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名古屋大学　2021年度　前期日程　文科系

第1問微分法・積分法の解答・解説

放物線の接線・共通接線・判別式・面積・最大値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $C_{1} : y = x^{2}$ の点 $(t, t^{2})$ における接線の方程式を求める

答 $y = 2 t x - t^{2}$

微分して傾きを出し、点傾き形に入れるだけ。以降の小問はすべてこの形を使うので、 $- t^{2}$ という定数項まで覚えておく。

$y = x^{2}$ より $y^{'} = 2 x$ なので、 $x = t$ での接線の傾きは $2 t$ である。点 $(t, t^{2})$ を通るから

y - t^{2} = 2 t (x - t)

すなわち

y = 2 t x - t^{2}

である。

$C_{1}$ は上に開いた放物線なので、鉛直な接線はない。つまり $C_{1}$ の接線はすべて $y = 2 t x - t^{2}$ の形で書ける。(2) で「共通接線を全部数える」ときに効いてくる事実である。

$x^{2} - (2 t x - t^{2}) = (x - t)^{2} ≧ 0$ で、等号は $x = t$ だけ。確かに接している。

(2) $C_{1} : y = x^{2}$ と $C_{2} : y = - x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ （ $a > 0$ ）が異なる2本の共通接線をもつような $a$ の範囲を求める

答 $0 < a < \frac{2}{2}$

(1) で $C_{1}$ の接線は $y = 2 t x - t^{2}$ と尽くされている。あとは「この直線が $C_{2}$ にも接する」を判別式 $= 0$ で書き、 $t$ の2次方程式が異なる2解をもつ条件を、もう一度判別式で出す。判別式を2回使う形である。

$C_{1}$ の接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $C_{2}$ にも接する条件を書く。 $C_{2}$ の式と連立して

- x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4} = 2 t x - t^{2}

すなわち

x^{2} - (4 a - 2 t) x + (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0

である。接するのはこれが重解をもつとき、つまり

(4 a - 2 t)^{2} - 4 (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0

のときである。展開すると

16 a^{2} - 16 a t + 4 t^{2} - 16 a^{2} + 16 a^{4} + 4 t^{2} = 8 t^{2} - 16 a t + 16 a^{4} = 0

で、 $8$ で割って

t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0 \dots ①

となる。共通接線は ① の実数解 $t$ と1対1に対応する（ $t$ が違えば接線も違う）。よって共通接線が異なる2本あるのは、① が異なる2つの実数解をもつときである。

① の判別式を $4$ で割ったものは

\frac{D}{4} = a^{2} - 2 a^{4} = a^{2} (1 - 2 a^{2})

で、 $a > 0$ だから $a^{2} > 0$ 、したがって

1 - 2 a^{2} > 0 ⟺ a^{2} < \frac{1}{2}

である。 $a > 0$ とあわせて

0 < a < \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

が答えである。

$a = 0.3$ では ① の解が $t = 0.028338, 0.571662$ の2つで、どちらの接線も $C_{2}$ と重解で交わった。 $a = 0.72 (> \frac{2}{2})$ では実数解がなかった。

「共通接線」は $C_{1}$ の接線でもあり $C_{2}$ の接線でもある直線。 $C_{1}$ の接線をパラメータ $t$ で全部書き出してから $C_{2}$ の条件を課す、という順番にすると漏れがない。

判別式を2回使う。1回目は「 $C_{2}$ に接する」、2回目は「そういう $t$ が2つある」。役割が違うので混ぜない。

(3) $0 < a < \frac{2}{2}$ のとき、2本の共通接線 $ℓ, ℓ^{'}$ の交点の座標を求める

答 $(a, 2 a^{4})$

$y = x^{2}$ の2接線の交点は、接点の $x$ 座標を $t_{1}, t_{2}$ として $(\frac{t _{1} + t _{2}}{2}, t_{1} t_{2})$ になる。解と係数の関係をそのまま使えるので、 $t_{1}, t_{2}$ を根号で書き下す必要がない。

① $t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0$ の2解を $t_{1}, t_{2}$ （ $t_{1} < t_{2}$ ）とすると、解と係数の関係から

t_{1} + t_{2} = 2 a, t_{1} t_{2} = 2 a^{4} \dots ②

である。2本の接線

ℓ : y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}, ℓ^{'} : y = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}

を連立すると

2 (t_{1} - t_{2}) x = t_{1}^{2} - t_{2}^{2} = (t_{1} + t_{2}) (t_{1} - t_{2})

で、 $t_{1} \neq = t_{2}$ だから両辺を $t_{1} - t_{2}$ で割って

x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2} = a

となる。これを $ℓ$ に代入すると、② を使って

y = 2 t_{1} \cdot \frac{t _{1} + t _{2}}{2} - t_{1}^{2} = t_{1}^{2} + t_{1} t_{2} - t_{1}^{2} = t_{1} t_{2} = 2 a^{4}

である。よって交点は

(a, 2 a^{4})

である。

交点の $x$ 座標が2接点の中点 $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ になるのは放物線 $y = x^{2}$ に共通の性質で、(4) で「 $x ≦ a$ 」がちょうど左半分を切り取ることに直結する。問題が $D_{2}$ を $x ≦ a$ で与えているのはこのためである。

$a = 0.4$ で数値計算すると交点は $(0.400000000, 0.051200000)$ で、 $2 a^{4} = 2 \cdot 0.0256 = 0.0512$ と一致した。

(4) $C_{1}$ と $ℓ, ℓ^{'}$ で囲まれた領域 $D_{1}$ と、 $x ≦ a$ の表す領域 $D_{2}$ の共通部分の面積 $S (a)$ を求める

答 $S (a) = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}}$

(3) より2接線の交点の $x$ 座標はちょうど $a$ なので、 $D_{1} \cap D_{2}$ は「左半分」、つまり $t_{1} ≦ x ≦ a$ で $C_{1}$ と $ℓ$ に挟まれた部分である。被積分関数が $(x - t_{1})^{2}$ になるので積分は一瞬で終わる。

a = 1/2 のときの C1、C2 と2本の共通接線。2接線の交点の x 座標は a で、網かけが x ≦ a の側に残る面積 S(a)。

$C_{1}$ は下に凸なので、接線 $ℓ, ℓ^{'}$ はどちらも $C_{1}$ の下側にある。よって $D_{1}$ は、上を $C_{1}$ 、下を2本の接線で囲まれた領域で、 $t_{1} ≦ x ≦ t_{2}$ の範囲にある。

(3) より $ℓ$ と $ℓ^{'}$ の交点の $x$ 座標は $a = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ なので、 $x ≦ a$ の部分では下側の境界は $ℓ$ だけである。したがって

S (a) = \int_{t_{1}}^{a} {x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2})} d x = \int_{t_{1}}^{a} (x - t_{1})^{2} d x

である。これは

S (a) = [\frac{( x - t _{1} ) ^{3}}{3}]_{t_{1}}^{a} = \frac{( a - t _{1} ) ^{3}}{3}

となる。あとは $a - t_{1}$ を求めればよい。① の解は

t = a \pm a^{2} - 2 a^{4} = a \pm a 1 - 2 a^{2}

（ $a > 0$ なので $a^{2} - 2 a^{4} = a^{2} 1 - 2 a^{2} = a 1 - 2 a^{2}$ ）だから、小さいほうが $t_{1} = a - a 1 - 2 a^{2}$ で

a - t_{1} = a 1 - 2 a^{2}

である。よって

S (a) = \frac{1}{3} (a 1 - 2 a^{2})^{3} = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}}

である。

$a = 0.35$ でシンプソン法で数値積分すると $0.0093756914$ 、 $\frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{3/2} = 0.0093756914$ で一致した。

「 $C_{1}$ と2接線で囲まれた図形」の面積を $x ≦ a$ で切ると、下側の境界が $ℓ$ だけになる。 $ℓ^{'}$ は $x > a$ の側の境界なので、この積分には出てこない。

$a^{2} = a$ と書けるのは $a > 0$ だからで、ここを $∣ a ∣$ のまま引きずると最後の形が合わない。

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問題文について

(1)C1​:y=x2 の点 (t,t2) における接線の方程式を求める

(2)C1​:y=x2 と C2​:y=−x2+4ax−4a2+4a4（a>0）が異なる2本の共通接線をもつような a の範囲を求める

(3)0<a<22​​ のとき、2本の共通接線 ℓ,ℓ′ の交点の座標を求める

(4)C1​ と ℓ,ℓ′ で囲まれた領域 D1​ と、x≦a の表す領域 D2​ の共通部分の面積 S(a) を求める

同じ形式の問題を、5回分

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