q) = (2, 4)$ のとき。 $x$ と $y$ を入れ替えただけなので、同じく $192$ 通りである。

(iii) $(p, q) = (3, 3)$ のとき。 使う $x$ 座標 $3$ つを $_{4} C_{3} = 4$ 通り、 $y$ 座標 $3$ つを $4$ 通りで選ぶ。その $3 \times 3$ の $9$ 点から $5$ 点を、 $3$ 行も $3$ 列もすべて使うように選ぶ。包除原理で

_{9} C_{5} - (3 \cdot_{6} C_{5} + 3 \cdot_{6} C_{5}) = 126 - (18 + 18) = 90

通りである（ $2$ 行以上空ける、あるいは $1$ 行と $1$ 列を空けると残りが $4$ 点以下になり、 $5$ 点は選べないので、以降の項は $0$ ）。よって $4 \times 4 \times 90 = 1440$ 通りである。

合計。 3つは互いに排反なので

192 + 192 + 1440 = 1824

通りである。

$_{16} C_{5} = 4368$ 通りをすべて列挙して「点を含まない直線がちょうど $2$ 本」を数えると $1824$ 通りで、内訳は $(p, q) = (4, 2)$ が $192$ 、 $(2, 4)$ が $192$ 、 $(3, 3)$ が $1440$ であった。

「点を含まない直線がちょうど2本」は、縦2本・横0本、縦1本・横1本、縦0本・横2本の3つの形を含む。どれか1つだけを数えて終わらないこと。

$(4, 2)$ のとき「 $2$ 点をもつ $x$ が $y$ を両方使う」ことを見落とすと、 $y$ がちょうど $2$ 種類という条件の確認を別に書く羽目になる。ここは自動でみたされる。

$(3, 3)$ では $9$ 点から $5$ 点なので、空になる行と列を同時に作ることはできない。包除原理の第3項以降が $0$ になるのはそのためで、書いておくと安全である。

(2) $8$ 本の直線がいずれも選んだ点を少なくとも $1$ 個含む選び方の数を求める

答 $432$ 通り

条件は $p = q = 4$ 、つまり $4$ 行 $4$ 列すべてを使うことである。 $5$ 点で $4$ 行を埋めるので、 $1$ つの行だけ $2$ 点、列も同様に $1$ つだけ $2$ 点になる。その「二重の行」と「二重の列」が交わるところに点があるかどうかで、形が2通りに分かれる。

(1) と同じ記号で、条件は $8 - p - q = 0$ 、すなわち $p = q = 4$ である。 $5$ 点を $4$ 行に各行 $1$ 個以上で配ると、ちょうど $1$ つの行が $2$ 点、残り $3$ 行が $1$ 点ずつになる。列についても同様である。この行を $r$ 、列を $c$ とする。

(i) 点 $(r, c)$ が選ばれている場合。 このとき、 $(r, c)$ を取り除くと行 $r$ も列 $c$ も $1$ 点になり、残り $4$ 点は各行各列ちょうど $1$ 点ずつ、つまり置換の形になる。逆に、置換の形の $4$ 点に残り $12$ 点のどれか $1$ 点を加えると、必ずこの形になる。置換は $4! = 24$ 通り、足す点は $16 - 4 = 12$ 通りなので

24 \times 12 = 288

通りである。この数え方で重複が起きないのは、 $(r, c)$ が選ばれている $5$ 点の集合からは、取り除いて置換になる点が $(r, c)$ ただ1つだからである（行 $r$ の他方の点を除くと、その列が空になる）。

(ii) 点 $(r, c)$ が選ばれていない場合。 列 $c$ の $2$ 点は $r$ 以外の $2$ 行にあり、その $2$ 行はこれで $1$ 点ずつ埋まる。残る $1$ 行を $r^{'}$ とする。列 $c$ 以外の $3$ 列は $1$ 点ずつで、その $3$ 点は行 $r$ の $2$ 点と行 $r^{'}$ の $1$ 点である。したがって

行 $r$ を選ぶ： $4$ 通り。列 $c$ を選ぶ： $4$ 通り。
列 $c$ の $2$ 点が入る行を、 $r$ 以外の $3$ 行から選ぶ： $_{3} C_{2} = 3$ 通り（残りが $r^{'}$ ）。
行 $r$ の $2$ 点が入る列を、 $c$ 以外の $3$ 列から選ぶ： $_{3} C_{2} = 3$ 通り（残りが $r^{'}$ の列）。

で $4 \times 4 \times 3 \times 3 = 144$ 通りである。

合計。

288 + 144 = 432

通りである。

包除原理でも出せる。 $i$ 行と $j$ 列を空ける選び方を足し引きして

i = 0 \sum 4 j = 0 \sum 4 (- 1)^{i + j}_{4} C_{i}_{4} C_{j}_{(4 - i) (4 - j)} C_{5} = 4368 - 2 \cdot 3168 + 2 \cdot 336 + 2016 - 2 \cdot 144 = 432

となり、同じ答えになる。

$_{16} C_{5} = 4368$ 通りをすべて列挙して「 $8$ 本すべてが点を含む」を数えると $432$ 通りで、包除原理の計算結果とも一致する。 $288 + 144 = 432$ の内訳も、列挙で $(r, c)$ が選ばれているものが $288$ 、いないものが $144$ であった。

(i) で「置換 $\times$ 残りの点」と数えると、(ii) の形がまったく出てこない。 $(r, c)$ が選ばれていない形は、どの $1$ 点を取り除いても置換にならないからである。この取りこぼしに気づかないと $288$ で終わってしまう。

$p = q = 4$ から「行も列も $(2, 1, 1, 1)$ の形」はすぐ出るが、行の $2$ 点と列の $2$ 点の位置関係までは決まらない。そこで場合分けが必要になる。

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第3問　図形と方程式

通過領域・半直線・回転・正三角形当サイトの体感難易度：やや難

(1) $P$ が $C$ 上を動くとき、半直線 $OP$ が通過する領域を図示する

答 $x \geq 0$ かつ $y \geq 2 x$ （境界を含む）

半直線 $OP$ は「向き」だけで決まる。だから $P$ の座標そのものではなく、 $OP$ の傾きがどこまで動くかを調べればよい。 $P = (t, t^{2} - 2 t + 4)$ の傾きは $t + \frac{4}{t} - 2$ で、相加相乗平均ですぐ最小値が出る。

$P = (t, t^{2} - 2 t + 4)$ （ $t \geq 0$ ）とおく。 $x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3 > 0$ なので、 $C$ は第1象限と $y$ 軸上（ $t = 0$ のとき $P = (0, 4)$ ）にある。

$t > 0$ のとき。 半直線 $OP$ は原点から右上に伸びる半直線で、その傾きは

m (t) = \frac{t ^{2} - 2 t + 4}{t} = t + \frac{4}{t} - 2

である。相加相乗平均より $t + \frac{4}{t} \geq 24 = 4$ で、等号は $t = 2$ のときだから

m (t) \geq 2

である。また $t \to 0^{+}$ でも $t \to \infty$ でも $m (t) \to \infty$ なので、 $m (t)$ は $2$ 以上のすべての実数をとる。

$t = 0$ のとき。 $P = (0, 4)$ なので、半直線 $OP$ は $y$ 軸の $y \geq 0$ の部分である。

まとめる。 傾き $m \geq 2$ の半直線 ${(x, m x) ∣ x \geq 0}$ をすべて集めると、 $x > 0$ の部分では $\frac{y}{x} \geq 2$ 、つまり $y \geq 2 x$ をみたす点がちょうど全部現れる。 $x = 0$ の部分は $t = 0$ の半直線が $y \geq 0$ を埋める。よって通過領域は

x \geq 0 かつ y \geq 2 x

である（境界の半直線 $y = 2 x (x \geq 0)$ と $y$ 軸の $y \geq 0$ の部分も含む）。

C

（

y = x^{2} - 2 x + 4

の

x \geq 0

の部分）と、半直線

OP

の通過領域。領域は

y

軸の

y \geq 0

の部分と半直線

y = 2 x (x \geq 0)

ではさまれた部分で、境界を含む。傾きが最小になるのは

P = (2, 4)

のとき。

$m (t) = t + \frac{4}{t} - 2$ を $t$ について $20$ 万点で調べると最小値はちょうど $2.000000$ （ $t = 2$ ）である。 $t = 1$ なら $m = 3$ 、 $t = 4$ なら $m = 3$ で、同じ傾きが $2$ か所から出ることも確かめられる。

$t = 0$ を忘れない。 $t > 0$ だけだと $x = 0$ の部分（ $y$ 軸）が抜けてしまい、領域が開いているのか閉じているのか答えられなくなる。

$m (t)$ は $t = 2$ で最小になるが、 $t$ が $0$ に近いところと大きいところの両方で $\infty$ に発散する。つまり同じ傾きの半直線が $2$ つの $t$ から出ることがある。領域を求めるだけなら重複は問題にならない。

半直線は原点を端点に含むので、 $O$ 自身も領域に入る。

(2) $C$ 上の点 $A$ と $ℓ : y = a x$ 上の点 $B$ で、 $O, A, B$ が正三角形の3頂点となるものが存在する $a$ の範囲を求める

答 $\frac{5 3 - 8}{11} \leq a \leq \frac{1}{3}$ または $- \frac{8 + 5 3}{11} \leq a \leq - \frac{1}{3}$

$O$ が正三角形の頂点の1つなので、 $B$ は $A$ を $O$ のまわりに $\pm 6 0^{\circ}$ 回した点に限る。すると問題は「 $OA$ の向きを $\pm 6 0^{\circ}$ 回したものが $ℓ$ の向きになるか」だけになり、(1) で調べた $OA$ の向きの範囲がそのまま効く。長さは回転で変わらないので、条件に一切関わらない。

$O, A, B$ が正三角形なら $OA = OB$ かつ $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ なので、 $B$ は $A$ を原点のまわりに $+ 6 0^{\circ}$ または $- 6 0^{\circ}$ 回した点である。逆にそう回せば必ず正三角形になる。

$OA$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $θ$ とする。(1) より $OA$ の傾きは $2$ 以上のすべての値をとり、 $t = 0$ のときは $y$ 軸正の向き（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）だから

β \leq θ \leq 9 0^{\circ} (β = arctan 2 = 63.43 \dots^{\circ})

であり、この範囲の $θ$ はすべて実現する。 $B$ の向きは $θ \pm 6 0^{\circ}$ で、長さ $OB = OA > 0$ は自由だから、 $B$ が $ℓ$ 上にある条件は「向き $θ \pm 6 0^{\circ}$ の直線が $ℓ$ に一致する」こと、すなわち

a = tan (θ \pm 6 0^{\circ})

である（ $ℓ$ は原点を通る直線なので、向きが $18 0^{\circ}$ ずれても同じ直線である）。

$- 6 0^{\circ}$ の側。 $θ - 6 0^{\circ}$ は $β - 6 0^{\circ} = 3.43 \dots^{\circ}$ から $3 0^{\circ}$ まで動く。この範囲で $tan$ は連続な増加関数なので

tan (β - 6 0^{\circ}) \leq a \leq tan 3 0^{\circ}

である。加法定理より（ $tan β = 2$ 、 $tan 6 0^{\circ} = 3$ ）

tan (β - 6 0^{\circ}) = \frac{2 - 3}{1 + 2 3} = \frac{( 2 - 3 ) ( 2 3 - 1 )}{( 2 3 + 1 ) ( 2 3 - 1 )} = \frac{5 3 - 8}{11}

なので、この側の範囲は $\frac{5 3 - 8}{11} \leq a \leq \frac{1}{3}$ である。

$+ 6 0^{\circ}$ の側。 $θ + 6 0^{\circ}$ は $β + 6 0^{\circ} = 123.43 \dots^{\circ}$ から $15 0^{\circ}$ まで動く。 $9 0^{\circ}$ と $18 0^{\circ}$ のあいだなので $tan$ は負で、やはり連続な増加関数だから

tan (β + 6 0^{\circ}) \leq a \leq tan 15 0^{\circ}

である。同じく加法定理で

tan (β + 6 0^{\circ}) = \frac{2 + 3}{1 - 2 3} = \frac{( 2 + 3 ) ( 1 + 2 3 )}{( 1 - 2 3 ) ( 1 + 2 3 )} = \frac{8 + 5 3}{- 11} = - \frac{8 + 5 3}{11}

なので、この側の範囲は $- \frac{8 + 5 3}{11} \leq a \leq - \frac{1}{3}$ である。

まとめ。 求める範囲は

\frac{5 3 - 8}{11} \leq a \leq \frac{1}{3} または - \frac{8 + 5 3}{11} \leq a \leq - \frac{1}{3}

である。小数で書くと $0.0600 \leq a \leq 0.5774$ と $- 1.5146 \leq a \leq - 0.5774$ である。

A = (2, 4)

（

OA

の傾きが最小の点）を

- 6 0^{\circ}

回して

B

をとった例。

OA = OB

、

∠ AOB = 6 0^{\circ}

で正三角形になり、このとき

ℓ

の傾きは

\frac{5 3 - 8}{11} = 0.060

である。

$C$ 上の点を $40$ 万点とって $\pm 6 0^{\circ}$ 回した向きが $ℓ$ と一致するかを調べると、 $a = - 1.5, - 1.0, - 0.6, 0.07, 0.3, 0.57$ では存在し、 $a = - 2, - 1.6, - 0.5, 0, 0.03, 0.6, 1$ では存在しない。これは $[0.060023, 0.577350]$ と $[- 1.514569, - 0.577350]$ という2区間とぴったり合う。

$O$ も正三角形の頂点であることを使う。 $B$ は $A$ を原点のまわりに回した点に限られるので、 $OB$ の長さは条件に関係しない。 $A$ の位置ではなく $OA$ の向きだけを追えばよい。

$ℓ$ は直線であって半直線ではない。向きが $18 0^{\circ}$ 違っても同じ直線なので、 $θ + 6 0^{\circ}$ が $9 0^{\circ}$ を超えても $tan$ の値で扱える。ここを半直線と取り違えると範囲が半分になる。

$θ$ の範囲 $[β, 9 0^{\circ}]$ は両端を含む。 $θ = β$ は $A = (2, 4)$ 、 $θ = 9 0^{\circ}$ は $A = (0, 4)$ で実現するので、 $a$ の範囲も両端を含む。

$a = 0$ は範囲に入らない。 $ℓ$ が $x$ 軸だと $θ$ が $6 0^{\circ}$ か $12 0^{\circ}$ でなければならず、どちらも $[β, 9 0^{\circ}]$ の外だからである。

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第4問　整式・数列

基本対称式・多項式の積・係数比較・漸化式当サイトの体感難易度：難

(1) $n \geq 2$ に対して $a_{n, 2}$ を求める

答 $a_{n, 2} = \frac{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n} - 2 )}{3}$

$a_{n, 2}$ は「相異なる2つの積の総和」なので、 $(全部の和)^{2}$ を展開したものから、同じもの同士の積を引いて $2$ で割ればよい。どちらの和も等比数列なので、すぐに closed form になる。

$S = m = 0 \sum n - 1 2^{m} = 2^{n} - 1$ 、 $T = m = 0 \sum n - 1 4^{m} = \frac{4 ^{n} - 1}{3}$ とおく。

S^{2} = m \sum (2^{m})^{2} + 2 m < m^{'} \sum 2^{m} 2^{m^{'}} = T + 2 a_{n, 2}

なので

a_{n, 2} = \frac{S ^{2} - T}{2} = \frac{1}{2} {(2^{n} - 1)^{2} - \frac{4 ^{n} - 1}{3}}

である。中身を通分すると

3 (2^{n} - 1)^{2} - (4^{n} - 1) = 3 \cdot 4^{n} - 6 \cdot 2^{n} + 3 - 4^{n} + 1 = 2 \cdot 4^{n} - 6 \cdot 2^{n} + 4 = 2 (2^{n} - 1) (2^{n} - 2)

なので

a_{n, 2} = \frac{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n} - 2 )}{3}

である。

$n = 4$ なら $\frac{15 \cdot 14}{3} = 70$ で、 $1 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = 70$ と合う。 $(2^{n} - 1) (2^{n} - 2)$ は連続する2整数の積ではないが、 $2^{n} - 1$ と $2^{n} - 2$ のどちらかが $3$ の倍数になるので、商は必ず整数である。

定義どおりに全組合せの積を足して $a_{n, 2}$ を計算すると、 $2 \leq n \leq 12$ のすべてで $\frac{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n} - 2 )}{3}$ と一致した。 $n = 4$ では $70$ 、 $n = 5$ では $\frac{31 \cdot 30}{3} = 310$ である。

$a_{n, 2}$ は「相異なる2つ」の積の和なので、 $2$ で割るのを忘れない。 $S^{2}$ では同じ組が2回ずつ現れる。

$\sum (2^{m})^{2} = \sum 4^{m}$ であって $(\sum 2^{m})^{2}$ ではない。公比が $4$ の等比数列になる。

(2) $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )}$ と $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )}$ を $x$ の整式で表す

答 $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )} = 1 + 2^{n} x$ 、 $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )} = 1 + x$

$a_{n, k}$ は $2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{n - 1}$ の基本対称式なので、 $f_{n} (x)$ はそれらを根にもつ式の形、つまり $\prod (1 + 2^{m} x)$ そのものである。この積の形にしてしまえば、 $n$ を $1$ 増やす操作も $x$ を $2 x$ に替える操作も、因数が1つずれるだけになる。

$a_{n, k}$ は $2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{n - 1}$ から $k$ 個選んだ積の総和、つまり基本対称式である。 $(1 + 2^{0} x) (1 + 2^{1} x) \dots (1 + 2^{n - 1} x)$ を展開すると、 $x^{k}$ の係数はちょうど「 $k$ 個の $2^{m}$ を選んだ積の総和」になるので

f_{n} (x) = m = 0 \prod n - 1 (1 + 2^{m} x)

である（ $a_{n, 0} = 1$ も合っている）。

1つめ。 積の形から、 $n$ を $1$ 増やすと因数が1つ増えるだけで

f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (1 + 2^{n} x) ⟹ \frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )} = 1 + 2^{n} x

である。

2つめ。 $x$ を $2 x$ に替えると、各因数の指数が1つずつ上がって

f_{n} (2 x) = m = 0 \prod n - 1 (1 + 2^{m + 1} x) = m = 1 \prod n (1 + 2^{m} x) = \frac{f _{n + 1} ( x )}{1 + x}

となる（ $f_{n + 1}$ の積から $m = 0$ の因数 $1 + x$ を取り除いた形）。よって

\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )} = 1 + x

である。

$f_{n} (x) = \prod (1 + 2^{m} x)$ であることは、 $n$ についての帰納法でも示せる。 $f_{n + 1}$ の $x^{k}$ の係数 $a_{n + 1, k}$ を「 $2^{n}$ を選ぶか選ばないか」で分けると $a_{n + 1, k} = a_{n, k} + 2^{n} a_{n, k - 1}$ となり、これは $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (1 + 2^{n} x)$ の係数比較そのものである。

$1 \leq n \leq 9$ について $f_{n} (x)$ の係数を定義から計算し、 $f_{n + 1} (x)$ を $f_{n} (x)$ と $f_{n} (2 x)$ で多項式として割ると、商はそれぞれ $1 + 2^{n} x$ と $1 + x$ 、余りはどちらも $0$ になった。

$f_{n} (2 x)$ は $f_{n} (x)$ の各項に $2^{k}$ を掛けたもの（ $\sum a_{n, k} 2^{k} x^{k}$ ）である。積の形で見ると「指数が1つずれる」と分かるが、係数の形のままだと見通しが悪い。

$f_{n + 1} (x)$ は $f_{n} (x)$ の因数を1つ後ろに足したもの、 $f_{n} (2 x)$ は因数を1つ前から外したものである。どちらも $f_{n + 1}$ との差が1因数なので、商が1次式になる。

(3) $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}}$ を $n, k$ で表す

答 $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}} = \frac{2 ^{k} ( 2 ^{n + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1}$

(2) で $f_{n + 1}$ の表し方が2通り得られた。同じ $x^{k + 1}$ の係数を2通りに書けば、 $a_{n + 1, k + 1}$ を含む等式が2本できる。 $a_{n, k + 1}$ を消去すれば、 $a_{n + 1, k + 1}$ と $a_{n, k}$ だけの関係が残る。

(2) の2つの式を使う。まず $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (1 + 2^{n} x)$ の $x^{k + 1}$ の係数を比べて

a_{n + 1, k + 1} = a_{n, k + 1} + 2^{n} a_{n, k} \dots ①

である。次に $f_{n + 1} (x) = f_{n} (2 x) (1 + x)$ を使う。 $f_{n} (2 x) = j \sum a_{n, j} 2^{j} x^{j}$ なので、 $x^{k + 1}$ の係数は

a_{n + 1, k + 1} = 2^{k + 1} a_{n, k + 1} + 2^{k} a_{n, k} \dots ②

である。

$a_{n, k + 1}$ を消す。 ① $\times 2^{k + 1}$ から ② を引くと

(2^{k + 1} - 1) a_{n + 1, k + 1} = (2^{n + k + 1} - 2^{k}) a_{n, k} = 2^{k} (2^{n + 1} - 1) a_{n, k}

となる。 $a_{n, k} > 0$ 、 $2^{k + 1} - 1 > 0$ なので割ってよく

\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}} = \frac{2 ^{k} ( 2 ^{n + 1} - 1 )}{2 ^{k + 1} - 1}

である。

$① \times 2^{k + 1} - ②$ の左辺は $(2^{k + 1} - 1) a_{n + 1, k + 1}$ 、右辺の $a_{n, k + 1}$ の項は $2^{k + 1} a_{n, k + 1} - 2^{k + 1} a_{n, k + 1} = 0$ で消える。残るのは $2^{k + 1} \cdot 2^{n} a_{n, k} - 2^{k} a_{n, k}$ である。

$n = 3$ 、 $k = 2$ では $\frac{a _{4, 3}}{a _{3, 2}} = \frac{120}{14} = \frac{60}{7}$ で、 $\frac{2 ^{2} ( 2 ^{4} - 1 )}{2 ^{3} - 1} = \frac{4 \cdot 15}{7} = \frac{60}{7}$ と一致する。 $1 \leq n \leq 10$ 、 $1 \leq k \leq n$ のすべての組で、分数のまま計算して一致することを確かめた。

②を作るとき、 $f_{n} (2 x)$ の $x^{j}$ の係数が $a_{n, j} 2^{j}$ であることを使う。 $a_{n, j}$ のままにすると ① と同じ式になってしまい、消去ができない。

消去する相手は $a_{n, k + 1}$ である。 $a_{n + 1, k + 1}$ を消してしまうと目的の比が出ない。①の両辺を $2^{k + 1}$ 倍してから引く、という順番が要点である。

$k = n$ のときも成り立つ（ $a_{n, n} = 2^{0 + 1 + \dots + (n - 1)}$ ）。式の上では $k \leq n$ の範囲すべてで使える。

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問題文について

C:y=x3−3ax2+b が x 軸に接し、x 軸と C で囲まれた領域（境界を除く）の格子点がちょうど 1 個になるように、b を a で表し a の範囲を求める

(1)選んだ点を1個も含まない直線がちょうど 2 本になる選び方の数を求める

(2)8 本の直線がいずれも選んだ点を少なくとも 1 個含む選び方の数を求める

(1)P が C 上を動くとき、半直線 OP が通過する領域を図示する

(2)C 上の点 A と ℓ:y=ax 上の点 B で、O,A,B が正三角形の3頂点となるものが存在する a の範囲を求める

(1)n≥2 に対して an,2​ を求める

(2)fn​(x)fn+1​(x)​ と fn​(2x)fn+1​(x)​ を x の整式で表す

(3)an,k​an+1,k+1​​ を n,k で表す

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$C : y = x^{3} - 3 a x^{2} + b$ が $x$ 軸に接し、 $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域（境界を除く）の格子点がちょうど $1$ 個になるように、 $b$ を $a$ で表し $a$ の範囲を求める

(1)選んだ点を1個も含まない直線がちょうど $2$ 本になる選び方の数を求める

(2) $8$ 本の直線がいずれも選んだ点を少なくとも $1$ 個含む選び方の数を求める

(1) $P$ が $C$ 上を動くとき、半直線 $OP$ が通過する領域を図示する

(2) $C$ 上の点 $A$ と $ℓ : y = a x$ 上の点 $B$ で、 $O, A, B$ が正三角形の3頂点となるものが存在する $a$ の範囲を求める

(1) $n \geq 2$ に対して $a_{n, 2}$ を求める

(2) $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( x )}$ と $\frac{f _{n + 1} ( x )}{f _{n} ( 2 x )}$ を $x$ の整式で表す

(3) $\frac{a _{n + 1, k + 1}}{a _{n, k}}$ を $n, k$ で表す