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東京大学　2022年度　前期日程　文科

第4問確率・ベクトルの解答・解説

1次独立・場合の数・重複組合せ・対称性当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $N = 5$ のとき $X_{5}$ が $O$ にある確率を求める

答 $\frac{1}{16}$

$v_{k}$ は $k$ を $3$ で割った余りだけで決まる3本のベクトルで、3本足すと $0$ になる。だから「どの向きを何本足したか」だけが問題になる。表の回数を「その表より前に出た裏の回数」で分類すれば、原点に戻る条件が3つの本数が等しいという条件に化ける。

$v_{k}$ は $\frac{2 k π}{3}$ で決まるので、 $k$ を $3$ で割った余りだけで決まり、 $v_{0}, v_{1}, v_{2}$ の3通りしかない。この3本は正三角形の頂点の向きで

v_{0} + v_{1} + v_{2} = 0

をみたし、 $v_{0}$ と $v_{1}$ は1次独立である。

3つのベクトル

v_{0}, v_{1}, v_{2}

。互いに

12 0^{\circ}

ずつずれた単位ベクトルで、3つ足すと

0

になる。

表が出るたびに、そのときまでに出た裏の回数 $k$ に応じて $v_{k}$ が足される。そこで各回の表を「その表より前に出た裏の回数」で分類し、裏がちょうど $j$ 回出たあとに出た表の回数を $m_{j}$ とする。裏が全部で $t$ 回なら $j = 0, 1, \dots, t$ である。すると

OX_{N} = j = 0 \sum t m_{j} v_{j} = A v_{0} + B v_{1} + C v_{2}

となる。ここで $A, B, C$ はそれぞれ $j$ を $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ である $m_{j}$ の総和である。 $v_{2} = - v_{0} - v_{1}$ を代入すると

OX_{N} = (A - C) v_{0} + (B - C) v_{1}

で、 $v_{0}, v_{1}$ が1次独立だから、 $X_{N}$ が $O$ にあることは

A = B = C

と同値である。

$N = 5$ の場合。 表の回数を $r$ とすると $r = A + B + C = 3 A$ なので $r$ は $3$ の倍数で、 $r \leq 5$ より $r = 0, 3$ である。

$r = 0$ ：すべて裏。 $A = B = C = 0$ で条件をみたす。 $1$ 通り。
$r = 3$ ： $t = 2$ なので $j = 0, 1, 2$ の $3$ 個。余り $0, 1, 2$ の組にそれぞれ $1$ 個ずつ入るので、 $A = m_{0}$ 、 $B = m_{1}$ 、 $C = m_{2}$ である。 $A = B = C = 1$ より $m_{0} = m_{1} = m_{2} = 1$ の $1$ 通り。

$m_{0}, m_{1}, \dots, m_{t}$ の組を決めることと表裏の並びを決めることは1対1に対応するので、条件をみたす並びは $1 + 1 = 2$ 通りである。全体は $2^{5} = 32$ 通りで、どれも同じ確率だから

\frac{2}{32} = \frac{1}{16}

が答えである。

$2^{5} = 32$ 通りの表裏をすべて並べて $X_{5}$ の座標を直接計算すると、原点に戻るのはちょうど $2$ 通り（表 $0$ 回が $1$ 通り、表 $3$ 回が $1$ 通り）で、上の数え方と一致する。確率は $\frac{2}{32} = \frac{1}{16} = 0.0625$ である。

$k$ は「それまでに出た裏の回数」であって何回目かではない。裏が出た回では点は動かず、 $k$ が1つ増えるだけである。

$v_{0}, v_{1}, v_{2}$ の3本は1次従属（足すと $0$ ）なので、 $A v_{0} + B v_{1} + C v_{2} = 0$ からただちに $A = B = C = 0$ とは言えない。 $v_{2}$ を消して1次独立な2本にしてから係数を比べる。

$r = 3$ のときの並びは「表表表裏裏」ではない。 $m_{0} = m_{1} = m_{2} = 1$ は「表・裏・表・裏・表」という並び1通りを指す。 $m_{j}$ の組と並びの対応を取り違えないこと。

(2) $N = 98$ のとき、表がちょうど $90$ 回・裏がちょうど $8$ 回出て、かつ $X_{98}$ が $O$ にある確率を求める

答 $\frac{49 6 ^{3}}{2 ^{98}} = \frac{3 1 ^{3}}{2 ^{86}} = \frac{29791}{2 ^{86}}$

(1) の数え方をそのまま使う。裏が $8$ 回なら $m_{j}$ の番号 $j$ は $0$ から $8$ までの $9$ 個で、 $9$ は $3$ の倍数だから、余り $0, 1, 2$ の3組にちょうど $3$ 個ずつきれいに分かれる。あとは各組で「 $3$ 個の数の和を $30$ にする」のを数えるだけで、重複組合せになる。

(1) と同じく、 $X_{98}$ が $O$ にある条件は $A = B = C$ である。表の回数は $r = 90$ で $A + B + C = 90$ だから

A = B = C = 30

が条件である。 $90$ は $3$ の倍数なので、この条件は矛盾しない。

組の分かれ方。 裏は $t = 8$ 回なので、 $m_{j}$ の番号 $j$ は $0, 1, \dots, 8$ の $9$ 個ある。 $j$ を $3$ で割った余りで分けると

余り 0 : j = 0, 3, 6 余り 1 : j = 1, 4, 7 余り 2 : j = 2, 5, 8

で、どの組もちょうど $3$ 個である。したがって

A = m_{0} + m_{3} + m_{6}, B = m_{1} + m_{4} + m_{7}, C = m_{2} + m_{5} + m_{8}

である。

数える。 各組について「 $0$ 以上の整数 $3$ 個の和を $30$ にする」組を数えればよい。これは $30$ 個のものを $3$ 個の箱に分ける重複組合せで

_{30 + 3 - 1} C_{3 - 1} =_{32} C_{2} = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496

通りである。3つの組は互いに関係なく決められるので、条件をみたす $(m_{0}, m_{1}, \dots, m_{8})$ は

49 6^{3} = 122023936

通りある。 $m_{j}$ の組と表裏の並びは1対1に対応し（ $m_{j}$ が決まれば「表を $m_{0}$ 回、裏、表を $m_{1}$ 回、裏、…、裏、表を $m_{8}$ 回」という並びが一意に決まる）、どの組でも表は $90$ 回、裏は $8$ 回で合計 $98$ 回になる。

全体は $2^{98}$ 通りでどれも同じ確率だから、求める確率は

\frac{49 6 ^{3}}{2 ^{98}} = \frac{( 2 ^{4} \cdot 31 ) ^{3}}{2 ^{98}} = \frac{2 ^{12} \cdot 3 1 ^{3}}{2 ^{98}} = \frac{3 1 ^{3}}{2 ^{86}} = \frac{29791}{2 ^{86}}

である。

$98$ という回数と $90$ 回という指定が効いているのは、裏が $8$ 回だと番号が $9$ 個になり $3$ で割り切れる点である。たとえば裏が $7$ 回（表 $91$ 回）だと番号が $8$ 個で組の個数が $3, 3, 2$ と不均等になり、しかも $91$ が $3$ の倍数でないので確率は $0$ になる。

小さい場合で同じ数え方を試すと、 $(N, r) = (11, 3)$ では番号 $9$ 個・各組3個・和 $1$ なので $(_{3} C_{2})^{3} = 27$ 通り、 $(N, r) = (14, 6)$ では和 $2$ なので $(_{4} C_{2})^{3} = 216$ 通りになる。 $2^{11}$ 、 $2^{14}$ 通りの全探索でも、原点に戻る並びはそれぞれちょうど $27$ 通り、 $216$ 通りだった。

番号の個数は裏の回数 $t$ ではなく $t + 1$ である。裏が $8$ 回なら「最初の裏より前」も1区間なので $9$ 個になる。ここを $8$ にすると組が $3$ 個ずつに分かれず、答えが変わってしまう。

重複組合せは $_{s + n - 1} C_{n - 1}$ で、 $n$ は箱の数である。 $_{32} C_{2}$ の $2$ は「 $3$ 個の箱の仕切り $2$ 本」であって、 $3$ ではない。

$m_{j}$ の組を数えたあとに「並べ方」を掛けてはいけない。 $m_{j}$ の組1つに対して表裏の並びはちょうど1通りで、すでに数え上がっている。

最後に約分する。 $496 = 2^{4} \cdot 31$ に気づけば $\frac{3 1 ^{3}}{2 ^{86}}$ まで下げられる。

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(1)N=5 のとき X5​ が O にある確率を求める

(2)N=98 のとき、表がちょうど 90 回・裏がちょうど 8 回出て、かつ X98​ が O にある確率を求める

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