第2問 指数・対数の解答・解説

底を $10$（何でもよい）にそろえると、底の変換公式から

である（$\log 2,\log 3,\log 5$ はいずれも $0$ でない）。よって

である。$■$

この $\alpha \beta \gamma =1$ が (3) で効く。$\frac{1}{\alpha }=\beta \gamma$ のように、逆数が残り2つの積に化けるからである。

$\gamma$ が最小。 $2<5$ より ${\log }_{5}2<{\log }_{5}5=1$ なので

である。一方 $\beta ={\log }_{3}5>{\log }_{3}3=1$、$\alpha ={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$、$\delta =\frac{3}{2}>1$ なので、$\gamma$ がいちばん小さい。

$\beta$ と $\delta$。 $\beta <\frac{3}{2}$ は $3^{\beta }<3^{\frac{3}{2}}$ と同値で、$3^{\beta }=5$ だから

である。これは正しいので $\beta <\delta$ である。

$\delta$ と $\alpha$。 $\frac{3}{2}<\alpha$ は $2^{\frac{3}{2}}<2^{\alpha }=3$ と同値で

である。これも正しいので $\delta <\alpha$ である。

以上をあわせて

である。

$y=a^x$（$a>1$）が増加関数であることを使って、対数の不等式を整数の不等式に落としている。$25<27$ と $8<9$ という、暗算でできる形まで持っていけるのがこの問題の狙いである。

$q$ を書き直す。 (1) の $\alpha \beta \gamma =1$ から

なので

である。

$f$ を因数分解する。 基本対称式がそろったので

の右辺は、$\alpha \beta \gamma =1$ とあわせてちょうど $x^3+p{x}^2+qx+1$ である。したがって

と因数分解できる。$f$ の実数解は $x=-\alpha ,-\beta ,-\gamma$ の3つで、(2) の $\gamma <\beta <\delta <\alpha$ を $-1$ 倍して

すなわち $-\alpha <-\frac{3}{2}<-\beta <-\gamma$ である。

符号を読む。 3つの因数 $x+\alpha ,x+\beta ,x+\gamma$ の符号を調べる。

$x=-\frac{3}{2}$ のとき。$-\alpha <-\frac{3}{2}<-\beta <-\gamma$ だから $x+\alpha >0$、$x+\beta <0$、$x+\gamma <0$ で、負が2つなので積は正である。よって $f\left(-\frac{3}{2}\right)>0$。

$x=-1$ と $x=-\frac{1}{2}$ のとき。まず $\gamma ={\log }_{5}2<\frac{1}{2}$ である（$2<\sqrt{5}$、すなわち $4<5$ だから）。また $\beta ={\log }_{3}5>1$ である。したがって

で、$-1$ も $-\frac{1}{2}$ も $-\beta$ と $-\gamma$ のあいだにある。このとき $x+\alpha >0$、$x+\beta >0$、$x+\gamma <0$ で、負が1つだから積は負である。よって

である。