第3問 図形と方程式の解答・解説

$\mathrm{P}=\left(t,t^2-2t+4\right)$（$t\ge 0$）とおく。$x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3>0$ なので、$C$ は第1象限と $y$ 軸上（$t=0$ のとき $\mathrm{P}=(0,4)$）にある。

$t>0$ のとき。 半直線 $\mathrm{OP}$ は原点から右上に伸びる半直線で、その傾きは

である。相加相乗平均より $t+\frac{4}{t}\ge 2\sqrt{4}=4$ で、等号は $t=2$ のときだから

である。また $t\to 0^{+}$ でも $t\to \infty$ でも $m(t)\to \infty$ なので、$m(t)$ は $2$ 以上のすべての実数をとる。

$t=0$ のとき。 $\mathrm{P}=(0,4)$ なので、半直線 $\mathrm{OP}$ は $y$ 軸の $y\ge 0$ の部分である。

まとめる。 傾き $m\ge 2$ の半直線 $\{(x,mx)\mid x\ge 0\}$ をすべて集めると、$x>0$ の部分では $\frac{y}{x}\ge 2$、つまり $y\ge 2x$ をみたす点がちょうど全部現れる。$x=0$ の部分は $t=0$ の半直線が $y\ge 0$ を埋める。よって通過領域は

である（境界の半直線 $y=2x(x\ge 0)$ と $y$ 軸の $y\ge 0$ の部分も含む）。

$\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ が正三角形なら $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ }$ なので、$\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ を原点のまわりに $+60^{\circ }$ または $-60^{\circ }$ 回した点である。逆にそう回せば必ず正三角形になる。

$\mathrm{OA}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とする。(1) より $\mathrm{OA}$ の傾きは $2$ 以上のすべての値をとり、$t=0$ のときは $y$ 軸正の向き（$\theta =90^{\circ }$）だから

であり、この範囲の $\theta$ はすべて実現する。$\mathrm{B}$ の向きは $\theta \pm 60^{\circ }$ で、長さ $\mathrm{OB}=\mathrm{OA}>0$ は自由だから、$\mathrm{B}$ が $\ell$ 上にある条件は「向き $\theta \pm 60^{\circ }$ の直線が $\ell$ に一致する」こと、すなわち

である（$\ell$ は原点を通る直線なので、向きが $180^{\circ }$ ずれても同じ直線である）。

$-60^{\circ }$ の側。 $\theta -60^{\circ }$ は $\beta -60^{\circ }=3.43{\cdots }^{\circ }$ から $30^{\circ }$ まで動く。この範囲で $\tan$ は連続な増加関数なので

である。加法定理より（$\tan \beta =2$、$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$）

なので、この側の範囲は $\frac{5\sqrt{3}-8}{11}\le a\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

$+60^{\circ }$ の側。 $\theta +60^{\circ }$ は $\beta +60^{\circ }=123.43{\cdots }^{\circ }$ から $150^{\circ }$ まで動く。$90^{\circ }$ と $180^{\circ }$ のあいだなので $\tan$ は負で、やはり連続な増加関数だから

である。同じく加法定理で

なので、この側の範囲は $-\frac{8+5\sqrt{3}}{11}\le a\le -\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

まとめ。 求める範囲は

である。小数で書くと $0.0600\le a\le 0.5774$ と $-1.5146\le a\le -0.5774$ である。