第5問 複素数平面・整数の解答・解説

絶対値で絞る。 ${\alpha }^n=1$ ならば ${\left|\alpha \right|}^n=1$ で、$\left|\alpha \right|>0$ だから $\left|\alpha \right|=1$ である。2つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、どちらも絶対値 $1$ である。解と係数の関係より

なので

である。$a,b$ は整数だから $b=\pm 1$、$a\in \left\{-2,-1,0,1,2\right\}$ の高々10組しかない。

$b=1$ のとき。 判別式は $a^2-4$ である。

1. $a=-2$：$f={\left(x-1\right)}^2$、解は $1$（重解）。$1^1=1$ ✓
2. $a=2$：$f={\left(x+1\right)}^2$、解は $-1$。${\left(-1\right)}^2=1$ ✓
3. $a=-1$：$f=x^2-x+1$、解は $\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}$。6乗して $1$ ✓
4. $a=0$：$f=x^2+1$、解は $\pm i$。4乗して $1$ ✓
5. $a=1$：$f=x^2+x+1$、解は $\cos \frac{2\pi }{3}\pm i\sin \frac{2\pi }{3}$。3乗して $1$ ✓

なので、$b=1$ では $a=-2,-1,0,1,2$ のすべてが条件を満たす。

$b=-1$ のとき。 $\alpha \beta =-1<0$ である。もし解が虚数なら、実数係数なので $\beta =\overline{\alpha }$ となり $\alpha \beta ={\left|\alpha \right|}^2=1$ となって矛盾する。したがって2解はともに実数で、絶対値が $1$ だから $\left\{\alpha ,\beta \right\}\subset \left\{1,-1\right\}$ である。積が $-1$ なので $\left\{\alpha ,\beta \right\}=\left\{1,-1\right\}$ で

である。解 $1,-1$ はどちらも条件を満たす ✓。$a\ne 0$ のときは $x^2+ax-1$ の解が $\frac{-a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}$ で、積が $-1$ かつ和が $-a\ne 0$ だから $\pm 1$ にはならず、絶対値 $1$ にもならない。

以上より、求める組は

の6組である。

$b=1$ の5つは、$x^2+ax+1$ が $1,-1,i,\omega$ などの「1の累乗根」を解にもつ場合をすべて並べたものである。虚数解のときは $\alpha +\overline{\alpha }=2\cos \theta =-a$ で、$\cos \theta$ が $0,\pm \frac{1}{2}$ の場合にあたる。