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大阪大学　2025年度　前期日程　文系

第3問微分・積分の解答・解説

放物線の接線・面積の計算・3次関数の最大・対称性当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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座標平面において $y = x^{2} - 1$ で表される放物線を $C$ とする。 $C$ 上の点 $P$ （ $y$ 軸上にはない）における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $O$ を原点とし、 $C$ と線分 $OP$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ 、 $C$ と接線 $ℓ$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする。 $S - T$ の最大値を求める

答 $\frac{1}{3}$ （ $P = (\pm 1, 0)$ のとき）

$P (p, p^{2} - 1)$ とおくと $S = \frac{∣ p ∣ ^{3}}{6} + \frac{∣ p ∣}{2}$ 、 $T = \frac{∣ p ∣ ^{3}}{3}$ 。

$P (p, p^{2} - 1)$ （ $p \neq = 0$ ）とおく。 $C$ は $y$ 軸について対称で、 $O$ も $y$ 軸上にあるから、 $p \mapsto - p$ で $S$ も $T$ も変わらない。そこで $p > 0$ として考え、最後に $∣ p ∣$ に書き直す。

$T$ を求める。 $y^{'} = 2 x$ なので $ℓ$ は

y = (p^{2} - 1) + 2 p (x - p) = 2 p x - p^{2} - 1

である。 $C$ と $ℓ$ の差は

(x^{2} - 1) - (2 p x - p^{2} - 1) = x^{2} - 2 p x + p^{2} = (x - p)^{2} \geq 0

なので、 $C$ はつねに $ℓ$ の上（または上で接する）にある。 $y$ 軸と $x = p$ の間ではさまれた部分が求める図形で

T = \int_{0}^{p} (x - p)^{2} d x = [\frac{( x - p ) ^{3}}{3}]_{0}^{p} = 0 - (- \frac{p ^{3}}{3}) = \frac{p ^{3}}{3}

である。

$S$ を求める。図形の境界は、線分 $OP$ 、 $P$ から $(0, - 1)$ までの $C$ の弧、 $(0, - 1)$ から $O$ までの $y$ 軸である。 $x$ について積分すると、上側が直線 $OP$ （ $y = \frac{p ^{2} - 1}{p} x$ ）、下側が $C$ なので

S = \int_{0}^{p} {\frac{p ^{2} - 1}{p} x - (x^{2} - 1)} d x = \frac{p ^{2} - 1}{p} \cdot \frac{p ^{2}}{2} - \frac{p ^{3}}{3} + p = \frac{p ^{3} - p}{2} - \frac{p ^{3}}{3} + p = \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2}

である。 $\frac{p ^{3}}{2} - \frac{p ^{3}}{3} = \frac{p ^{3}}{6}$ 、 $- \frac{p}{2} + p = \frac{p}{2}$ でまとまる。

なお、直線 $OP$ が $C$ より上にあることは、 $0 < x < p$ で

\frac{p ^{2} - 1}{p} x - (x^{2} - 1) = \frac{( p - x ) ( p x + 1 )}{p} > 0

から確かめられる（ $p > 0$ 、 $0 < x < p$ なら $p - x > 0$ 、 $p x + 1 > 0$ ）。だから $S$ は符号つきでなく本当の面積である。

$S - T$ の最大。

f (p) = S - T = \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2} - \frac{p ^{3}}{3} = - \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2} (p > 0)

とおくと

f^{'} (p) = - \frac{p ^{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{( 1 - p ) ( 1 + p )}{2}

である。 $p > 0$ では $1 + p > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $1 - p$ と同じである。よって $f$ は $0 < p < 1$ で増加、 $p > 1$ で減少し、 $p = 1$ で最大になる。最大値は

f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

である。対称性より $p = - 1$ でも同じ値をとる。したがって

S - T の最大値は \frac{1}{3} (P = (\pm 1, 0))

である。

最大を与える p = 1 の場合。P は (1, 0) で、上の網かけが S（線分 OP と放物線と y 軸で囲む）、下の網かけが T（放物線と接線 ℓ: y = 2x − 2 と y 軸で囲む）。このとき S = 2/3、T = 1/3。

$T = \frac{p ^{3}}{3}$ は「放物線と接線が囲む面積は $\frac{∣ a ∣}{3} (β - α)^{3}$ 」の形（ $a = 1$ 、幅 $p$ ）になっている。 $S$ のほうは原点を通る線なので、 $\frac{p ^{3}}{6}$ の項と $\frac{p}{2}$ の項に分かれる。

$p = 0.5, 1, 1.5, - 1, - 2$ で数値積分と式が小数第7位まで一致し、最大は $0.3333333$ （ $p = 1$ ）だった。

$P$ が $y$ 軸上にない、という断りは $p \neq = 0$ （接線が水平にならない、 $S$ がつぶれない）のため。 $p$ の符号での場合分けは対称性で片づけてよいが、「対称だから」と一言書く。

$S$ の計算で上側が線分 $OP$ 、下側が $C$ であることを確かめておく。 $p$ が小さいと逆になりそうに見えるが、 $(p - x) (p x + 1) > 0$ よりつねにこの順。

$f (p) = - \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2}$ は $p$ を大きくすると負になる。「面積の差だから正」と思い込まない。

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