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東京大学　2022年度　前期日程　文科

第3問整数の解答・解説

漸化式・合同式・周期性・最大公約数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $a_{2022}$ を $3$ で割った余りを求める

答 $2$

$a_{n}$ そのものは爆発的に大きくなるので、 $mod 3$ だけを追う。 $n (n + 2)$ の余りは $n$ の余りだけで決まるから、全体が周期をもつはずだと見当がつく。実際に数項書けば周期6が見える。

$mod 3$ で考える。まず $n (n + 2)$ の余りは $n$ の余りだけで決まり

n \equiv 0 \Rightarrow n (n + 2) \equiv 0, n \equiv 1 \Rightarrow n (n + 2) \equiv 1 \cdot 3 \equiv 0, n \equiv 2 \Rightarrow n (n + 2) \equiv 2 \cdot 4 \equiv 2

である。つまり足される項は、 $n \equiv 2 (mod 3)$ のときだけ $2$ で、ほかは $0$ である。

$a_{1} = 4 \equiv 1$ から順に計算すると

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} \equiv 1 \equiv a_{1}^{2} + 1 \cdot 3 \equiv 1 + 0 = 1 \equiv a_{2}^{2} + 2 \cdot 4 \equiv 1 + 2 = 0 \equiv a_{3}^{2} + 3 \cdot 5 \equiv 0 + 0 = 0 \equiv a_{4}^{2} + 4 \cdot 6 \equiv 0 + 0 = 0 \equiv a_{5}^{2} + 5 \cdot 7 \equiv 0 + 2 = 2 \equiv a_{6}^{2} + 6 \cdot 8 \equiv 4 + 0 = 1

となる。 $a_{1}$ から並べると

1, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 2, \dots

である。 $a_{7} \equiv a_{1} \equiv 1$ で、 $a_{n + 1}$ は「 $a_{n}$ の余り」と「 $n$ の余り」だけから決まるのだから、 $a_{7} \equiv a_{1}$ かつ $7 \equiv 1 (mod 3)$ （ $7 - 1 = 6$ は $3$ の倍数）より、以後は周期 $6$ でまったく同じ並びが続く。

$2022 = 6 \times 337$ なので、 $a_{2022}$ は周期のちょうど6番目にあたり

a_{2022} \equiv 2 (mod 3)

である。求める余りは $2$ である。

周期が $6$ になるのは、 $a_{n}$ の余りが決まっても次を出すには $n$ の余りも必要だからである。「状態」は（ $a_{n}$ の余り、 $n$ の余り）の組で、 $n$ の周期 $3$ と $a_{n}$ の並びがかみ合って $6$ になる。 $a_{7} \equiv a_{1}$ を確かめるだけでなく、 $7 \equiv 1 (mod 3)$ も確かめないと周期が言えない。

$mod 3$ の漸化式を $n = 1$ から $2021$ まで実際に回すと $a_{2022} \equiv 2$ になる。 $mod 9$ で回すと $a_{2022} \equiv 8$ で、これも $3$ で割れば $2$ である。周期6の表（ $1, 1, 0, 0, 0, 2$ ）で $2022 \div 6 = 337$ 余り $0$ だから6番目の $2$ 、という読み方と一致する。

$a_{1} = 4$ を $4$ のまま2乗して $16$ 、と進めると数が大きくなるだけである。最初から余りに直す。

「 $a_{7} \equiv a_{1}$ だから周期 $6$ 」と書くには、 $n$ の側の余りもそろっていることが必要である。 $a_{4} \equiv a_{5} \equiv 0$ のように同じ余りが並ぶ箇所があるので、 $a$ の値だけで周期を主張すると誤る。

(2) $a_{2022}, a_{2023}, a_{2024}$ の最大公約数を求める

答 $1$

漸化式は「次の項 $=$ 前の項の2乗 $+$ 具体的な整数」という形である。だから3項すべてを割る数は、漸化式の差をとることで具体的な整数 $n (n + 2)$ を割らなければならない。2つ分使えば候補が一気に絞られ、(1) の結果でとどめを刺せる。

$d = g cd (a_{2022}, a_{2023}, a_{2024})$ とおく（ $a_{n} > 0$ なので $d$ は正の整数）。

候補を絞る。 漸化式より

a_{2023} = a_{2022}^{2} + 2022 \cdot 2024, a_{2024} = a_{2023}^{2} + 2023 \cdot 2025

である。 $d$ は $a_{2022}$ と $a_{2023}$ をともに割るので、 $a_{2023} - a_{2022}^{2} = 2022 \cdot 2024$ を割る。同じく $d$ は $a_{2023}$ と $a_{2024}$ をともに割るので、 $a_{2024} - a_{2023}^{2} = 2023 \cdot 2025$ を割る。よって

d ∣ g cd (2022 \cdot 2024, 2023 \cdot 2025)

である。素因数分解すると

2022 \cdot 2024 2023 \cdot 2025 = (2 \cdot 3 \cdot 337) (2^{3} \cdot 11 \cdot 23) = 2^{4} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 337 = (7 \cdot 1 7^{2}) (3^{4} \cdot 5^{2}) = 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 1 7^{2}

で、共通の素因数は $3$ だけ、しかも前者には $3$ が1個しかないので

g cd (2022 \cdot 2024, 2023 \cdot 2025) = 3

である。したがって $d = 1$ または $d = 3$ である。

$3$ を落とす。 (1) より $a_{2022} \equiv 2 (mod 3)$ なので $a_{2022}$ は $3$ の倍数ではない。よって $d \neq = 3$ で

d = 1

である。求める最大公約数は $1$ である。

$2024 = 2^{3} \cdot 11 \cdot 23$ 、 $2025 = 3^{4} \cdot 5^{2} = 4 5^{2}$ 、 $2023 = 7 \cdot 1 7^{2}$ はどれも年号がらみでよく出てくる分解である。 $2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337$ の $337$ は素数で、 $337 < 1 9^{2} = 361$ なので $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ で割れないことを確かめれば足りる。

$2022 \cdot 2024 = 4092528$ 、 $2023 \cdot 2025 = 4096575$ で $g cd = 3$ 。いっぽう $mod 3$ の漸化式から $a_{2022} \equiv 2$ 、 $a_{2023} \equiv 1$ 、 $a_{2024} \equiv 1$ なので、3項とも $3$ では割れない。 $3$ 以外の共通素因数は上の絞り込みで消えているので、最大公約数は $1$ しかありえない。

$d ∣ 3$ まで出した時点で止めると、 $d = 3$ かもしれない。(1) がここで使われる設問構成なので、 $a_{2022} \equiv 2$ を引いてくる。

$g cd (a, b, c)$ は3つ同時の最大公約数である。 $g cd (a_{2022}, a_{2023})$ だけを計算しても、 $2022 \cdot 2024$ の約数という条件しか出ず絞り切れない。2本の差を両方使う。

$2022 \cdot 2024$ に $3$ が1個しかないことまで見る。 $g cd$ の指数は小さい方なので、 $2023 \cdot 2025$ に $3^{4}$ あっても結果は $3^{1}$ である。

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(1)a2022​ を 3 で割った余りを求める

(2)a2022​,a2023​,a2024​ の最大公約数を求める

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