第2問 場合の数の解答・解説

選んだ $5$ 点の $x$ 座標の種類を $p$、$y$ 座標の種類を $q$ とする。直線 $x=a$ が点を含まないのは $a$ が使われていないときだから、点を含まない直線は

である。$5$ 点なので $1\le p\le 4$、$1\le q\le 4$、さらに $pq\ge 5$ である。条件は $8-p-q=2$、つまり $p+q=6$ なので

の3通りを数える。

(i) $(p,q)=(4,2)$ のとき。 $x$ 座標は $4$ 種類すべて、$y$ 座標はちょうど $2$ 種類を使う。$x$ 座標が $4$ 種類で点が $5$ 個だから、ある $x$ 座標だけ $2$ 点、残りの $3$ つは $1$ 点ずつである。

1. 使う $y$ 座標 $2$ つを選ぶ：${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通り。
2. $2$ 点をもつ $x$ 座標を選ぶ：$4$ 通り。その $x$ では $2$ つの $y$ を両方使う（$1$ 通り）。
3. 残り $3$ つの $x$ 座標は、それぞれ $2$ つの $y$ のどちらかを選ぶ：$2^3=8$ 通り。

$2$ 点をもつ列が $y$ を両方使っているので、$y$ が $2$ 種類ちょうどになることは自動的にみたされる。よって $6\times 4\times 8=192$ 通りである。

(ii) $(p,q)=(2,4)$ のとき。 $x$ と $y$ を入れ替えただけなので、同じく $192$ 通りである。

(iii) $(p,q)=(3,3)$ のとき。 使う $x$ 座標 $3$ つを ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通り、$y$ 座標 $3$ つを $4$ 通りで選ぶ。その $3\times 3$ の $9$ 点から $5$ 点を、$3$ 行も $3$ 列もすべて使うように選ぶ。包除原理で

通りである（$2$ 行以上空ける、あるいは $1$ 行と $1$ 列を空けると残りが $4$ 点以下になり、$5$ 点は選べないので、以降の項は $0$）。よって $4\times 4\times 90=1440$ 通りである。

合計。 3つは互いに排反なので

通りである。

(1) と同じ記号で、条件は $8-p-q=0$、すなわち $p=q=4$ である。$5$ 点を $4$ 行に各行 $1$ 個以上で配ると、ちょうど $1$ つの行が $2$ 点、残り $3$ 行が $1$ 点ずつになる。列についても同様である。この行を $r$、列を $c$ とする。

(i) 点 $(r,c)$ が選ばれている場合。 このとき、$(r,c)$ を取り除くと行 $r$ も列 $c$ も $1$ 点になり、残り $4$ 点は各行各列ちょうど $1$ 点ずつ、つまり置換の形になる。逆に、置換の形の $4$ 点に残り $12$ 点のどれか $1$ 点を加えると、必ずこの形になる。置換は $4!=24$ 通り、足す点は $16-4=12$ 通りなので

通りである。この数え方で重複が起きないのは、$(r,c)$ が選ばれている $5$ 点の集合からは、取り除いて置換になる点が $(r,c)$ ただ1つだからである（行 $r$ の他方の点を除くと、その列が空になる）。

(ii) 点 $(r,c)$ が選ばれていない場合。 列 $c$ の $2$ 点は $r$ 以外の $2$ 行にあり、その $2$ 行はこれで $1$ 点ずつ埋まる。残る $1$ 行を $r^{\prime }$ とする。列 $c$ 以外の $3$ 列は $1$ 点ずつで、その $3$ 点は行 $r$ の $2$ 点と行 $r^{\prime }$ の $1$ 点である。したがって

1. 行 $r$ を選ぶ：$4$ 通り。列 $c$ を選ぶ：$4$ 通り。
2. 列 $c$ の $2$ 点が入る行を、$r$ 以外の $3$ 行から選ぶ：${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り（残りが $r^{\prime }$）。
3. 行 $r$ の $2$ 点が入る列を、$c$ 以外の $3$ 列から選ぶ：${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り（残りが $r^{\prime }$ の列）。

で $4\times 4\times 3\times 3=144$ 通りである。

合計。

通りである。

包除原理でも出せる。$i$ 行と $j$ 列を空ける選び方を足し引きして

となり、同じ答えになる。