独自の解答・詳解
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全3問・無料

名古屋大学　2021年度　前期日程　文科系

名大文系 2021年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法・積分法

放物線の接線・共通接線・判別式・面積・最大値当サイトの体感難易度：標準

(1) $C_{1} : y = x^{2}$ の点 $(t, t^{2})$ における接線の方程式を求める

答 $y = 2 t x - t^{2}$

微分して傾きを出し、点傾き形に入れるだけ。以降の小問はすべてこの形を使うので、 $- t^{2}$ という定数項まで覚えておく。

$y = x^{2}$ より $y^{'} = 2 x$ なので、 $x = t$ での接線の傾きは $2 t$ である。点 $(t, t^{2})$ を通るから

y - t^{2} = 2 t (x - t)

すなわち

y = 2 t x - t^{2}

である。

$C_{1}$ は上に開いた放物線なので、鉛直な接線はない。つまり $C_{1}$ の接線はすべて $y = 2 t x - t^{2}$ の形で書ける。(2) で「共通接線を全部数える」ときに効いてくる事実である。

$x^{2} - (2 t x - t^{2}) = (x - t)^{2} ≧ 0$ で、等号は $x = t$ だけ。確かに接している。

(2) $C_{1} : y = x^{2}$ と $C_{2} : y = - x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ （ $a > 0$ ）が異なる2本の共通接線をもつような $a$ の範囲を求める

答 $0 < a < \frac{2}{2}$

(1) で $C_{1}$ の接線は $y = 2 t x - t^{2}$ と尽くされている。あとは「この直線が $C_{2}$ にも接する」を判別式 $= 0$ で書き、 $t$ の2次方程式が異なる2解をもつ条件を、もう一度判別式で出す。判別式を2回使う形である。

$C_{1}$ の接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $C_{2}$ にも接する条件を書く。 $C_{2}$ の式と連立して

- x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4} = 2 t x - t^{2}

すなわち

x^{2} - (4 a - 2 t) x + (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0

である。接するのはこれが重解をもつとき、つまり

(4 a - 2 t)^{2} - 4 (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0

のときである。展開すると

16 a^{2} - 16 a t + 4 t^{2} - 16 a^{2} + 16 a^{4} + 4 t^{2} = 8 t^{2} - 16 a t + 16 a^{4} = 0

で、 $8$ で割って

t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0 \dots ①

となる。共通接線は ① の実数解 $t$ と1対1に対応する（ $t$ が違えば接線も違う）。よって共通接線が異なる2本あるのは、① が異なる2つの実数解をもつときである。

① の判別式を $4$ で割ったものは

\frac{D}{4} = a^{2} - 2 a^{4} = a^{2} (1 - 2 a^{2})

で、 $a > 0$ だから $a^{2} > 0$ 、したがって

1 - 2 a^{2} > 0 ⟺ a^{2} < \frac{1}{2}

である。 $a > 0$ とあわせて

0 < a < \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

が答えである。

$a = 0.3$ では ① の解が $t = 0.028338, 0.571662$ の2つで、どちらの接線も $C_{2}$ と重解で交わった。 $a = 0.72 (> \frac{2}{2})$ では実数解がなかった。

「共通接線」は $C_{1}$ の接線でもあり $C_{2}$ の接線でもある直線。 $C_{1}$ の接線をパラメータ $t$ で全部書き出してから $C_{2}$ の条件を課す、という順番にすると漏れがない。

判別式を2回使う。1回目は「 $C_{2}$ に接する」、2回目は「そういう $t$ が2つある」。役割が違うので混ぜない。

(3) $0 < a < \frac{2}{2}$ のとき、2本の共通接線 $ℓ, ℓ^{'}$ の交点の座標を求める

答 $(a, 2 a^{4})$

$y = x^{2}$ の2接線の交点は、接点の $x$ 座標を $t_{1}, t_{2}$ として $(\frac{t _{1} + t _{2}}{2}, t_{1} t_{2})$ になる。解と係数の関係をそのまま使えるので、 $t_{1}, t_{2}$ を根号で書き下す必要がない。

① $t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0$ の2解を $t_{1}, t_{2}$ （ $t_{1} < t_{2}$ ）とすると、解と係数の関係から

t_{1} + t_{2} = 2 a, t_{1} t_{2} = 2 a^{4} \dots ②

である。2本の接線

ℓ : y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}, ℓ^{'} : y = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}

を連立すると

2 (t_{1} - t_{2}) x = t_{1}^{2} - t_{2}^{2} = (t_{1} + t_{2}) (t_{1} - t_{2})

で、 $t_{1} \neq = t_{2}$ だから両辺を $t_{1} - t_{2}$ で割って

x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2} = a

となる。これを $ℓ$ に代入すると、② を使って

y = 2 t_{1} \cdot \frac{t _{1} + t _{2}}{2} - t_{1}^{2} = t_{1}^{2} + t_{1} t_{2} - t_{1}^{2} = t_{1} t_{2} = 2 a^{4}

である。よって交点は

(a, 2 a^{4})

である。

交点の $x$ 座標が2接点の中点 $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ になるのは放物線 $y = x^{2}$ に共通の性質で、(4) で「 $x ≦ a$ 」がちょうど左半分を切り取ることに直結する。問題が $D_{2}$ を $x ≦ a$ で与えているのはこのためである。

$a = 0.4$ で数値計算すると交点は $(0.400000000, 0.051200000)$ で、 $2 a^{4} = 2 \cdot 0.0256 = 0.0512$ と一致した。

(4) $C_{1}$ と $ℓ, ℓ^{'}$ で囲まれた領域 $D_{1}$ と、 $x ≦ a$ の表す領域 $D_{2}$ の共通部分の面積 $S (a)$ を求める

答 $S (a) = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}}$

(3) より2接線の交点の $x$ 座標はちょうど $a$ なので、 $D_{1} \cap D_{2}$ は「左半分」、つまり $t_{1} ≦ x ≦ a$ で $C_{1}$ と $ℓ$ に挟まれた部分である。被積分関数が $(x - t_{1})^{2}$ になるので積分は一瞬で終わる。

a = 1/2 のときの C1、C2 と2本の共通接線。2接線の交点の x 座標は a で、網かけが x ≦ a の側に残る面積 S(a)。

$C_{1}$ は下に凸なので、接線 $ℓ, ℓ^{'}$ はどちらも $C_{1}$ の下側にある。よって $D_{1}$ は、上を $C_{1}$ 、下を2本の接線で囲まれた領域で、 $t_{1} ≦ x ≦ t_{2}$ の範囲にある。

(3) より $ℓ$ と $ℓ^{'}$ の交点の $x$ 座標は $a = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ なので、 $x ≦ a$ の部分では下側の境界は $ℓ$ だけである。したがって

S (a) = \int_{t_{1}}^{a} {x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2})} d x = \int_{t_{1}}^{a} (x - t_{1})^{2} d x

である。これは

S (a) = [\frac{( x - t _{1} ) ^{3}}{3}]_{t_{1}}^{a} = \frac{( a - t _{1} ) ^{3}}{3}

となる。あとは $a - t_{1}$ を求めればよい。① の解は

t = a \pm a^{2} - 2 a^{4} = a \pm a 1 - 2 a^{2}

（ $a > 0$ なので $a^{2} - 2 a^{4} = a^{2} 1 - 2 a^{2} = a 1 - 2 a^{2}$ ）だから、小さいほうが $t_{1} = a - a 1 - 2 a^{2}$ で

a - t_{1} = a 1 - 2 a^{2}

である。よって

S (a) = \frac{1}{3} (a 1 - 2 a^{2})^{3} = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}}

である。

$a = 0.35$ でシンプソン法で数値積分すると $0.0093756914$ 、 $\frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{3/2} = 0.0093756914$ で一致した。

「 $C_{1}$ と2接線で囲まれた図形」の面積を $x ≦ a$ で切ると、下側の境界が $ℓ$ だけになる。 $ℓ^{'}$ は $x > a$ の側の境界なので、この積分には出てこない。

$a^{2} = a$ と書けるのは $a > 0$ だからで、ここを $∣ a ∣$ のまま引きずると最後の形が合わない。

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第2問　指数・対数

底の変換・大小比較・解と係数の関係・3次関数の符号当サイトの体感難易度：標準

(1) $α = lo g_{2} 3, β = lo g_{3} 5, γ = lo g_{5} 2$ について $α β γ = 1$ を示す

答底の変換で $α β γ = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1$

底がばらばらなので、まず全部を同じ底にそろえる。そろえれば分子と分母が順に打ち消し合う。

底を $10$ （何でもよい）にそろえると、底の変換公式から

α = \frac{lo g 3}{lo g 2}, β = \frac{lo g 5}{lo g 3}, γ = \frac{lo g 2}{lo g 5}

である（ $lo g 2, lo g 3, lo g 5$ はいずれも $0$ でない）。よって

α β γ = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

である。 $■$

この $α β γ = 1$ が (3) で効く。 $\frac{1}{α} = β γ$ のように、逆数が残り2つの積に化けるからである。

数値で $α β γ = 1.000000000000$ になった。

(2) $α = lo g_{2} 3, β = lo g_{3} 5, γ = lo g_{5} 2, δ = \frac{3}{2}$ を小さい順に並べる

答 $γ < β < δ < α$

対数の大小は、 $lo g_{a} b$ と有理数 $\frac{q}{p}$ の比較を $b^{p}$ と $a^{q}$ の比較に直すのが基本。 $γ$ だけは $1$ より小さいことがすぐ分かるので先に外し、残り3つを $\frac{3}{2}$ との比較に帰着させる。

$γ$ が最小。 $2 < 5$ より $lo g_{5} 2 < lo g_{5} 5 = 1$ なので

γ < 1

である。一方 $β = lo g_{3} 5 > lo g_{3} 3 = 1$ 、 $α = lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1$ 、 $δ = \frac{3}{2} > 1$ なので、 $γ$ がいちばん小さい。

$β$ と $δ$ 。 $β < \frac{3}{2}$ は $3^{β} < 3^{\frac{3}{2}}$ と同値で、 $3^{β} = 5$ だから

5 < 3^{\frac{3}{2}} ⟺ 5^{2} < 3^{3} ⟺ 25 < 27

である。これは正しいので $β < δ$ である。

$δ$ と $α$ 。 $\frac{3}{2} < α$ は $2^{\frac{3}{2}} < 2^{α} = 3$ と同値で

2^{\frac{3}{2}} < 3 ⟺ 2^{3} < 3^{2} ⟺ 8 < 9

である。これも正しいので $δ < α$ である。

以上をあわせて

γ < β < δ < α

である。

$y = a^{x}$ （ $a > 1$ ）が増加関数であることを使って、対数の不等式を整数の不等式に落としている。 $25 < 27$ と $8 < 9$ という、暗算でできる形まで持っていけるのがこの問題の狙いである。

数値では $γ = 0.430677 < β = 1.464974 < δ = 1.5 < α = 1.584963$ で、並び順が一致した。

$β$ と $α$ を直接比べようとすると $5^{2}$ と $3^{3}$ のような形にならず苦しい。 $δ = \frac{3}{2}$ を仲立ちにする。

両辺を $p$ 乗するときは、両辺が正で $y = x^{p}$ が増加であることを前提にしている。

(3) $p = α + β + γ$ 、 $q = \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ 、 $f (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + 1$ とするとき、 $f (- \frac{1}{2}), f (- 1), f (- \frac{3}{2})$ の正負を判定する

答 $f (- \frac{1}{2}) < 0$ 、 $f (- 1) < 0$ 、 $f (- \frac{3}{2}) > 0$

(1) の $α β γ = 1$ を使うと $q = α β + β γ + γ α$ に直る。すると $f (x)$ は $(x + α) (x + β) (x + γ)$ と因数分解でき、あとは3つの因数の符号を (2) の大小から読むだけになる。値を計算する必要はない。

$q$ を書き直す。 (1) の $α β γ = 1$ から

\frac{1}{α} = β γ, \frac{1}{β} = γ α, \frac{1}{γ} = α β

なので

q = α β + β γ + γ α

である。

$f$ を因数分解する。 基本対称式がそろったので

(x + α) (x + β) (x + γ) = x^{3} + (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x + α β γ

の右辺は、 $α β γ = 1$ とあわせてちょうど $x^{3} + p x^{2} + q x + 1$ である。したがって

f (x) = (x + α) (x + β) (x + γ)

と因数分解できる。 $f$ の実数解は $x = - α, - β, - γ$ の3つで、(2) の $γ < β < δ < α$ を $- 1$ 倍して

- α < - δ < - β < - γ

すなわち $- α < - \frac{3}{2} < - β < - γ$ である。

y = f(x) = (x+α)(x+β)(x+γ) のグラフ。3つの零点は -α, -β, -γ。x = -1 と x = -1/2 は -β と -γ のあいだにあり、グラフは x 軸の下にある。-α と -β のあいだではグラフは x 軸の上にあるが、この縮尺では持ち上がりが見えないので、次の図で拡大する。

-α と -β のあいだを拡大したもの（縦が横の約40倍の縮尺）。x = -3/2 はこの区間にあり、グラフは x 軸より上にある。f(-3/2) の値は 0.0032 ほどしかない。

符号を読む。 3つの因数 $x + α, x + β, x + γ$ の符号を調べる。

$x = - \frac{3}{2}$ のとき。 $- α < - \frac{3}{2} < - β < - γ$ だから $x + α > 0$ 、 $x + β < 0$ 、 $x + γ < 0$ で、負が2つなので積は正である。よって $f (- \frac{3}{2}) > 0$ 。

$x = - 1$ と $x = - \frac{1}{2}$ のとき。まず $γ = lo g_{5} 2 < \frac{1}{2}$ である（ $2 < 5$ 、すなわち $4 < 5$ だから）。また $β = lo g_{3} 5 > 1$ である。したがって

γ < \frac{1}{2} < 1 < β < α

で、 $- 1$ も $- \frac{1}{2}$ も $- β$ と $- γ$ のあいだにある。このとき $x + α > 0$ 、 $x + β > 0$ 、 $x + γ < 0$ で、負が1つだから積は負である。よって

f (- \frac{1}{2}) < 0, f (- 1) < 0, f (- \frac{3}{2}) > 0

である。

$p = 3.480613, q = 3.635464$ として直接計算すると $f (- \frac{1}{2}) = - 0.072578877$ 、 $f (- 1) = - 0.154851463$ 、 $f (- \frac{3}{2}) = + 0.003182239$ で、符号が一致した。

$q$ をそのまま $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ で扱うと因数分解に気づけない。 $α β γ = 1$ を使って基本対称式の形に直すのが (1) の意味である。

定数項が $+ 1 = α β γ$ なので、因数は $(x - α)$ ではなく $(x + α)$ になる。符号を取り違えると零点が逆になる。

$- \frac{1}{2}$ と $- 1$ については (2) の並びだけでは足りず、 $γ < \frac{1}{2}$ と $1 < β$ を別に言う必要がある。

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第3問　確率

推移のある試行・到達確率・漸化的な計算・全事象の確認当サイトの体感難易度：やや難

(1) $1$ から $12$ までを4段（上から順に5個・4個・2個・1個）に左詰めで並べた配置で、石を右隣以降・真下以降の数字へ等確率に移すゲームを行うとき、終了時に $2$ が丸で囲まれている確率 $p_{2}$ を求める

答 $p_{2} = \frac{2}{21}$

「終了時に $j$ が丸で囲まれている」＝「ゲーム中に石が一度でも $j$ に乗る」である（丸は消えない）。移動先はつねに自分より大きい数字なので、同じ数字を2度通ることはなく、 $p_{j}$ は「 $j$ に入ってくる道」をすべて足せば求まる。 $2$ に入れるのは最初に選ぶ場合と $1$ から来る場合だけなので、2項で終わる。

まず移動先を整理する。 配置は、第1段が $1, 2, 3, 4, 5$ 、第2段が $6, 7, 8, 9$ 、第3段が $10, 11$ 、第4段が $12$ を左詰めにしたものである。「同じ段で右にあるもの」と「同じ列で下にあるもの」をすべて書き出すと、次のようになる。

$1 \to {2, 3, 4, 5, 6, 10, 12}$ （7通り）
$2 \to {3, 4, 5, 7, 11}$ （5通り）
$3 \to {4, 5, 8}$ （3通り）
$4 \to {5, 9}$ （2通り）
$6 \to {7, 8, 9, 10, 12}$ （5通り）
$7 \to {8, 9, 11}$ （3通り）
$8 \to {9}$ （1通り）
$10 \to {11, 12}$ （2通り）
$5, 9, 11, 12$ は行き先がない

行き先がないのは $5, 9, 11, 12$ の4つだけで、これはちょうど終了条件の4つと一致する。つまりゲームは「動けなくなるまで動く」のと同じであり、必ず $5, 9, 11, 12$ のどれか1つで終わる。

また、どの移動も数字を真に大きくする。したがって石は同じ数字を2度通らず、 $j$ が丸で囲まれるのは「石が $j$ をちょうど1回通る」ことと同じである。そこで

p_{j} = (石が j を通る確率)

を、 $j$ に入ってくる道で場合分けして足す。

$p_{2}$ を求める。 $2$ に石が乗るのは次の2通りで、互いに排反である。

最初の (a) で $2$ を選ぶ：確率 $\frac{1}{12}$
最初に $1$ を選び、次に $2$ へ移る： $1$ からの行き先は7通りなので $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{84}$

$2$ に入ってこられるのは「同じ段で左にある」 $1$ だけ（ $2$ は最上段なので真上の数字はない）なので、これで尽きている。よって

p_{2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{84} = \frac{7}{84} + \frac{1}{84} = \frac{8}{84} = \frac{2}{21}

である。

40万回のモンテカルロで $0.09610$ 、 $\frac{2}{21} = 0.095238$ と一致した。

丸は消えないので、 $p_{j}$ は「最後に石がある場所」ではなく「一度でも通ったか」の確率である。終了条件の $5, 9, 11, 12$ 以外についても $p_{j}$ は定義されている。

移動先の個数は数字ごとに違う（ $1$ なら7通り、 $4$ なら2通り）。分母を $12$ のまま使い回さない。

(2)確率 $p_{5}$ を求める

答 $p_{5} = \frac{8}{35}$

移動はつねに数字を大きくするので、 $p_{1}, p_{2}, \dots$ と番号の小さいほうから順に確定していく。 $5$ に入ってこられるのは同じ段で左にある $1, 2, 3, 4$ だけ（ $5$ の列には $5$ しかないので真上がない）なので、そこまでを順に求めれば足せる。

(1) と同じ記号を使う。 $i$ から $j$ へ移る確率は $\frac{1}{n _{i}}$ （ $n_{i}$ は $i$ の行き先の個数）で、 $n_{1} = 7, n_{2} = 5, n_{3} = 3, n_{4} = 2$ である。

以下、分母を $420$ にそろえて書く（ $\frac{1}{12} = \frac{35}{420}$ ）。まず

p_{1} = \frac{1}{12} = \frac{35}{420}

である。 $2$ に入れるのは $1$ から、 $3$ に入れるのは $1, 2$ から、 $4$ に入れるのは $1, 2, 3$ からで（いずれも最上段なので真上はない）

p_{2} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} = \frac{35 + 5}{420} = \frac{40}{420}

p_{3} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{2}}{5} = \frac{35 + 5 + 8}{420} = \frac{48}{420}

p_{4} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{3}}{3} = \frac{35 + 5 + 8 + 16}{420} = \frac{64}{420}

である。 $5$ に入れるのは $1, 2, 3, 4$ からなので

p_{5} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{3}}{3} + \frac{p _{4}}{2} = \frac{35 + 5 + 8 + 16 + 32}{420} = \frac{96}{420} = \frac{8}{35}

である。

$p_{2} = \frac{2}{21}$ は (1) の答えで、 $\frac{40}{420}$ と同じである。分母を $420$ にそろえておくと、以降の足し算が整数の足し算になる。

40万回のモンテカルロで $p_{5} = 0.22837$ となり、 $\frac{8}{35} = 0.228571$ と一致した。

$j$ に入ってくる矢印を数え落としやすい。 $j$ の「同じ段で左にあるもの全部」と「同じ列で上にあるもの全部」の2方向を機械的に拾う。

移動先の個数は数字ごとに違う（ $1$ なら7通り、 $4$ なら2通り）。分母を $12$ のまま使い回さない。

(3)確率 $p_{11}$ を求める

答 $p_{11} = \frac{1}{5}$

$11$ に入ってこられるのは、同じ段で左の $10$ と、同じ列で上の $2, 7$ である。この3つの確率を先に用意してから足す。(2) と同じ要領だが、今度は列の上から入ってくる矢印があるのが違う。

(2) と同じく分母を $420$ にそろえる。まず $6$ に入れるのは $1$ からだけなので

p_{6} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} = \frac{40}{420}

である。 $7$ に入れるのは同じ段で左の $6$ と、同じ列で上の $2$ からで、 $n_{2} = 5, n_{6} = 5$ だから

p_{7} = \frac{35}{420} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{6}}{5} = \frac{35 + 8 + 8}{420} = \frac{51}{420}

である。 $10$ に入れるのは同じ列で上の $1, 6$ からで（第3段の左端なので左はない）

p_{10} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{6}}{5} = \frac{35 + 5 + 8}{420} = \frac{48}{420}

である。 $11$ に入れるのは $10$ （同じ段の左）と $2, 7$ （同じ列の上）からで、 $n_{7} = 3, n_{10} = 2$ だから

p_{11} = \frac{35}{420} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{7}}{3} + \frac{p _{10}}{2} = \frac{35 + 8 + 17 + 24}{420} = \frac{84}{420} = \frac{1}{5}

である。

同じやり方で $p_{9} = \frac{2}{5}$ 、 $p_{12} = \frac{6}{35}$ も出る。ゲームは必ず $5, 9, 11, 12$ のどれかで終わるので $p_{5} + p_{9} + p_{11} + p_{12} = 1$ になるはずで、実際 $\frac{96 + 168 + 84 + 72}{420} = 1$ である。よい検算になる。

モンテカルロで $p_{11} = 0.19997$ （ $\frac{1}{5} = 0.2$ ）だった。 $p_{5} + p_{9} + p_{11} + p_{12}$ も分数計算でちょうど $1$ になった。

$7$ には $1$ から直接は行けない（ $1$ と $7$ は段も列も違う）。位置関係をそのつど確認する。

$11$ に入ってくる矢印は3本（ $10, 2, 7$ ）。 $2$ からの直接の移動を忘れやすい。

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大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大文系数学 2027

名大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)C1​:y=x2 の点 (t,t2) における接線の方程式を求める

(2)C1​:y=x2 と C2​:y=−x2+4ax−4a2+4a4（a>0）が異なる2本の共通接線をもつような a の範囲を求める

(3)0<a<22​​ のとき、2本の共通接線 ℓ,ℓ′ の交点の座標を求める

(4)C1​ と ℓ,ℓ′ で囲まれた領域 D1​ と、x≦a の表す領域 D2​ の共通部分の面積 S(a) を求める

(1)α=log2​3, β=log3​5, γ=log5​2 について αβγ=1 を示す

(2)α=log2​3, β=log3​5, γ=log5​2, δ=23​ を小さい順に並べる

(3)p=α+β+γ、q=α1​+β1​+γ1​、f(x)=x3+px2+qx+1 とするとき、f(−21​), f(−1), f(−23​) の正負を判定する

(1)1 から 12 までを4段（上から順に5個・4個・2個・1個）に左詰めで並べた配置で、石を右隣以降・真下以降の数字へ等確率に移すゲームを行うとき、終了時に 2 が丸で囲まれている確率 p2​ を求める

(2)確率 p5​ を求める

(3)確率 p11​ を求める

同じ形式の問題を、5回分

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(1) $C_{1} : y = x^{2}$ の点 $(t, t^{2})$ における接線の方程式を求める

(2) $C_{1} : y = x^{2}$ と $C_{2} : y = - x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ （ $a > 0$ ）が異なる2本の共通接線をもつような $a$ の範囲を求める

(3) $0 < a < \frac{2}{2}$ のとき、2本の共通接線 $ℓ, ℓ^{'}$ の交点の座標を求める

(4) $C_{1}$ と $ℓ, ℓ^{'}$ で囲まれた領域 $D_{1}$ と、 $x ≦ a$ の表す領域 $D_{2}$ の共通部分の面積 $S (a)$ を求める

(1) $α = lo g_{2} 3, β = lo g_{3} 5, γ = lo g_{5} 2$ について $α β γ = 1$ を示す

(2) $α = lo g_{2} 3, β = lo g_{3} 5, γ = lo g_{5} 2, δ = \frac{3}{2}$ を小さい順に並べる

(3) $p = α + β + γ$ 、 $q = \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ 、 $f (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + 1$ とするとき、 $f (- \frac{1}{2}), f (- 1), f (- \frac{3}{2})$ の正負を判定する

(1) $1$ から $12$ までを4段（上から順に5個・4個・2個・1個）に左詰めで並べた配置で、石を右隣以降・真下以降の数字へ等確率に移すゲームを行うとき、終了時に $2$ が丸で囲まれている確率 $p_{2}$ を求める

(2)確率 $p_{5}$ を求める

(3)確率 $p_{11}$ を求める