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東京大学　2022年度　前期日程　文科

第1問 2次関数の解答・解説

接線・直交条件・円と接線・軸当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $b$ を $a$ で表し、 $a$ のとりうる値の範囲を求める

答 $b = \frac{a ^{2} + 1}{4}$ 、 $a$ はすべての実数をとりうる

原点を通る接線を探すとき、接点を $(t, t^{2} + a t + b)$ とおいて接線の式を作り、そこに原点を代入するのがいちばん短い。この放物線では定数項が $- t^{2} + b$ になるので、条件が $t^{2} = b$ というきわめて簡単な形になる。あとは2つの傾きの積が $- 1$ というだけである。

$y^{'} = 2 x + a$ なので、接点を $(t, t^{2} + a t + b)$ とすると接線は

y = (2 t + a) (x - t) + t^{2} + a t + b = (2 t + a) x - t^{2} + b

である。これが原点を通る条件は $- t^{2} + b = 0$ 、つまり

t^{2} = b

である。接線が2本あるには $t$ が2つなければならないので $b > 0$ が必要で、このとき $t = \pm b$ の2つに決まる。

傾きを書き下す。 $x$ 座標の小さい方が $P_{1}$ なので $t = - b$ が $P_{1}$ 、 $t = b$ が $P_{2}$ である。接線の傾きをそれぞれ $m_{1}, m_{2}$ とすると

m_{1} = a - 2 b, m_{2} = a + 2 b

で、 $ℓ_{1} ⊥ ℓ_{2}$ より $m_{1} m_{2} = - 1$ 、すなわち

a^{2} - 4 b = - 1 ⟺ b = \frac{a ^{2} + 1}{4}

を得る。

範囲を確かめる。 逆に $a$ をどんな実数にとっても $b = \frac{a ^{2} + 1}{4} > 0$ だから、接線は確かに2本あり、その傾きの積は $a^{2} - 4 b = - 1$ で直交する。2本は原点で交わっているので、条件をみたす $ℓ_{1}, ℓ_{2}$ が実際にとれる。したがって

a はすべての実数をとりうる

である。

$b > 0$ は「接線が2本ある」ための条件として先に出てくるが、 $b = \frac{a ^{2} + 1}{4}$ はどんな $a$ でも自動的に正になる。だから $a$ に制限が付かない。範囲を問われているのに制限が出ないときは、ここを書いておかないと答案が完結しない。

$a = 0.2$ なら $b = 0.26$ 、 $b = 0.509902$ で、 $m_{1} = 0.2 - 1.019804 = - 0.819804$ 、 $m_{2} = 0.2 + 1.019804 = 1.219804$ 。積は $- 1.000000$ になる。 $a = 2$ でも $b = 1.25$ 、 $m_{1} = - 0.236068$ 、 $m_{2} = 4.236068$ で積は $- 1$ である。

$P_{1}$ 、 $P_{2}$ の区別（ $x$ 座標の小さい方が $P_{1}$ ）は (1) では効かないが、(2) では $m_{1} < 0 < m_{2}$ を使うところで決定的に効く。ここで $t = - b$ が $P_{1}$ だと決めておく。

接線が「原点で」直交することは、原点を通る2本という条件に含まれている。交点をあらためて求める必要はない。

(2) $D_{2}$ の半径が $D_{1}$ の半径の2倍になる $a$ を求める

答 $a = \frac{3}{4}$

円が点 $P_{i}$ で $ℓ_{i}$ に接するなら、中心は $P_{i}$ を通る $ℓ_{i}$ の法線上にある。それが軸 $x = - \frac{a}{2}$ と交わる点が中心で、半径は中心と $P_{i}$ の距離である。ここで $m_{1} m_{2} = - 1$ だから「 $ℓ_{1}$ の法線の傾きは $m_{2}$ 」「 $ℓ_{2}$ の法線の傾きは $m_{1}$ 」となり、2つの半径を同じ文字で書ける。比をとると約分が効いて、 $\frac{r _{2}}{r _{1}} = ∣ m_{2} ∣$ という驚くほど簡単な式になる。

$s = b > 0$ とおく。 $t^{2} = b$ より $P_{1}, P_{2}$ の $y$ 座標は $b + a t + b = 2 b + a t$ と書けるので

P_{1} (- s, 2 b - a s), P_{2} (s, 2 b + a s)

である。また $C$ の軸は $x = - \frac{a}{2}$ である。

中心と半径。 $D_{1}$ は $P_{1}$ で $ℓ_{1}$ に接するので、中心は $P_{1}$ を通り $ℓ_{1}$ に垂直な直線上にある。その傾きは $- \frac{1}{m _{1}} = m_{2}$ （ $m_{1} m_{2} = - 1$ を使った）である。中心の $x$ 座標は $- \frac{a}{2}$ なので、 $P_{1}$ からの $x$ の変化は $- \frac{a}{2} - (- s) = s - \frac{a}{2}$ で

r_{1} = s - \frac{a}{2} 1 + m_{2}^{2}

となる。同様に $D_{2}$ の中心は傾き $- \frac{1}{m _{2}} = m_{1}$ の法線上にあり、 $x$ の変化は $- \frac{a}{2} - s$ なので

r_{2} = s + \frac{a}{2} 1 + m_{1}^{2}

である。

比をとる。 $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ より

1 + m_{2}^{2} = 1 + \frac{1}{m _{1}^{2}} = \frac{1 + m _{1}^{2}}{∣ m _{1} ∣}

なので、 $1 + m_{1}^{2}$ が約分されて

\frac{r _{2}}{r _{1}} = \frac{s + \frac{a}{2} 1 + m _{1}^{2}}{s - \frac{a}{2} \cdot \frac{1 + m _{1}^{2}}{∣ m _{1} ∣}} = \frac{∣ 2 s + a ∣}{∣ 2 s - a ∣} \cdot ∣ a - 2 s ∣ = ∣ a + 2 s ∣ = ∣ m_{2} ∣

となる。よって条件 $r_{2} = 2 r_{1}$ は

∣ m_{2} ∣ = 2

と同値である。

符号を決める。 $m_{2} - m_{1} = 4 s > 0$ かつ $m_{1} m_{2} = - 1 < 0$ だから、 $m_{1} < 0 < m_{2}$ である。したがって $m_{2} = 2$ に決まり、 $m_{1} = - \frac{1}{m _{2}} = - \frac{1}{2}$ である。 $m_{1} + m_{2} = 2 a$ より

a = \frac{m _{1} + m _{2}}{2} = \frac{- \frac{1}{2} + 2}{2} = \frac{3}{4}

を得る。このとき $s = \frac{m _{2} - m _{1}}{4} = \frac{5}{8} > 0$ で、 $b = s^{2} = \frac{25}{64}$ は $\frac{a ^{2} + 1}{4}$ と一致している。よって

a = \frac{3}{4}

が答えである。

a = \frac{3}{4}

（

b = \frac{25}{64}

）のときの放物線

C

、原点で直交する2本の接線

ℓ_{1}, ℓ_{2}

、および軸

x = - \frac{3}{8}

上に中心をもつ2つの円

D_{1}, D_{2}

。半径は

\frac{5}{4}

と

\frac{5}{2}

でちょうど2倍になる。

$a = \frac{3}{4}$ のとき $P_{1} (- \frac{5}{8}, \frac{5}{16})$ 、 $P_{2} (\frac{5}{8}, \frac{5}{4})$ 、軸は $x = - \frac{3}{8}$ 。 $D_{1}$ の中心は $(- \frac{3}{8}, \frac{13}{16})$ で $r_{1} = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 0.559017$ 、 $D_{2}$ の中心は $(- \frac{3}{8}, \frac{7}{4})$ で $r_{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{2} = 1.118034$ 。確かに $r_{2} = 2 r_{1}$ である。

$∣ m_{2} ∣ = 2$ から $m_{2} = \pm 2$ と2通り書いて、 $m_{2} = - 2$ を残してしまうと $a = - \frac{3}{4}$ という余計な答えが出る。 $m_{2} - m_{1} = 4 b > 0$ と $m_{1} m_{2} = - 1$ から $m_{1} < 0 < m_{2}$ が決まることを、かならず書いておく。

$D_{1}$ の中心は $D_{2}$ の内部に入る（ $a = \frac{3}{4}$ では2円の中心間距離 $\frac{15}{16}$ が $r_{2} = \frac{5}{2}$ より小さい）。図を描いて「2円が離れているはず」と思い込むと混乱する。接しているのは円と直線で、2円の位置関係は問われていない。