名古屋大学　2026年度　前期日程　文科系

第1問図形と方程式・微分法の解答・解説

放物線の接線・2接点の座標・ベクトルの内積と外積・最大最小への帰着当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

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掲載ページ名「令和８年度一般選抜（前期日程）の試験問題および正解・解答例等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)接点の $x$ 座標 $b, c$ を $p, a$ で表す

答 $b = a - p, c = a + p$

方針接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線を立て、点 $A$ を通る条件を $t$ の2次方程式にする。 $a^{2}$ がきれいに消えて完全平方になるのがこの問題の芯。

$Q : y = x^{2} + p$ の $x = t$ における接線は $y = 2 t x - t^{2} + p$ 。これが $A (a, a^{2})$ を通るので

a^{2} = 2 t a - t^{2} + p ⟺ t^{2} - 2 a t + a^{2} - p = 0 ⟺ (t - a)^{2} = p

$p > 0$ だから $t = a \pm p$ 。 $b < c$ より $b = a - p, c = a + p$ 。

答案で省略しない方がよい点

$b, c$ は $a$ を中心に $\pm p$ と対称に並ぶ。この対称性が (2) 以降の計算をすべて軽くする。

(2) $θ = \frac{π}{2}$ のとき $p$ を $a$ で表す

答 $p = a^{2} + \frac{1}{4}$

方針 $θ$ は $AB$ と $AC$ のなす角なので、直角は内積が $0$ 。成分を $p$ でくくると、 $(p - a) (p + a) = p - a^{2}$ が現れて一気に片づく。

(1) より、 $y$ 座標の差を整理すると

AB = (- p, 2 p (p - a)), AC = (p, 2 p (p + a))

内積は

AB \cdot AC = - p + 4 p (p - a) (p + a) = p {4 (p - a^{2}) - 1}

$p > 0$ だから、これが $0$ になるのは $4 (p - a^{2}) - 1 = 0$ 、すなわち $p = a^{2} + \frac{1}{4}$ 。

検算

$a = 0, p = \frac{1}{4}$ とすると $b = - \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2}$ 、 $A (0, 0)$ 、 $B (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 、 $C (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 。 $AB \cdot AC = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$ で直角になる。

答案で省略しない方がよい点

$y$ 座標の差は $(a \pm p)^{2} + p - a^{2} = 2 p \pm 2 a p = 2 p (p \pm a)$ 。 $p$ でくくる形に揃えておくと、内積も外積も見通しがよくなる。

(3) $θ \neq = \frac{π}{2}$ のとき $tan θ$ を $p, a$ で表す

答 $tan θ = \frac{4 p}{4 p - 4 a ^{2} - 1}$

方針 $tan θ = \frac{∣ AB \times AC ∣}{AB \cdot AC}$ を使う。 $0 < θ < π$ なので、外積の大きさを分子、内積を分母に置けば鈍角のとき自動的に負になり、場合分けが要らない。

外積（ $z$ 成分）は、 $a$ を含む項が打ち消し合って

- p \cdot 2 p (p + a) - 2 p (p - a) \cdot p = - 2 p {(p + a) + (p - a)} = - 4 p p

大きさは $4 p p$ 。(2) の内積と合わせて

tan θ = \frac{4 p p}{p ( 4 p - 4 a ^{2} - 1 )} = \frac{4 p}{4 p - 4 a ^{2} - 1}

検算

分母が $0$ になるのは $p = a^{2} + \frac{1}{4}$ のときで、(2) の直角の条件とちょうど一致する。式のつながりが取れている。

答案で省略しない方がよい点

$tan θ$ の分母に絶対値を付けない。付けると鈍角のときに符号が合わなくなる。分子だけ絶対値を取る。

(4)すべての実数 $a$ で $θ \geq \frac{π}{3}$ となる $p$ の範囲を求める

答 $0 < p \leq \frac{3}{4}$

方針 $D = 4 p - 4 a^{2} - 1$ とおくと $tan θ = \frac{4 p}{D}$ 。 $D \leq 0$ なら $θ \geq \frac{π}{2}$ で自動的に条件を満たすので、1本の不等式 $D \leq \frac{4 p}{3}$ にまとめられる。

$D \leq 0$ のとき … 内積が $0$ 以下なので $θ \geq \frac{π}{2} > \frac{π}{3}$ 。条件は成り立つ
$D > 0$ のとき … $θ$ は鋭角で、 $θ \geq \frac{π}{3} ⟺ tan θ \geq 3 ⟺ D \leq \frac{4 p}{3}$

$\frac{4 p}{3} > 0$ なので、 $D \leq 0$ の場合も2つめの不等式に含まれる。よって求める条件は「すべての $a$ で $D \leq \frac{4 p}{3}$ 」。 $D = 4 p - 1 - 4 a^{2}$ は $a = 0$ で最大になるから

4 p - 1 \leq \frac{4 p}{3}

$s = p > 0$ とおいて整理すると

43 s^{2} - 4 s - 3 \leq 0 ⟺ (2 s - 3) (23 s + 1) \leq 0 ⟺ s \leq \frac{3}{2}

$s = p$ より $p \leq \frac{3}{4}$ 。 $p > 0$ と合わせて $0 < p \leq \frac{3}{4}$ 。

検算

$p = \frac{3}{4}, a = 0$ では $D = 2$ 、 $tan θ = \frac{4 \cdot \frac{3}{2}}{2} = 3$ で $θ = \frac{π}{3}$ 。等号がちょうど達成される。 $p = 1, a = 0$ では $tan θ = \frac{4}{3} < 3$ となり $θ = 53. 1^{\circ} < 6 0^{\circ}$ で条件を外れる。