独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東京大学　2022年度　前期日程　文科

第2問微分法の解答・解説

法線・3次関数・解と係数の関係・値域当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $ℓ$ が $C$ と3つの異なる点で交わる $α$ の範囲を求める

答 $- \frac{1}{3} < α < \frac{1}{3}$

$P$ が交点の1つだとわかっているので、連立の3次式は $x - α$ で必ず割れる。割った残りの2次式が「異なる2実解をもち、どちらも $α$ ではない」が条件である。法線の傾きを $m$ とおいたまま進め、最後に $m = - \frac{1}{3 α ^{2} - 1}$ を入れると、 $T = 3 α^{2} - 1$ の符号だけの問題に落ちる。

$y^{'} = 3 x^{2} - 1$ なので $P$ での接線の傾きは $3 α^{2} - 1$ である。これを $T$ とおく。 $T = 0$ だと接線が $x$ 軸に平行で $ℓ$ は $x = α$ となり、 $C$ とは1点でしか交わらない。よって $T \neq = 0$ で、 $ℓ$ の傾きは

m = - \frac{1}{T}

である。 $ℓ : y = m (x - α) + α^{3} - α$ と $C$ の連立は

x^{3} - x (x^{3} - α^{3}) - (x - α) - m (x - α) (x - α) (x^{2} + α x + α^{2} - 1 - m) = m (x - α) + α^{3} - α = 0 = 0

となる。 $3$ つの異なる交点をもつ条件は、2次式

g (x) = x^{2} + α x + α^{2} - 1 - m

が異なる2実解をもち、しかもそのどちらも $α$ ではないことである。

判別式。 $g (x) = 0$ の判別式は

D = α^{2} - 4 (α^{2} - 1 - m) = - 3 α^{2} + 4 + 4 m

である。 $3 α^{2} = T + 1$ 、 $m = - \frac{1}{T}$ を入れると

D = - (T + 1) + 4 - \frac{4}{T} = 3 - T - \frac{4}{T} = - \frac{T ^{2} - 3 T + 4}{T}

となる。ここで $T^{2} - 3 T + 4 = (T - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ がつねに成り立つので

D > 0 ⟺ T < 0

である。

$x = α$ が解でないこと。

g (α) = α^{2} + α^{2} + α^{2} - 1 - m = T - m = T + \frac{1}{T} = \frac{T ^{2} + 1}{T}

で、 $T^{2} + 1 > 0$ 、 $T \neq = 0$ だから $g (α) \neq = 0$ である。この条件は自動的にみたされる。

したがって求める条件は $T = 3 α^{2} - 1 < 0$ 、すなわち

- \frac{1}{3} < α < \frac{1}{3}

である。

α = 0.3

のときの

C : y = x^{3} - x

と、

P (0.3, - 0.273)

での法線

ℓ

。

ℓ

は

C

と3点で交わり、

P

以外の2つの交点の

x

座標が

β = - 1.667

、

γ = 1.367

である。

$α = \pm \frac{1}{3}$ は $C$ の極値をとる $x$ で、そこでは接線が水平、法線が垂直になって交点が1つに減る。 $∣ α ∣$ がそれより大きいところでも、法線の傾きが小さすぎて交点は1つしかない。

$α = 0.3$ なら $T = - 0.73$ 、 $m = 1.369863$ で $D = 0.09 - 4 (0.09 - 1 - 1.369863) = 9.209452 > 0$ 。解は $x = - 1.667356, 1.367356$ となり、 $C$ 上の点 $(- 1.667356, - 2.967993)$ 、 $(1.367356, 1.189192)$ はどちらも $ℓ$ の上に乗っている。いっぽう $α = 0.6$ なら $T = 0.08 > 0$ で $D = - 3 (0.36) + 4 + 4 (- 12.5) = - 47.08 < 0$ 、交点は $P$ だけである。

$T = 0$ （ $α = \pm \frac{1}{3}$ ）を「傾きが定義できない」で片づけず、そのとき $ℓ$ が $x = α$ という垂直線になり交点が1個であることまで書く。範囲の端が除かれる理由がここにある。

$D > 0$ を $- 3 α^{2} + 4 + 4 m > 0$ のまま $m$ に代入して分母を払うときは、 $T$ の符号で不等号の向きが変わる。 $D = - \frac{T ^{2} - 3 T + 4}{T}$ の形にまとめてしまえば場合分けが消える。

(2) $β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 \neq = 0$ であることを示す

答 $β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 = m = - \frac{1}{3 α ^{2} - 1} \neq = 0$

$β, γ$ は (1) で出した2次式の2解なので、 $β + γ$ と $β γ$ が $α$ と $m$ で書ける。 $β^{2} + β γ + γ^{2}$ は $(β + γ)^{2} - β γ$ という対称式なので、代入するだけで $α$ が消えて $m$ だけが残る。

$β, γ$ は $x^{2} + α x + (α^{2} - 1 - m) = 0$ の2解だから、解と係数の関係より

β + γ = - α, β γ = α^{2} - 1 - m

である。したがって

β^{2} + β γ + γ^{2} = (β + γ)^{2} - β γ = α^{2} - (α^{2} - 1 - m) = 1 + m

となり

β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 = m = - \frac{1}{3 α ^{2} - 1}

を得る。 $m$ は $- \frac{1}{T}$ という形の数で、分子が $- 1$ だから $0$ になりえない。よって

β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 \neq = 0

である。

$β^{2} + β γ + γ^{2}$ は $β, γ$ の対称式で、 $β^{2} + 2 β γ + γ^{2} - β γ = (β + γ)^{2} - β γ$ と見るのがこの形の定石である。 $β^{3} - γ^{3} = (β - γ) (β^{2} + β γ + γ^{2})$ の因数として覚えている人は、そちらから $β \neq = γ$ を使って示してもよい。

$α = 0.3$ では $β = - 1.667356$ 、 $γ = 1.367356$ で $β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 = 2.779876 - 2.279863 + 1.869663 - 1 = 1.369863$ 。これは $m = - \frac{1}{3 ( 0.09 ) - 1} = \frac{1}{0.73} = 1.369863$ と一致する。 $- 0.57 \leq α \leq 0.57$ を $11$ 万 $4001$ 点で調べても、両者の差はすべて $1 0^{- 9}$ 未満だった。

「 $\neq = 0$ を示せ」なので、値が何になるかまで出してしまうのがいちばん確実である。 $β^{2} + β γ + γ^{2} - 1$ がちょうど $ℓ$ の傾き $m$ になるという事実が、そのまま (3) の計算に効く。

$β, γ$ は実数だが、 $β^{2} + β γ + γ^{2} \geq 0$ だけでは $- 1$ して $0$ にならないことは言えない。実際 $1 + m - 1 = m$ は負にもなる（ $T < 0$ だから $m > 0$ で、ここでは正だが）。値を出す以外の近道はない。

(3) $u = 4 α^{3} + \frac{1}{β ^{2} + β γ + γ ^{2} - 1}$ のとりうる値の範囲を求める

答 $- \frac{4 3}{9} < u \leq 1$

(2) で分母が $m$ だとわかったので、 $\frac{1}{m} = - T = 1 - 3 α^{2}$ と置き換えるだけで $u$ が $α$ だけの3次関数になる。あとは (1) の範囲 $∣ α ∣ < \frac{1}{3}$ での値域を増減表で出す。端が開いていること、極小値が左端の値より大きいことに注意する。

(2) より分母は $m = - \frac{1}{T}$ なので $\frac{1}{m} = - T = 1 - 3 α^{2}$ である。よって

u = 4 α^{3} + 1 - 3 α^{2} = 4 α^{3} - 3 α^{2} + 1

となり、 $u$ は $α$ だけの関数である。定義域は (1) より $- \frac{1}{3} < α < \frac{1}{3}$ である。

増減。 $f (α) = 4 α^{3} - 3 α^{2} + 1$ とすると

f^{'} (α) = 12 α^{2} - 6 α = 6 α (2 α - 1)

なので、 $α = 0$ と $α = \frac{1}{2}$ が極値を与える。 $\frac{1}{3} = 0.577 \dots$ なのでどちらも定義域の内部にある。 $f^{'}$ の符号は $α < 0$ で正、 $0 < α < \frac{1}{2}$ で負、 $α > \frac{1}{2}$ で正である。

$- \frac{1}{3} < α \leq 0$ ：増加。値は $f (- \frac{1}{3}) = - \frac{4}{3 3} - 1 + 1 = - \frac{4 3}{9}$ を含まず、 $f (0) = 1$ まで。
$0 \leq α \leq \frac{1}{2}$ ：減少。 $1$ から $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ まで。
$\frac{1}{2} \leq α < \frac{1}{3}$ ：増加。 $\frac{3}{4}$ から $f (\frac{1}{3}) = \frac{4 3}{9}$ を含まずまで。

まとめる。 $\frac{4 3}{9} = 0.7698 \dots$ は $1$ より小さく、 $\frac{3}{4} = 0.75$ より大きい。だから3番目の区間で出る値 $[\frac{3}{4}, \frac{4 3}{9})$ も、2番目の区間で出る値 $[\frac{3}{4}, 1]$ も、1番目の区間で出る値

(- \frac{4 3}{9}, 1]

にすべて含まれる。 $f$ は1番目の区間で連続かつ増加で、左端の値 $- \frac{4 3}{9}$ だけが届かず $f (0) = 1$ は実際にとる。よって

- \frac{4 3}{9} < u \leq 1

が求める範囲である。

u = 4 α^{3} - 3 α^{2} + 1

のグラフ（

- \frac{1}{3} < α < \frac{1}{3}

）。

α = 0

で最大値

1

、

α = \frac{1}{2}

で極小値

\frac{3}{4}

をとる。両端は定義域に入らないので、

- \frac{4 3}{9} = - 0.770

と

\frac{4 3}{9} = 0.770

はとらない。

$- \frac{4 3}{9} = - 0.769800$ 。 $α$ を $- 0.575$ から $0.575$ まで $23$ 万等分して $u = 4 α^{3} - 3 α^{2} + 1$ を計算すると、最大 $1.000000$ （ $α = 0$ ）、最小 $- 0.752313$ となる。定義域をさらに端へ寄せると最小は $- 0.769800$ に近づくが届かない。 $α = \frac{1}{2}$ では $u = 0.75$ である。

極小値 $\frac{3}{4}$ は最小値ではない。左端近くで $u$ は $- \frac{4 3}{9}$ まで下がるので、極小値だけ見て「 $\frac{3}{4} \leq u \leq 1$ 」とすると大きく外す。定義域の端の値をかならず計算して比べる。

右端の値 $\frac{4 3}{9} = 0.770$ は最大値 $1$ より小さいので、範囲の上端には関係しない。3つの区間の値域を合わせるときは、数値で大小を確かめておくと安全である。

端が開いているので、下端は $<$ 、上端は $\leq$ になる。 $u = 1$ は $α = 0$ で実際にとれる（このとき $P$ は原点で、 $ℓ$ は $y = x$ である）。

2022年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東大文系数学 2027

東大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・102ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)ℓ が C と3つの異なる点で交わる α の範囲を求める

(2)β2+βγ+γ2−1=0 であることを示す

(3)u=4α3+β2+βγ+γ2−11​ のとりうる値の範囲を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $ℓ$ が $C$ と3つの異なる点で交わる $α$ の範囲を求める

(2) $β^{2} + β γ + γ^{2} - 1 \neq = 0$ であることを示す

(3) $u = 4 α^{3} + \frac{1}{β ^{2} + β γ + γ ^{2} - 1}$ のとりうる値の範囲を求める