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東京科学大学　2024年度　前期日程　理系

第2問微分法・積分法の解答・解説

連立微分方程式・保存量・対数の微分・曲線の長さ当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 $f (t), g (t)$ が $f^{'} = - f g$ 、 $g^{'} = f^{2}$ 、 $f > 0$ 、 $∣ g ∣ < 1$ 、 $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ を満たすとする。 $p (t) = {f (t)}^{2} + {g (t)}^{2}$ とするとき、 $p^{'} (t)$ を求める

答 $p^{'} (t) = 0$

そのまま微分して条件を代入するだけ。2つの項がちょうど打ち消す。

合成関数の微分より

p^{'} (t) = 2 f (t) f^{'} (t) + 2 g (t) g^{'} (t)

である。 $f^{'} = - f g$ 、 $g^{'} = f^{2}$ を代入すると

p^{'} (t) = 2 f (- f g) + 2 g \cdot f^{2} = - 2 f^{2} g + 2 f^{2} g = 0

である。

$p^{'} = 0$ なので $p$ は定数で、 $p (0) = f (0)^{2} + g (0)^{2} = 1$ より、つねに $f^{2} + g^{2} = 1$ である。つまり点 $(f (t), g (t))$ は単位円の上を動く。これが以下の鍵になる。

$f = \frac{1}{cosh t}$ 、 $g = tanh t$ で確かめると $p (t) = 1.0$ で一定だった。

(2) $q (t) = lo g \frac{1 + g ( t )}{1 - g ( t )}$ とするとき、 $q^{'} (t)$ が定数関数であることを示す

答 $q^{'} (t) = 2$

$lo g$ の中を差に分けて微分する。(1) で得た $f^{2} = 1 - g^{2}$ を使うと、分母と分子がきれいに消える。

$∣ g ∣ < 1$ なので $1 + g > 0$ 、 $1 - g > 0$ であり、 $q (t) = lo g (1 + g) - lo g (1 - g)$ と書ける。微分すると

q^{'} (t) = \frac{g ^{'}}{1 + g} + \frac{g ^{'}}{1 - g} = g^{'} \cdot \frac{( 1 - g ) + ( 1 + g )}{( 1 + g ) ( 1 - g )} = \frac{2 g ^{'}}{1 - g ^{2}}

である。(1) より $f^{2} + g^{2} = 1$ 、すなわち $f^{2} = 1 - g^{2}$ であり、 $g^{'} = f^{2}$ だから

q^{'} (t) = \frac{2 f ^{2}}{f ^{2}} = 2

である（ $f > 0$ なので $f^{2} \neq = 0$ 、割ってよい）。よって $q^{'}$ は定数関数 $2$ である。 $■$

数値微分でも $q^{'} (t) = 2.0$ で一定だった。

$lo g$ の微分で $1 - g$ の側は符号が2回変わる（中身の微分が $- g^{'}$ 、 $lo g$ の前にマイナス）。結果は足し算になる。

(3) $t \to \infty lim g (t)$ を求める

答 $1$

(2) より $q (t) = 2 t + q (0)$ である。 $q$ の定義式を $g$ について解けばよい。

(2) より $q^{'} (t) = 2$ なので $q (t) = 2 t + q (0)$ である。 $g (0) = 0$ だから

q (0) = lo g \frac{1 + 0}{1 - 0} = lo g 1 = 0, q (t) = 2 t

である。したがって

\frac{1 + g ( t )}{1 - g ( t )} = e^{2 t}

であり、 $g$ について解くと

1 + g = e^{2 t} - e^{2 t} g, g (1 + e^{2 t}) = e^{2 t} - 1, g (t) = \frac{e ^{2 t} - 1}{e ^{2 t} + 1}

である。分母・分子を $e^{2 t}$ で割ると

g (t) = \frac{1 - e ^{- 2 t}}{1 + e ^{- 2 t}} t \to \infty \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

である。よって $t \to \infty lim g (t) = 1$ である。

$g (t) = tanh t$ 、そして $f = 1 - g^{2} = \frac{1}{cosh t}$ である（ $f > 0$ ）。確かに $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ で、 $f^{'} = - f g$ 、 $g^{'} = f^{2}$ も成り立つ。

$g (30) = 1.000000000000$ だった。

(4) $f (T) = g (T)$ となる正の実数 $T$ に対して、媒介変数表示された平面曲線 $(x, y) = (f (t), g (t))$ （ $0 ≦ t ≦ T$ ）の長さを求める

答 $\frac{π}{4}$

長さの式 $\int (x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t$ に代入すると、(1) のおかげで根号がきれいに外れる。そのあとは $g$ を変数にとって置換する。

$x^{'} = f^{'} = - f g$ 、 $y^{'} = g^{'} = f^{2}$ なので

(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = f^{2} g^{2} + f^{4} = f^{2} (g^{2} + f^{2}) = f^{2}

である（(1) で $f^{2} + g^{2} = 1$ ）。 $f > 0$ だから $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = f$ で、長さは

L = \int_{0}^{T} f (t) d t

である。 $g^{'} = f^{2}$ より $d t = \frac{d g}{f ^{2}}$ と置換できて

L = \int_{g (0)}^{g (T)} \frac{f}{f ^{2}} d g = \int_{0}^{g (T)} \frac{d g}{1 - g ^{2}} = [arcsin g]_{0}^{g (T)} = arcsin (g (T))

である（ $f = 1 - g^{2}$ ）。あとは $g (T)$ を求める。 $f (T) = g (T)$ かつ $f (T)^{2} + g (T)^{2} = 1$ 、 $f > 0$ より

2 g (T)^{2} = 1, g (T) = f (T) = \frac{1}{2}

である（ $g (T) = f (T) > 0$ ）。したがって

L = arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{4}

である。

(1) より点 (f(t), g(t)) は単位円の上を動く。t = 0 では (1, 0)、t = T では (1/√2, 1/√2)。太い弧がその道のりで、中心角 45°、半径 1 なので長さは π/4。

答えが「単位円の $4 5^{\circ}$ ぶんの弧」になっているのは偶然ではない。(1) から点は単位円上を動き、速さ $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = f$ で進むので、長さは中心角そのものになる。

$T = 0.881373587$ で数値的に長さを求めると $0.785398163$ で、 $\frac{π}{4} = 0.785398163$ と一致した。

根号の中を $f^{2} (f^{2} + g^{2})$ とまとめるのが要点。(1) がここで効く。

$g (T) = f (T)$ の符号は $f > 0$ から決まる。 $- \frac{1}{2}$ は不適。

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問題文について

(1)実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 f(t),g(t) が f′=−fg、g′=f2、f>0、∣g∣<1、f(0)=1、g(0)=0 を満たすとする。p(t)={f(t)}2+{g(t)}2 とするとき、p′(t) を求める

(2)q(t)=log1−g(t)1+g(t)​ とするとき、q′(t) が定数関数であることを示す

(3)t→∞lim​g(t) を求める

(4)f(T)=g(T) となる正の実数 T に対して、媒介変数表示された平面曲線 (x,y)=(f(t),g(t))（0≦t≦T）の長さを求める