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東京科学大学　2024年度　前期日程　理系

第3問数列・図形と方程式の解答・解説

折れ線の漸化式・等比型漸化式・三角形の面積・極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x y$ 平面上に点 $A (a, 0)$ 、 $B (0, b)$ 、 $C (- a, 0)$ （ $0 < a < b$ ）をとる。 $A, B$ を通る直線を $ℓ$ 、 $C$ を通り線分 $BC$ に垂直な直線を $k$ とする。 $A$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $k$ の交点を $C_{1}$ 、 $C_{1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $ℓ$ の交点を $A_{1}$ とし、以下 $A_{n}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $k$ の交点を $C_{n + 1}$ 、 $C_{n + 1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $ℓ$ の交点を $A_{n + 1}$ とする。点 $A_{n}, C_{n}$ の座標を求める

答 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 、 $C_{n} (x_{n - 1}, y_{n})$ 。ただし $x_{n} = \frac{a { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}$ 、 $y_{n} = \frac{- 2 a ^{2} b { 1 - ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}$

$A_{n}$ の $x$ 座標 $x_{n}$ だけ追えばよい。 $A_{n} \to C_{n + 1} \to A_{n + 1}$ の2段で $x_{n + 1}$ が $x_{n}$ の1次式になり、等比型の漸化式になる。

2本の直線。 $ℓ$ は $A (a, 0)$ 、 $B (0, b)$ を通るので

ℓ : y = b - \frac{b}{a} x

である。 $BC$ の傾きは $\frac{0 - b}{- a - 0} = \frac{b}{a}$ なので、これに垂直で $C (- a, 0)$ を通る $k$ は

k : y = - \frac{a}{b} (x + a)

である。

漸化式。 $A_{0} = A (a, 0)$ とおく（これで $C_{1}$ の作り方も $n ≧ 1$ と同じ形になる）。 $A_{n} = (x_{n}, y_{n})$ とすると、 $C_{n + 1}$ は $x$ 座標が $x_{n}$ で $k$ 上の点だから

C_{n + 1} = (x_{n}, - \frac{a}{b} (x_{n} + a))

である。 $A_{n + 1}$ は $y$ 座標が同じで $ℓ$ 上の点なので

b - \frac{b}{a} x_{n + 1} = - \frac{a}{b} (x_{n} + a), x_{n + 1} = a + \frac{a ^{2}}{b ^{2}} (x_{n} + a)

である。

解く。 $u_{n} = x_{n} + a$ 、 $r = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$ とおくと $u_{n + 1} = 2 a + r u_{n}$ である。 $0 < a < b$ より $0 < r < 1$ で、不動点は $α = \frac{2 a}{1 - r}$ である。 $u_{n + 1} - α = r (u_{n} - α)$ だから

u_{n} = α + r^{n} (u_{0} - α)

である。 $u_{0} = x_{0} + a = 2 a$ なので $u_{0} - α = 2 a - \frac{2 a}{1 - r} = - \frac{2 a r}{1 - r}$ で

u_{n} = \frac{2 a}{1 - r} (1 - r^{n + 1}) = \frac{2 a b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}} {1 - (\frac{a}{b})^{2 n + 2}}

である。 $x_{n} = u_{n} - a$ を整理すると

x_{n} = \frac{a { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}

となり、 $y_{n} = b - \frac{b}{a} x_{n}$ から

y_{n} = \frac{- 2 a ^{2} b { 1 - ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}

である（ $n = 0$ で $x_{0} = a$ 、 $y_{0} = 0$ となり、 $A$ に一致する ✓）。 $C_{n}$ は $A_{n - 1}$ と同じ $x$ 座標、 $A_{n}$ と同じ $y$ 座標なので

A_{n} = (x_{n}, y_{n}), C_{n} = (x_{n - 1}, y_{n})

である。

a = 1、b = 2 のとき。直線 ℓ は A, B を通り、直線 k は C を通って BC に垂直。A から縦・横と交互に進むと A → C₁ → A₁ → C₂ → A₂ → … と階段状に右下へ進み、ℓ と k の交点に近づいていく。

$(a, b)$ を3通りとり、漸化式から作った $x_{n}$ とこの式が小数9桁まで一致した。

$A_{0} = A$ とおくと添字がそろって見通しがよくなる。

$u_{n} = x_{n} + a$ とずらすのは、漸化式の定数項を消すため。不動点を引く定石である。

(2) $△ CBA_{n}$ の面積 $S_{n}$ を求める

答 $S_{n} = \frac{ab { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}$ （ $= b x_{n}$ ）

$C$ を基準にして $CB$ と $CA_{n}$ の外積（の絶対値の半分）で面積を出す。 $y_{n}$ を $x_{n}$ で書き直すと、ほとんどの項が消えて $b x_{n}$ になる。

$C (- a, 0)$ を基準にすると $CB = (a, b)$ 、 $CA_{n} = (x_{n} + a, y_{n})$ なので

S_{n} = \frac{1}{2} ∣ a y_{n} - b (x_{n} + a) ∣

である。 $A_{n}$ は $ℓ$ 上にあるので $y_{n} = b - \frac{b}{a} x_{n}$ で、これを代入すると

a y_{n} - b (x_{n} + a) = ab - b x_{n} - b x_{n} - ab = - 2 b x_{n}

である。 $x_{n} > 0$ なので

S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2 b x_{n} = b x_{n} = \frac{ab { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}

である。

$S_{n} = b x_{n}$ は図でも見える。底辺を $CA_{n}$ ではなく $C$ と $A_{n}$ を通る直線（ $ℓ$ ）側で見るより、 $B$ から $x$ 軸に下ろした高さ $b$ と、 $C$ から $A_{n}$ の $x$ 座標までの「横の広がり」で決まる、という形である。 $n = 0$ なら $S_{0} = ab$ で $△ CBA$ の面積に一致する。

座標から直接計算した面積と、この式が3通りの $(a, b)$ で一致した。

$A_{n}$ が $ℓ$ 上にあることを使うと、 $y_{n}$ を消せて式が一気に短くなる。

(3) $n \to \infty lim \frac{BA _{n}}{BC}$ を求める

答 $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}$

$A_{n}$ は直線 $ℓ$ 上にあるので、 $BA_{n}$ は $x_{n}$ の定数倍になる。 $BC = a^{2} + b^{2}$ と割ると、ちょうど $\frac{x _{n}}{a}$ になる。

$A_{n} = (x_{n}, y_{n})$ は $ℓ$ 上にあり、 $y_{n} - b = - \frac{b}{a} x_{n}$ である。したがって

BA_{n} = x_{n}^{2} + (y_{n} - b)^{2} = ∣ x_{n} ∣ 1 + \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = \frac{x _{n} a ^{2} + b ^{2}}{a}

である（ $x_{n} > 0$ ）。また $BC = a^{2} + b^{2}$ なので

\frac{BA _{n}}{BC} = \frac{x _{n}}{a} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n}}{b ^{2} - a ^{2}}

である。 $0 < a < b$ より $0 < \frac{a}{b} < 1$ なので $(\frac{a}{b})^{2 n} \to 0$ である。よって

n \to \infty lim \frac{BA _{n}}{BC} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}

である。

極限の点は $ℓ$ と $k$ の交点である。階段は毎回 $(\frac{a}{b})^{2}$ 倍ずつ縮みながらそこへ近づく。

$n = 30$ での比が $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}$ と小数9桁まで一致した。

$BA_{n}$ を $x_{n}$ だけで書けることに気づけば、根号が約分されて一気に片づく。

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(2)△CBAn​ の面積 Sn​ を求める

(3)n→∞lim​BCBAn​​ を求める

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