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東京科学大学　2024年度　前期日程　理系

第4問確率の解答・解説

偶奇の確率・母関数のアイデア・積の形の確率・e の定義当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $n$ を正の整数とし、 $C_{1}, \dots, C_{n}$ を $n$ 枚の硬貨とする。各 $k$ に対し $C_{k}$ を投げて表が出る確率を $p_{k}$ 、裏が出る確率を $1 - p_{k}$ とする。この $n$ 枚を同時に投げ、表が出た枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。 $p_{k} = \frac{1}{3}$ のとき、成功する確率 $X_{n}$ を求める

答 $X_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{n}})$

「表の枚数が偶数の確率 $E$ 」と「奇数の確率 $O$ 」について、 $E + O = 1$ と $E - O$ の2本を立てる。 $E - O$ は積の形になる。

$n$ 枚のうち表の枚数が偶数である確率を $E_{n}$ 、奇数である確率を $O_{n}$ とする。 $E_{n} + O_{n} = 1$ である。

$E_{n} - O_{n}$ を追う。 1枚増やすとき、表（確率 $p$ ）なら偶奇が入れかわり、裏（確率 $1 - p$ ）ならそのままである。したがって

E_{新} - O_{新} = (1 - p) (E - O) + p (O - E) = (1 - 2 p) (E - O)

である。硬貨 $0$ 枚のときは表 $0$ 枚（偶数）なので $E - O = 1$ である。よって $n$ 枚では

E_{n} - O_{n} = (1 - 2 p_{1}) (1 - 2 p_{2}) \dots (1 - 2 p_{n})

となり、 $E_{n} + O_{n} = 1$ と合わせて

O_{n} = \frac{1 - ( 1 - 2 p _{1} ) ( 1 - 2 p _{2} ) \dots ( 1 - 2 p _{n} )}{2}

である。

代入する。 $p_{k} = \frac{1}{3}$ では $1 - 2 p_{k} = \frac{1}{3}$ なので、積は $(\frac{1}{3})^{n}$ で

X_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{n}})

である。

$(1 - p_{k}) + p_{k} x$ を全部掛けた式に $x = 1$ と $x = - 1$ を入れた、と見ることもできる。 $x = 1$ で $1$ 、 $x = - 1$ で $E - O$ である。

$n = 1, 2, 3, 5, 8$ で直接計算した確率と一致した（ $n = 8$ で $0.499923792$ ）。

(2) $p_{k} = \frac{1}{2 ( k + 1 )}$ （ $k = 1, \dots, n$ ）のとき、成功する確率 $Y_{n}$ を求める

答 $Y_{n} = \frac{n}{2 ( n + 1 )}$

(1) で得た式に代入する。 $1 - 2 p_{k} = \frac{k}{k + 1}$ となり、積が次々に約分される。

$1 - 2 p_{k} = 1 - \frac{1}{k + 1} = \frac{k}{k + 1}$ なので

(1 - 2 p_{1}) \dots (1 - 2 p_{n}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}

である（隣どうしが約分されて両端だけ残る）。よって

Y_{n} = \frac{1 - \frac{1}{n + 1}}{2} = \frac{n}{2 ( n + 1 )}

である。

$n = 1, \dots, 8$ で直接計算した確率と一致した（ $n = 8$ で $0.444444444$ ）。

$p_{k} ≦ \frac{1}{4} < 1$ なので確率として正しい。 $1 - 2 p_{k} > 0$ である。

(3) $n = 3 m$ （ $m$ は正の整数）で、 $k = 1, \dots, m$ では $p_{k} = \frac{1}{3 m}$ 、 $k = m + 1, \dots, 2 m$ では $p_{k} = \frac{2}{3 m}$ 、 $k = 2 m + 1, \dots, 3 m$ では $p_{k} = \frac{1}{m}$ とする。成功する確率を $Z_{3 m}$ とするとき、 $m \to \infty lim Z_{3 m}$ を求める

答 $\frac{1 - e ^{- 4}}{2}$

(1) の積は3つのかたまりに分かれ、それぞれ $(1 - \frac{c}{m})^{m}$ の形になる。これは $e^{- c}$ に収束する。

$1 - 2 p_{k}$ は3つのかたまりでそれぞれ

$k = 1, \dots, m$ ： $1 - \frac{2}{3 m}$ が $m$ 個
$k = m + 1, \dots, 2 m$ ： $1 - \frac{4}{3 m}$ が $m$ 個
$k = 2 m + 1, \dots, 3 m$ ： $1 - \frac{2}{m}$ が $m$ 個

である。したがって (1) の式より

Z_{3 m} = \frac{1}{2} {1 - (1 - \frac{2}{3 m})^{m} (1 - \frac{4}{3 m})^{m} (1 - \frac{2}{m})^{m}}

である。

極限。 一般に $m \to \infty lim (1 - \frac{c}{m})^{m} = e^{- c}$ である（ $(1 + \frac{1}{t})^{t} \to e$ の形に直せばよい）。これを3つに使うと

(1 - \frac{2}{3 m})^{m} \to e^{- \frac{2}{3}}, (1 - \frac{4}{3 m})^{m} \to e^{- \frac{4}{3}}, (1 - \frac{2}{m})^{m} \to e^{- 2}

なので、積は

e^{- \frac{2}{3} - \frac{4}{3} - 2} = e^{- 4}

に収束する。したがって

m \to \infty lim Z_{3 m} = \frac{1 - e ^{- 4}}{2}

である。

$\frac{1 - e ^{- 4}}{2} = 0.4908 \dots$ で、 $\frac{1}{2}$ よりわずかに小さい。表の総期待枚数が $\frac{m}{3 m} + \frac{2 m}{3 m} + \frac{m}{m} = 2$ と有限にとどまるので、偶奇がきれいに半々にはならない。

$m = 2000$ で $Z_{3 m} = 0.490856423$ となり、 $\frac{1 - e ^{- 4}}{2} = 0.490842181$ に近づいた。

$(1 - \frac{c}{m})^{m} \to e^{- c}$ を3つのかたまりに別々に使う。指数の和が $- 4$ になる。

$m = 1$ では $p_{k} = 1$ となる硬貨があるが、極限を考えるので $m$ が大きいところだけ見ればよい。

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問題文について

(2)pk​=2(k+1)1​（k=1,…,n）のとき、成功する確率 Yn​ を求める

(3)n=3m（m は正の整数）で、k=1,…,m では pk​=3m1​、k=m+1,…,2m では pk​=3m2​、k=2m+1,…,3m では pk​=m1​ とする。成功する確率を Z3m​ とするとき、m→∞lim​Z3m​ を求める

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