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東京科学大学　2024年度　前期日程　理系

第1問図形と方程式・微分法の解答・解説

放物線に接する円・法線・軌跡・媒介変数と接線の傾き当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x y$ 平面上の曲線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ に点 $(a, \frac{1}{2} a^{2})$ （ $a > 0$ ）で接する円のうち、 $y$ 軸の正の部分にも接するものを $S_{a}$ とおく。 $a$ が正の実数を動くときの $S_{a}$ の中心の軌跡を $C$ 、とくに $S_{1}$ の中心を $P$ とするとき、 $P$ の座標を求める

答 $P (2 - 2, 2 - \frac{1}{2})$

曲線に接する円の中心は、接点における法線の上にある。法線上を媒介変数で進み、「 $y$ 軸までの距離 $=$ 接点までの距離」で止まる位置を求める。

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ の $x = a$ における接線の傾きは $y^{'} = a$ なので、接線の方向ベクトルは $(1, a)$ 、法線の方向ベクトルは $(- a, 1)$ である。中心は接点 $T (a, \frac{1}{2} a^{2})$ から法線方向に進んだ点なので、 $s > 0$ を使って

(a - s a, \frac{1}{2} a^{2} + s)

と書ける（曲線の内側、つまり上側に向かう向きにとった）。このとき半径は接点までの距離で

r = s a^{2} + 1

である。

$y$ 軸に接する条件。 中心の $x$ 座標 $a (1 - s)$ が正で、それが半径に等しければよい。

a (1 - s) = s a^{2} + 1, a = s (a + a^{2} + 1)

より

s = \frac{a}{a + a ^{2} + 1} = a (a^{2} + 1 - a)

である（分母を有理化した。 $(a + a^{2} + 1) (a^{2} + 1 - a) = 1$ ）。 $0 < s < 1$ なので $x$ 座標は正になっている。

$a = 1$ のとき。 $s = 1 \cdot (2 - 1) = 2 - 1$ なので、中心は

(1 - (2 - 1), \frac{1}{2} + (2 - 1)) = (2 - 2, 2 - \frac{1}{2})

である。半径は $2 - 2 = 0.585 \dots$ で、 $y$ 軸との接点 $(0, 2 - \frac{1}{2})$ は正の部分にある ✓。よって

P (2 - 2, 2 - \frac{1}{2})

である。

a = 1 のとき。円 S₁ は放物線に (1, 1/2) で接し、y 軸にも接する。中心 P は接点での法線の上にある。破線が、a を動かしたときの中心の軌跡 C。

数値でも中心の $x$ 座標と接点までの距離が一致し、 $(0.585786438, 0.914213562)$ になった。

中心は法線上にある。接点を通る「どこか」ではなく、法線という向きが決まっている。

$y$ 軸に接する条件は「中心の $x$ 座標 $=$ 半径」。中心が右側にあることも確かめる。

(2)点 $P$ における曲線 $C$ の接線の傾きを求める

答 $1 + 2$

$C$ は $a$ を媒介変数とする曲線である。中心の座標を $a$ の式に整理してから $\frac{d Y / d a}{d X / d a}$ を計算する。

(1) の $s = a (a^{2} + 1 - a)$ を代入して、中心の座標を $a$ で表す。

X (a) = a - s a = a - a^{2} (a^{2} + 1 - a) = a^{3} + a - a^{2} a^{2} + 1

Y (a) = \frac{1}{2} a^{2} + s = \frac{1}{2} a^{2} + a a^{2} + 1 - a^{2} = a a^{2} + 1 - \frac{1}{2} a^{2}

である。それぞれ $a$ で微分する。 $(a^{2} + 1)^{'} = \frac{a}{a ^{2} + 1}$ を使うと

X^{'} (a) = 3 a^{2} + 1 - 2 a a^{2} + 1 - \frac{a ^{3}}{a ^{2} + 1}

Y^{'} (a) = a^{2} + 1 + \frac{a ^{2}}{a ^{2} + 1} - a

である。 $a = 1$ では $a^{2} + 1 = 2$ なので

X^{'} (1) = 4 - 22 - \frac{1}{2} = 4 - \frac{5 2}{2}, Y^{'} (1) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3 2}{2} - 1

である（ $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ ）。求める傾きは

\frac{Y ^{'} ( 1 )}{X ^{'} ( 1 )} = \frac{\frac{3 2}{2} - 1}{4 - \frac{5 2}{2}} = \frac{3 2 - 2}{8 - 5 2}

である。分母を有理化すると、分母は $64 - 50 = 14$ で、分子は

(32 - 2) (8 + 52) = 242 + 30 - 16 - 102 = 142 + 14

となる。よって

\frac{Y ^{'} ( 1 )}{X ^{'} ( 1 )} = \frac{14 ( 2 + 1 )}{14} = 1 + 2

である。

$X^{'} (1) = 4 - \frac{5 2}{2} = 0.464 \dots \neq = 0$ なので、 $C$ はこの点で縦に立ってはいない。割り算してよい。

数値微分でも $2.414213562$ で、 $1 + 2 = 2.414213562$ と一致した。

媒介変数表示の接線の傾きは $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d a}{d x / d a}$ 。分母が $0$ でないことを確かめる。

$a^{2} + 1$ の微分を忘れない。合成関数の微分である。

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問題文について

(1)xy 平面上の曲線 y=21​x2 に点 (a,21​a2)（a>0）で接する円のうち、y 軸の正の部分にも接するものを Sa​ とおく。a が正の実数を動くときの Sa​ の中心の軌跡を C、とくに S1​ の中心を P とするとき、P の座標を求める

(2)点 P における曲線 C の接線の傾きを求める

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