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東京科学大学　2024年度　前期日程　理系

東京科学大 2024年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　図形と方程式・微分法

放物線に接する円・法線・軌跡・媒介変数と接線の傾き当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x y$ 平面上の曲線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ に点 $(a, \frac{1}{2} a^{2})$ （ $a > 0$ ）で接する円のうち、 $y$ 軸の正の部分にも接するものを $S_{a}$ とおく。 $a$ が正の実数を動くときの $S_{a}$ の中心の軌跡を $C$ 、とくに $S_{1}$ の中心を $P$ とするとき、 $P$ の座標を求める

答 $P (2 - 2, 2 - \frac{1}{2})$

曲線に接する円の中心は、接点における法線の上にある。法線上を媒介変数で進み、「 $y$ 軸までの距離 $=$ 接点までの距離」で止まる位置を求める。

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ の $x = a$ における接線の傾きは $y^{'} = a$ なので、接線の方向ベクトルは $(1, a)$ 、法線の方向ベクトルは $(- a, 1)$ である。中心は接点 $T (a, \frac{1}{2} a^{2})$ から法線方向に進んだ点なので、 $s > 0$ を使って

(a - s a, \frac{1}{2} a^{2} + s)

と書ける（曲線の内側、つまり上側に向かう向きにとった）。このとき半径は接点までの距離で

r = s a^{2} + 1

である。

$y$ 軸に接する条件。 中心の $x$ 座標 $a (1 - s)$ が正で、それが半径に等しければよい。

a (1 - s) = s a^{2} + 1, a = s (a + a^{2} + 1)

より

s = \frac{a}{a + a ^{2} + 1} = a (a^{2} + 1 - a)

である（分母を有理化した。 $(a + a^{2} + 1) (a^{2} + 1 - a) = 1$ ）。 $0 < s < 1$ なので $x$ 座標は正になっている。

$a = 1$ のとき。 $s = 1 \cdot (2 - 1) = 2 - 1$ なので、中心は

(1 - (2 - 1), \frac{1}{2} + (2 - 1)) = (2 - 2, 2 - \frac{1}{2})

である。半径は $2 - 2 = 0.585 \dots$ で、 $y$ 軸との接点 $(0, 2 - \frac{1}{2})$ は正の部分にある ✓。よって

P (2 - 2, 2 - \frac{1}{2})

である。

a = 1 のとき。円 S₁ は放物線に (1, 1/2) で接し、y 軸にも接する。中心 P は接点での法線の上にある。破線が、a を動かしたときの中心の軌跡 C。

数値でも中心の $x$ 座標と接点までの距離が一致し、 $(0.585786438, 0.914213562)$ になった。

中心は法線上にある。接点を通る「どこか」ではなく、法線という向きが決まっている。

$y$ 軸に接する条件は「中心の $x$ 座標 $=$ 半径」。中心が右側にあることも確かめる。

(2)点 $P$ における曲線 $C$ の接線の傾きを求める

答 $1 + 2$

$C$ は $a$ を媒介変数とする曲線である。中心の座標を $a$ の式に整理してから $\frac{d Y / d a}{d X / d a}$ を計算する。

(1) の $s = a (a^{2} + 1 - a)$ を代入して、中心の座標を $a$ で表す。

X (a) = a - s a = a - a^{2} (a^{2} + 1 - a) = a^{3} + a - a^{2} a^{2} + 1

Y (a) = \frac{1}{2} a^{2} + s = \frac{1}{2} a^{2} + a a^{2} + 1 - a^{2} = a a^{2} + 1 - \frac{1}{2} a^{2}

である。それぞれ $a$ で微分する。 $(a^{2} + 1)^{'} = \frac{a}{a ^{2} + 1}$ を使うと

X^{'} (a) = 3 a^{2} + 1 - 2 a a^{2} + 1 - \frac{a ^{3}}{a ^{2} + 1}

Y^{'} (a) = a^{2} + 1 + \frac{a ^{2}}{a ^{2} + 1} - a

である。 $a = 1$ では $a^{2} + 1 = 2$ なので

X^{'} (1) = 4 - 22 - \frac{1}{2} = 4 - \frac{5 2}{2}, Y^{'} (1) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3 2}{2} - 1

である（ $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ ）。求める傾きは

\frac{Y ^{'} ( 1 )}{X ^{'} ( 1 )} = \frac{\frac{3 2}{2} - 1}{4 - \frac{5 2}{2}} = \frac{3 2 - 2}{8 - 5 2}

である。分母を有理化すると、分母は $64 - 50 = 14$ で、分子は

(32 - 2) (8 + 52) = 242 + 30 - 16 - 102 = 142 + 14

となる。よって

\frac{Y ^{'} ( 1 )}{X ^{'} ( 1 )} = \frac{14 ( 2 + 1 )}{14} = 1 + 2

である。

$X^{'} (1) = 4 - \frac{5 2}{2} = 0.464 \dots \neq = 0$ なので、 $C$ はこの点で縦に立ってはいない。割り算してよい。

数値微分でも $2.414213562$ で、 $1 + 2 = 2.414213562$ と一致した。

媒介変数表示の接線の傾きは $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d a}{d x / d a}$ 。分母が $0$ でないことを確かめる。

$a^{2} + 1$ の微分を忘れない。合成関数の微分である。

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第2問　微分法・積分法

連立微分方程式・保存量・対数の微分・曲線の長さ当サイトの体感難易度：難

(1)実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 $f (t), g (t)$ が $f^{'} = - f g$ 、 $g^{'} = f^{2}$ 、 $f > 0$ 、 $∣ g ∣ < 1$ 、 $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ を満たすとする。 $p (t) = {f (t)}^{2} + {g (t)}^{2}$ とするとき、 $p^{'} (t)$ を求める

答 $p^{'} (t) = 0$

そのまま微分して条件を代入するだけ。2つの項がちょうど打ち消す。

合成関数の微分より

p^{'} (t) = 2 f (t) f^{'} (t) + 2 g (t) g^{'} (t)

である。 $f^{'} = - f g$ 、 $g^{'} = f^{2}$ を代入すると

p^{'} (t) = 2 f (- f g) + 2 g \cdot f^{2} = - 2 f^{2} g + 2 f^{2} g = 0

である。

$p^{'} = 0$ なので $p$ は定数で、 $p (0) = f (0)^{2} + g (0)^{2} = 1$ より、つねに $f^{2} + g^{2} = 1$ である。つまり点 $(f (t), g (t))$ は単位円の上を動く。これが以下の鍵になる。

$f = \frac{1}{cosh t}$ 、 $g = tanh t$ で確かめると $p (t) = 1.0$ で一定だった。

(2) $q (t) = lo g \frac{1 + g ( t )}{1 - g ( t )}$ とするとき、 $q^{'} (t)$ が定数関数であることを示す

答 $q^{'} (t) = 2$

$lo g$ の中を差に分けて微分する。(1) で得た $f^{2} = 1 - g^{2}$ を使うと、分母と分子がきれいに消える。

$∣ g ∣ < 1$ なので $1 + g > 0$ 、 $1 - g > 0$ であり、 $q (t) = lo g (1 + g) - lo g (1 - g)$ と書ける。微分すると

q^{'} (t) = \frac{g ^{'}}{1 + g} + \frac{g ^{'}}{1 - g} = g^{'} \cdot \frac{( 1 - g ) + ( 1 + g )}{( 1 + g ) ( 1 - g )} = \frac{2 g ^{'}}{1 - g ^{2}}

である。(1) より $f^{2} + g^{2} = 1$ 、すなわち $f^{2} = 1 - g^{2}$ であり、 $g^{'} = f^{2}$ だから

q^{'} (t) = \frac{2 f ^{2}}{f ^{2}} = 2

である（ $f > 0$ なので $f^{2} \neq = 0$ 、割ってよい）。よって $q^{'}$ は定数関数 $2$ である。 $■$

数値微分でも $q^{'} (t) = 2.0$ で一定だった。

$lo g$ の微分で $1 - g$ の側は符号が2回変わる（中身の微分が $- g^{'}$ 、 $lo g$ の前にマイナス）。結果は足し算になる。

(3) $t \to \infty lim g (t)$ を求める

答 $1$

(2) より $q (t) = 2 t + q (0)$ である。 $q$ の定義式を $g$ について解けばよい。

(2) より $q^{'} (t) = 2$ なので $q (t) = 2 t + q (0)$ である。 $g (0) = 0$ だから

q (0) = lo g \frac{1 + 0}{1 - 0} = lo g 1 = 0, q (t) = 2 t

である。したがって

\frac{1 + g ( t )}{1 - g ( t )} = e^{2 t}

であり、 $g$ について解くと

1 + g = e^{2 t} - e^{2 t} g, g (1 + e^{2 t}) = e^{2 t} - 1, g (t) = \frac{e ^{2 t} - 1}{e ^{2 t} + 1}

である。分母・分子を $e^{2 t}$ で割ると

g (t) = \frac{1 - e ^{- 2 t}}{1 + e ^{- 2 t}} t \to \infty \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

である。よって $t \to \infty lim g (t) = 1$ である。

$g (t) = tanh t$ 、そして $f = 1 - g^{2} = \frac{1}{cosh t}$ である（ $f > 0$ ）。確かに $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ で、 $f^{'} = - f g$ 、 $g^{'} = f^{2}$ も成り立つ。

$g (30) = 1.000000000000$ だった。

(4) $f (T) = g (T)$ となる正の実数 $T$ に対して、媒介変数表示された平面曲線 $(x, y) = (f (t), g (t))$ （ $0 ≦ t ≦ T$ ）の長さを求める

答 $\frac{π}{4}$

長さの式 $\int (x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t$ に代入すると、(1) のおかげで根号がきれいに外れる。そのあとは $g$ を変数にとって置換する。

$x^{'} = f^{'} = - f g$ 、 $y^{'} = g^{'} = f^{2}$ なので

(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = f^{2} g^{2} + f^{4} = f^{2} (g^{2} + f^{2}) = f^{2}

である（(1) で $f^{2} + g^{2} = 1$ ）。 $f > 0$ だから $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = f$ で、長さは

L = \int_{0}^{T} f (t) d t

である。 $g^{'} = f^{2}$ より $d t = \frac{d g}{f ^{2}}$ と置換できて

L = \int_{g (0)}^{g (T)} \frac{f}{f ^{2}} d g = \int_{0}^{g (T)} \frac{d g}{1 - g ^{2}} = [arcsin g]_{0}^{g (T)} = arcsin (g (T))

である（ $f = 1 - g^{2}$ ）。あとは $g (T)$ を求める。 $f (T) = g (T)$ かつ $f (T)^{2} + g (T)^{2} = 1$ 、 $f > 0$ より

2 g (T)^{2} = 1, g (T) = f (T) = \frac{1}{2}

である（ $g (T) = f (T) > 0$ ）。したがって

L = arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{4}

である。

(1) より点 (f(t), g(t)) は単位円の上を動く。t = 0 では (1, 0)、t = T では (1/√2, 1/√2)。太い弧がその道のりで、中心角 45°、半径 1 なので長さは π/4。

答えが「単位円の $4 5^{\circ}$ ぶんの弧」になっているのは偶然ではない。(1) から点は単位円上を動き、速さ $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = f$ で進むので、長さは中心角そのものになる。

$T = 0.881373587$ で数値的に長さを求めると $0.785398163$ で、 $\frac{π}{4} = 0.785398163$ と一致した。

根号の中を $f^{2} (f^{2} + g^{2})$ とまとめるのが要点。(1) がここで効く。

$g (T) = f (T)$ の符号は $f > 0$ から決まる。 $- \frac{1}{2}$ は不適。

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第3問　数列・図形と方程式

折れ線の漸化式・等比型漸化式・三角形の面積・極限当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x y$ 平面上に点 $A (a, 0)$ 、 $B (0, b)$ 、 $C (- a, 0)$ （ $0 < a < b$ ）をとる。 $A, B$ を通る直線を $ℓ$ 、 $C$ を通り線分 $BC$ に垂直な直線を $k$ とする。 $A$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $k$ の交点を $C_{1}$ 、 $C_{1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $ℓ$ の交点を $A_{1}$ とし、以下 $A_{n}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $k$ の交点を $C_{n + 1}$ 、 $C_{n + 1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $ℓ$ の交点を $A_{n + 1}$ とする。点 $A_{n}, C_{n}$ の座標を求める

答 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 、 $C_{n} (x_{n - 1}, y_{n})$ 。ただし $x_{n} = \frac{a { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}$ 、 $y_{n} = \frac{- 2 a ^{2} b { 1 - ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}$

$A_{n}$ の $x$ 座標 $x_{n}$ だけ追えばよい。 $A_{n} \to C_{n + 1} \to A_{n + 1}$ の2段で $x_{n + 1}$ が $x_{n}$ の1次式になり、等比型の漸化式になる。

2本の直線。 $ℓ$ は $A (a, 0)$ 、 $B (0, b)$ を通るので

ℓ : y = b - \frac{b}{a} x

である。 $BC$ の傾きは $\frac{0 - b}{- a - 0} = \frac{b}{a}$ なので、これに垂直で $C (- a, 0)$ を通る $k$ は

k : y = - \frac{a}{b} (x + a)

である。

漸化式。 $A_{0} = A (a, 0)$ とおく（これで $C_{1}$ の作り方も $n ≧ 1$ と同じ形になる）。 $A_{n} = (x_{n}, y_{n})$ とすると、 $C_{n + 1}$ は $x$ 座標が $x_{n}$ で $k$ 上の点だから

C_{n + 1} = (x_{n}, - \frac{a}{b} (x_{n} + a))

である。 $A_{n + 1}$ は $y$ 座標が同じで $ℓ$ 上の点なので

b - \frac{b}{a} x_{n + 1} = - \frac{a}{b} (x_{n} + a), x_{n + 1} = a + \frac{a ^{2}}{b ^{2}} (x_{n} + a)

である。

解く。 $u_{n} = x_{n} + a$ 、 $r = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$ とおくと $u_{n + 1} = 2 a + r u_{n}$ である。 $0 < a < b$ より $0 < r < 1$ で、不動点は $α = \frac{2 a}{1 - r}$ である。 $u_{n + 1} - α = r (u_{n} - α)$ だから

u_{n} = α + r^{n} (u_{0} - α)

である。 $u_{0} = x_{0} + a = 2 a$ なので $u_{0} - α = 2 a - \frac{2 a}{1 - r} = - \frac{2 a r}{1 - r}$ で

u_{n} = \frac{2 a}{1 - r} (1 - r^{n + 1}) = \frac{2 a b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}} {1 - (\frac{a}{b})^{2 n + 2}}

である。 $x_{n} = u_{n} - a$ を整理すると

x_{n} = \frac{a { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}

となり、 $y_{n} = b - \frac{b}{a} x_{n}$ から

y_{n} = \frac{- 2 a ^{2} b { 1 - ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}

である（ $n = 0$ で $x_{0} = a$ 、 $y_{0} = 0$ となり、 $A$ に一致する ✓）。 $C_{n}$ は $A_{n - 1}$ と同じ $x$ 座標、 $A_{n}$ と同じ $y$ 座標なので

A_{n} = (x_{n}, y_{n}), C_{n} = (x_{n - 1}, y_{n})

である。

a = 1、b = 2 のとき。直線 ℓ は A, B を通り、直線 k は C を通って BC に垂直。A から縦・横と交互に進むと A → C₁ → A₁ → C₂ → A₂ → … と階段状に右下へ進み、ℓ と k の交点に近づいていく。

$(a, b)$ を3通りとり、漸化式から作った $x_{n}$ とこの式が小数9桁まで一致した。

$A_{0} = A$ とおくと添字がそろって見通しがよくなる。

$u_{n} = x_{n} + a$ とずらすのは、漸化式の定数項を消すため。不動点を引く定石である。

(2) $△ CBA_{n}$ の面積 $S_{n}$ を求める

答 $S_{n} = \frac{ab { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}$ （ $= b x_{n}$ ）

$C$ を基準にして $CB$ と $CA_{n}$ の外積（の絶対値の半分）で面積を出す。 $y_{n}$ を $x_{n}$ で書き直すと、ほとんどの項が消えて $b x_{n}$ になる。

$C (- a, 0)$ を基準にすると $CB = (a, b)$ 、 $CA_{n} = (x_{n} + a, y_{n})$ なので

S_{n} = \frac{1}{2} ∣ a y_{n} - b (x_{n} + a) ∣

である。 $A_{n}$ は $ℓ$ 上にあるので $y_{n} = b - \frac{b}{a} x_{n}$ で、これを代入すると

a y_{n} - b (x_{n} + a) = ab - b x_{n} - b x_{n} - ab = - 2 b x_{n}

である。 $x_{n} > 0$ なので

S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2 b x_{n} = b x_{n} = \frac{ab { a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n} }}{b ^{2} - a ^{2}}

である。

$S_{n} = b x_{n}$ は図でも見える。底辺を $CA_{n}$ ではなく $C$ と $A_{n}$ を通る直線（ $ℓ$ ）側で見るより、 $B$ から $x$ 軸に下ろした高さ $b$ と、 $C$ から $A_{n}$ の $x$ 座標までの「横の広がり」で決まる、という形である。 $n = 0$ なら $S_{0} = ab$ で $△ CBA$ の面積に一致する。

座標から直接計算した面積と、この式が3通りの $(a, b)$ で一致した。

$A_{n}$ が $ℓ$ 上にあることを使うと、 $y_{n}$ を消せて式が一気に短くなる。

(3) $n \to \infty lim \frac{BA _{n}}{BC}$ を求める

答 $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}$

$A_{n}$ は直線 $ℓ$ 上にあるので、 $BA_{n}$ は $x_{n}$ の定数倍になる。 $BC = a^{2} + b^{2}$ と割ると、ちょうど $\frac{x _{n}}{a}$ になる。

$A_{n} = (x_{n}, y_{n})$ は $ℓ$ 上にあり、 $y_{n} - b = - \frac{b}{a} x_{n}$ である。したがって

BA_{n} = x_{n}^{2} + (y_{n} - b)^{2} = ∣ x_{n} ∣ 1 + \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = \frac{x _{n} a ^{2} + b ^{2}}{a}

である（ $x_{n} > 0$ ）。また $BC = a^{2} + b^{2}$ なので

\frac{BA _{n}}{BC} = \frac{x _{n}}{a} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 a ^{2} ( \frac{a}{b} ) ^{2 n}}{b ^{2} - a ^{2}}

である。 $0 < a < b$ より $0 < \frac{a}{b} < 1$ なので $(\frac{a}{b})^{2 n} \to 0$ である。よって

n \to \infty lim \frac{BA _{n}}{BC} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}

である。

極限の点は $ℓ$ と $k$ の交点である。階段は毎回 $(\frac{a}{b})^{2}$ 倍ずつ縮みながらそこへ近づく。

$n = 30$ での比が $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{b ^{2} - a ^{2}}$ と小数9桁まで一致した。

$BA_{n}$ を $x_{n}$ だけで書けることに気づけば、根号が約分されて一気に片づく。

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第4問　確率

偶奇の確率・母関数のアイデア・積の形の確率・e の定義当サイトの体感難易度：やや難

(1) $n$ を正の整数とし、 $C_{1}, \dots, C_{n}$ を $n$ 枚の硬貨とする。各 $k$ に対し $C_{k}$ を投げて表が出る確率を $p_{k}$ 、裏が出る確率を $1 - p_{k}$ とする。この $n$ 枚を同時に投げ、表が出た枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。 $p_{k} = \frac{1}{3}$ のとき、成功する確率 $X_{n}$ を求める

答 $X_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{n}})$

「表の枚数が偶数の確率 $E$ 」と「奇数の確率 $O$ 」について、 $E + O = 1$ と $E - O$ の2本を立てる。 $E - O$ は積の形になる。

$n$ 枚のうち表の枚数が偶数である確率を $E_{n}$ 、奇数である確率を $O_{n}$ とする。 $E_{n} + O_{n} = 1$ である。

$E_{n} - O_{n}$ を追う。 1枚増やすとき、表（確率 $p$ ）なら偶奇が入れかわり、裏（確率 $1 - p$ ）ならそのままである。したがって

E_{新} - O_{新} = (1 - p) (E - O) + p (O - E) = (1 - 2 p) (E - O)

である。硬貨 $0$ 枚のときは表 $0$ 枚（偶数）なので $E - O = 1$ である。よって $n$ 枚では

E_{n} - O_{n} = (1 - 2 p_{1}) (1 - 2 p_{2}) \dots (1 - 2 p_{n})

となり、 $E_{n} + O_{n} = 1$ と合わせて

O_{n} = \frac{1 - ( 1 - 2 p _{1} ) ( 1 - 2 p _{2} ) \dots ( 1 - 2 p _{n} )}{2}

である。

代入する。 $p_{k} = \frac{1}{3}$ では $1 - 2 p_{k} = \frac{1}{3}$ なので、積は $(\frac{1}{3})^{n}$ で

X_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{n}})

である。

$(1 - p_{k}) + p_{k} x$ を全部掛けた式に $x = 1$ と $x = - 1$ を入れた、と見ることもできる。 $x = 1$ で $1$ 、 $x = - 1$ で $E - O$ である。

$n = 1, 2, 3, 5, 8$ で直接計算した確率と一致した（ $n = 8$ で $0.499923792$ ）。

(2) $p_{k} = \frac{1}{2 ( k + 1 )}$ （ $k = 1, \dots, n$ ）のとき、成功する確率 $Y_{n}$ を求める

答 $Y_{n} = \frac{n}{2 ( n + 1 )}$

(1) で得た式に代入する。 $1 - 2 p_{k} = \frac{k}{k + 1}$ となり、積が次々に約分される。

$1 - 2 p_{k} = 1 - \frac{1}{k + 1} = \frac{k}{k + 1}$ なので

(1 - 2 p_{1}) \dots (1 - 2 p_{n}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}

である（隣どうしが約分されて両端だけ残る）。よって

Y_{n} = \frac{1 - \frac{1}{n + 1}}{2} = \frac{n}{2 ( n + 1 )}

である。

$n = 1, \dots, 8$ で直接計算した確率と一致した（ $n = 8$ で $0.444444444$ ）。

$p_{k} ≦ \frac{1}{4} < 1$ なので確率として正しい。 $1 - 2 p_{k} > 0$ である。

(3) $n = 3 m$ （ $m$ は正の整数）で、 $k = 1, \dots, m$ では $p_{k} = \frac{1}{3 m}$ 、 $k = m + 1, \dots, 2 m$ では $p_{k} = \frac{2}{3 m}$ 、 $k = 2 m + 1, \dots, 3 m$ では $p_{k} = \frac{1}{m}$ とする。成功する確率を $Z_{3 m}$ とするとき、 $m \to \infty lim Z_{3 m}$ を求める

答 $\frac{1 - e ^{- 4}}{2}$

(1) の積は3つのかたまりに分かれ、それぞれ $(1 - \frac{c}{m})^{m}$ の形になる。これは $e^{- c}$ に収束する。

$1 - 2 p_{k}$ は3つのかたまりでそれぞれ

$k = 1, \dots, m$ ： $1 - \frac{2}{3 m}$ が $m$ 個
$k = m + 1, \dots, 2 m$ ： $1 - \frac{4}{3 m}$ が $m$ 個
$k = 2 m + 1, \dots, 3 m$ ： $1 - \frac{2}{m}$ が $m$ 個

である。したがって (1) の式より

Z_{3 m} = \frac{1}{2} {1 - (1 - \frac{2}{3 m})^{m} (1 - \frac{4}{3 m})^{m} (1 - \frac{2}{m})^{m}}

である。

極限。 一般に $m \to \infty lim (1 - \frac{c}{m})^{m} = e^{- c}$ である（ $(1 + \frac{1}{t})^{t} \to e$ の形に直せばよい）。これを3つに使うと

(1 - \frac{2}{3 m})^{m} \to e^{- \frac{2}{3}}, (1 - \frac{4}{3 m})^{m} \to e^{- \frac{4}{3}}, (1 - \frac{2}{m})^{m} \to e^{- 2}

なので、積は

e^{- \frac{2}{3} - \frac{4}{3} - 2} = e^{- 4}

に収束する。したがって

m \to \infty lim Z_{3 m} = \frac{1 - e ^{- 4}}{2}

である。

$\frac{1 - e ^{- 4}}{2} = 0.4908 \dots$ で、 $\frac{1}{2}$ よりわずかに小さい。表の総期待枚数が $\frac{m}{3 m} + \frac{2 m}{3 m} + \frac{m}{m} = 2$ と有限にとどまるので、偶奇がきれいに半々にはならない。

$m = 2000$ で $Z_{3 m} = 0.490856423$ となり、 $\frac{1 - e ^{- 4}}{2} = 0.490842181$ に近づいた。

$(1 - \frac{c}{m})^{m} \to e^{- c}$ を3つのかたまりに別々に使う。指数の和が $- 4$ になる。

$m = 1$ では $p_{k} = 1$ となる硬貨があるが、極限を考えるので $m$ が大きいところだけ見ればよい。

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第5問　複素数平面・整数

1の累乗根・絶対値による絞り込み・解と係数の関係・すべて求める当サイトの体感難易度：やや難

整数の組 $(a, b)$ に対して2次式 $f (x) = x^{2} + a x + b$ を考える。方程式 $f (x) = 0$ の複素数の範囲のすべての解 $α$ に対して $α^{n} = 1$ となる正の整数 $n$ が存在するような組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (- 2, 1), (- 1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, - 1)$ の6組

$α^{n} = 1$ なら $∣ α ∣ = 1$ である。解と係数の関係から $b$ と $a$ がごく狭い範囲に閉じこめられるので、あとは1つずつ確かめればよい。

絶対値で絞る。 $α^{n} = 1$ ならば $∣ α ∣^{n} = 1$ で、 $∣ α ∣ > 0$ だから $∣ α ∣ = 1$ である。2つの解を $α, β$ とすると、どちらも絶対値 $1$ である。解と係数の関係より

α + β = - a, α β = b

なので

∣ b ∣ = ∣ α ∣ ∣ β ∣ = 1, ∣ a ∣ = ∣ α + β ∣ ≦ ∣ α ∣ + ∣ β ∣ = 2

である。 $a, b$ は整数だから $b = \pm 1$ 、 $a \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ の高々10組しかない。

$b = 1$ のとき。 判別式は $a^{2} - 4$ である。

$a = - 2$ ： $f = (x - 1)^{2}$ 、解は $1$ （重解）。 $1^{1} = 1$ ✓
$a = 2$ ： $f = (x + 1)^{2}$ 、解は $- 1$ 。 $(- 1)^{2} = 1$ ✓
$a = - 1$ ： $f = x^{2} - x + 1$ 、解は $cos \frac{π}{3} \pm i sin \frac{π}{3}$ 。6乗して $1$ ✓
$a = 0$ ： $f = x^{2} + 1$ 、解は $\pm i$ 。4乗して $1$ ✓
$a = 1$ ： $f = x^{2} + x + 1$ 、解は $cos \frac{2 π}{3} \pm i sin \frac{2 π}{3}$ 。3乗して $1$ ✓

なので、 $b = 1$ では $a = - 2, - 1, 0, 1, 2$ のすべてが条件を満たす。

$b = - 1$ のとき。 $α β = - 1 < 0$ である。もし解が虚数なら、実数係数なので $β = \overline{α}$ となり $α β = ∣ α ∣^{2} = 1$ となって矛盾する。したがって2解はともに実数で、絶対値が $1$ だから ${α, β} \subset {1, - 1}$ である。積が $- 1$ なので ${α, β} = {1, - 1}$ で

a = - (1 + (- 1)) = 0, f (x) = x^{2} - 1

である。解 $1, - 1$ はどちらも条件を満たす ✓。 $a \neq = 0$ のときは $x^{2} + a x - 1$ の解が $\frac{- a \pm a ^{2} + 4}{2}$ で、積が $- 1$ かつ和が $- a \neq = 0$ だから $\pm 1$ にはならず、絶対値 $1$ にもならない。

以上より、求める組は

(a, b) = (- 2, 1), (- 1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, - 1)

の6組である。

$b = 1$ の5つは、 $x^{2} + a x + 1$ が $1, - 1, i, ω$ などの「1の累乗根」を解にもつ場合をすべて並べたものである。虚数解のときは $α + \overline{α} = 2 cos θ = - a$ で、 $cos θ$ が $0, \pm \frac{1}{2}$ の場合にあたる。

$- 10 ≦ a, b ≦ 10$ を全探索すると、条件を満たすのはこの6組だけだった。

$∣ b ∣ = 1$ と $∣ a ∣ ≦ 2$ まで絞ってから、10組を1つずつ確かめる。絞らずに考え始めると終わらない。

$b = - 1$ で虚数解が起こり得ないことを、実数係数の共役性から示す。

$α = 0$ は $α^{n} = 1$ を満たさない。 $b = 0$ は除かれる（ $∣ b ∣ = 1$ から自動的に除かれている）。

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問題文について

(1)xy 平面上の曲線 y=21​x2 に点 (a,21​a2)（a>0）で接する円のうち、y 軸の正の部分にも接するものを Sa​ とおく。a が正の実数を動くときの Sa​ の中心の軌跡を C、とくに S1​ の中心を P とするとき、P の座標を求める

(2)点 P における曲線 C の接線の傾きを求める

(1)実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 f(t),g(t) が f′=−fg、g′=f2、f>0、∣g∣<1、f(0)=1、g(0)=0 を満たすとする。p(t)={f(t)}2+{g(t)}2 とするとき、p′(t) を求める

(2)q(t)=log1−g(t)1+g(t)​ とするとき、q′(t) が定数関数であることを示す

(3)t→∞lim​g(t) を求める

(4)f(T)=g(T) となる正の実数 T に対して、媒介変数表示された平面曲線 (x,y)=(f(t),g(t))（0≦t≦T）の長さを求める

(2)△CBAn​ の面積 Sn​ を求める

(3)n→∞lim​BCBAn​​ を求める

(2)pk​=2(k+1)1​（k=1,…,n）のとき、成功する確率 Yn​ を求める

(3)n=3m（m は正の整数）で、k=1,…,m では pk​=3m1​、k=m+1,…,2m では pk​=3m2​、k=2m+1,…,3m では pk​=m1​ とする。成功する確率を Z3m​ とするとき、m→∞lim​Z3m​ を求める

整数の組 (a,b) に対して2次式 f(x)=x2+ax+b を考える。方程式 f(x)=0 の複素数の範囲のすべての解 α に対して αn=1 となる正の整数 n が存在するような組 (a,b) をすべて求める

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(2) $q (t) = lo g \frac{1 + g ( t )}{1 - g ( t )}$ とするとき、 $q^{'} (t)$ が定数関数であることを示す

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