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大阪大学　2025年度　前期日程　文系

阪大文系 2025年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　ベクトル

内積と正射影・垂直条件・内分点・不等式で範囲を出す当サイトの体感難易度：標準

(1)平面上の三角形 $OAB$ で $∠ AOB$ は鋭角、 $OA = 3$ 、 $OB = t$ とする。 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $C$ とし $OC = 1$ とする。内積 $OA \cdot OB$ を $t$ で表す

答 $t$

$C$ は $A$ の直線 $OB$ への正射影なので $OA \cdot OB = OC \cdot OB$ 。

$θ = ∠ AOB$ とおく。 $C$ は $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足なので

OC = OA ∣ cos θ ∣ = 3 ∣ cos θ ∣

である。 $θ$ は鋭角なので $cos θ > 0$ であり、 $OC = 1$ から

cos θ = \frac{1}{3}

である。したがって

OA \cdot OB = OA \cdot OB cos θ = 3 \cdot t \cdot \frac{1}{3} = t

である。

$OC = 1$ は「 $∠ AOB$ の大きさが $t$ によらず固定されている」ことを言っている。 $cos θ = \frac{1}{3}$ はこのあとずっと効く。

t = 3 の場合。C は A から直線 OB に下ろした垂線の足で OC = 1。P は AB を 2 : 1 に内分する点、R は A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OB の交点、M は OB の中点。この t では R は線分 MB の上にある。

座標で作った配置でも $OA \cdot OB = t$ だった。

$∠ AOB$ が鋭角という条件がないと、 $C$ が $B$ と反対側に来る場合（ $cos θ < 0$ ）が混ざり、 $OA \cdot OB = - t$ になってしまう。

(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ との交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

答 $OR = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$

$OR = k OB$ とおき、 $AR \cdot OP = 0$ を展開する。

$a = OA$ 、 $b = OB$ とおく。(1) より

∣ a ∣^{2} = 9, b^{2} = t^{2}, a \cdot b = t

である。 $P$ は $AB$ を $2 : 1$ に内分するので

OP = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{3} = \frac{a + 2 b}{3}

である。 $R$ は直線 $OB$ 上なので $OR = k b$ （ $k$ は実数）と書ける。 $AR ⊥ OP$ より

(k b - a) \cdot \frac{a + 2 b}{3} = 0

である。 $3$ 倍して展開すると

k a \cdot b + 2 k b^{2} - ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b = 0

であり、値を入れて

k t + 2 k t^{2} - 9 - 2 t = 0, k t (1 + 2 t) = 2 t + 9

である。 $t > 0$ なので

k = \frac{2 t + 9}{t ( 2 t + 1 )}

であり、 $k > 0$ だから

OR = ∣ k ∣ b = k t = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}

である。

$k > 0$ なので $R$ は $B$ と同じ側にある。また $OP \neq = 0$ （三角形なので $a, b$ は1次独立）なので、垂線は必ず1本に決まる。

$t$ を $0.002$ から $8$ まで走査して、垂線から直接求めた $R$ と式が一致した。

$AB$ を $2 : 1$ に内分する点は $\frac{a + 2 b}{3}$ 。 $\frac{2 a + b}{3}$ と取り違えると以降すべてずれる。

$OR = k t$ とするには $k > 0$ が要る。式から $k > 0$ はすぐ読めるので一言添える。

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。点 $R$ が線分 $MB$ 上にあるとき、 $t$ のとりうる値の範囲を求める

答 $\frac{1 + 73}{4} \leq t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$

$\frac{t}{2} \leq OR \leq t$ を解く。分母 $2 t + 1 > 0$ を払えば2次不等式が2つ。

(2) より $R$ は半直線 $OB$ 上にある。 $M$ は $OB$ の中点なので $OM = \frac{t}{2}$ であり、 $R$ が線分 $MB$ 上にある条件は

\frac{t}{2} \leq OR \leq t, \frac{t}{2} \leq \frac{2 t + 9}{2 t + 1} \leq t

である。 $t > 0$ より $2 t + 1 > 0$ なので、分母を払ってよい。

右側。 $2 t + 9 \leq t (2 t + 1)$ より

2 t^{2} - t - 9 \geq 0

である。解の公式より $t = \frac{1 \pm 73}{4}$ で、 $t > 0$ の範囲では

t \geq \frac{1 + 73}{4}

である（負のほうの解 $\frac{1 - 73}{4} < 0$ は $t > 0$ の外）。

左側。 $t (2 t + 1) \leq 2 (2 t + 9)$ より

2 t^{2} - 3 t - 18 \leq 0

である。解の公式より $t = \frac{3 \pm 153}{4} = \frac{3 \pm 3 17}{4}$ なので

\frac{3 ( 1 - 17 )}{4} \leq t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

であり、 $t > 0$ と合わせて $t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$ である。

2つを合わせて

\frac{1 + 73}{4} \leq t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

である。両端はおよそ $2.386 \leq t \leq 3.842$ で、空でない。

$OR = \frac{2 t + 9}{2 t + 1} = 1 + \frac{8}{2 t + 1}$ は $t$ について減少し、 $t \to \infty$ で $1$ に近づく。一方 $\frac{t}{2}$ と $t$ は増加するので、「 $R$ が $M$ より外」「 $R$ が $B$ より内」がそれぞれ $t$ の片側だけで成り立ち、はさまれた区間が答えになる。

$2$ 万点の走査で、直接の判定と求めた範囲が $1$ 度も食い違わなかった。

$153 = 317$ の整理を忘れない。 $\frac{3 + 153}{4}$ のままでも間違いではないが、 $\frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$ のほうが見やすい。

$∠ AOB$ が鋭角、という条件は $cos θ = \frac{1}{3}$ で自動的にみたされる。 $t$ に追加の制限は付かない。

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第2問　数列

漸化式・恒等式の証明・数学的帰納法・和の入れかえ当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ について、正の整数 $k, ℓ$ に対し $\frac{k}{k + ℓ - 1} a_{k + 1} a_{ℓ} + \frac{ℓ}{k + ℓ - 1} a_{k} a_{ℓ + 1} = a_{k} a_{ℓ}$ を示す

答 $a_{k + 1} = \frac{2 k - 1}{2 k} a_{k}$ 、 $a_{ℓ + 1} = \frac{2 ℓ - 1}{2 ℓ} a_{ℓ}$ を代入すると、 $a_{k} a_{ℓ}$ の係数が $\frac{( 2 k - 1 ) + ( 2 ℓ - 1 )}{2 ( k + ℓ - 1 )} = 1$ になる

両方の項から $a_{k} a_{ℓ}$ をくくり出す。

漸化式より

a_{k + 1} = \frac{2 k - 1}{2 k} a_{k}, a_{ℓ + 1} = \frac{2 ℓ - 1}{2 ℓ} a_{ℓ}

である。左辺に代入すると

\frac{k}{k + ℓ - 1} \cdot \frac{2 k - 1}{2 k} a_{k} a_{ℓ} + \frac{ℓ}{k + ℓ - 1} \cdot \frac{2 ℓ - 1}{2 ℓ} a_{k} a_{ℓ} = a_{k} a_{ℓ} {\frac{2 k - 1}{2 ( k + ℓ - 1 )} + \frac{2 ℓ - 1}{2 ( k + ℓ - 1 )}}

である（ $\frac{k}{2 k} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{ℓ}{2 ℓ} = \frac{1}{2}$ が効く）。中括弧の中は

\frac{( 2 k - 1 ) + ( 2 ℓ - 1 )}{2 ( k + ℓ - 1 )} = \frac{2 ( k + ℓ - 1 )}{2 ( k + ℓ - 1 )} = 1

である（ $k, ℓ \geq 1$ より $k + ℓ - 1 \geq 1 > 0$ なので割ってよい）。よって左辺は $a_{k} a_{ℓ}$ に等しい。 $■$

$a_{n}$ を具体的に書くと $a_{n} = \frac{( 2 n - 2 ) !}{4 ^{n - 1} { ( n - 1 ) ! } ^{2}}$ で、 $a_{1}, a_{2}, \dots = 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{5}{16}, \frac{35}{128}, \dots$ である。ただし (1)(2) を解くのにこの式は要らない。

$1 \leq k, ℓ \leq 39$ の $1521$ 組すべてで、分数のまま等式が成り立った。

$\frac{k}{2 k}$ を約分して $\frac{1}{2}$ にするところが要点。ここで $k$ が消えるので、残りが $k + ℓ$ の形にまとまる。

(2)正の整数 $m$ に対して $k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1} = 1$ を示す

答 $S_{m} = k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1}$ とおくと、(1) を $k + ℓ = m + 1$ の組すべてで足すと $S_{m} = S_{m + 1}$ が出る。 $S_{1} = 1$ より帰納法

(1) を $ℓ = m + 1 - k$ として $k = 1, \dots, m$ で足し、出てくる項を $T_{j} = a_{j} a_{m + 2 - j}$ で整理する。

$S_{m} = k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1}$ とおく。 $m$ についての帰納法で $S_{m} = 1$ を示す。

$m = 1$ のとき $S_{1} = a_{1} a_{1} = 1$ である。

$S_{m} = 1$ と仮定する。(1) で $ℓ = m + 1 - k$ とおくと $k + ℓ - 1 = m$ なので

\frac{k}{m} a_{k + 1} a_{m + 1 - k} + \frac{m + 1 - k}{m} a_{k} a_{m + 2 - k} = a_{k} a_{m + 1 - k}

である（ $k = 1, \dots, m$ で $ℓ = m + 1 - k \geq 1$ なので使える）。これを $k = 1$ から $m$ まで足すと、右辺の和は $S_{m}$ である。よって

\frac{1}{m} {k = 1 \sum m k a_{k + 1} a_{m + 1 - k} + k = 1 \sum m (m + 1 - k) a_{k} a_{m + 2 - k}} = S_{m}

である。ここで

T_{j} = a_{j} a_{m + 2 - j} (j = 1, 2, \dots, m + 1)

とおくと $S_{m + 1} = j = 1 \sum m + 1 T_{j}$ である。

1つめの和は $j = k + 1$ と置きかえると $k = 1, \dots, m$ が $j = 2, \dots, m + 1$ に対応し、 $a_{k + 1} a_{m + 1 - k} = a_{j} a_{m + 2 - j} = T_{j}$ なので

k = 1 \sum m k a_{k + 1} a_{m + 1 - k} = j = 2 \sum m + 1 (j - 1) T_{j} = j = 1 \sum m + 1 (j - 1) T_{j}

である（ $j = 1$ の係数は $0$ なので足しても変わらない）。2つめの和はそのまま

k = 1 \sum m (m + 1 - k) a_{k} a_{m + 2 - k} = j = 1 \sum m (m + 1 - j) T_{j} = j = 1 \sum m + 1 (m + 1 - j) T_{j}

である（ $j = m + 1$ の係数は $0$ ）。2つを足すと、 $T_{j}$ の係数は

(j - 1) + (m + 1 - j) = m

で $j$ によらない。よって

\frac{1}{m} \cdot m j = 1 \sum m + 1 T_{j} = S_{m}, S_{m + 1} = S_{m} = 1

である。帰納法よりすべての正の整数 $m$ で $S_{m} = 1$ である。 $■$

$(1 - x)^{- 1/2} = n \geq 1 \sum a_{n} x^{n - 1}$ であることを知っていれば、 $(1 - x)^{- 1/2} \cdot (1 - x)^{- 1/2} = (1 - x)^{- 1} = m \geq 1 \sum x^{m - 1}$ の係数比較が (2) そのものである。高校範囲では使えないが、(1) の等式はこの事実を初等的に手渡すための足場になっている。

$m = 1, \dots, 199$ で分数のまま計算して、すべてちょうど $1$ だった。

添字の置きかえ $j = k + 1$ のあと、和の範囲が $2$ から $m + 1$ になる。これを $1$ から $m + 1$ に広げてよいのは係数が $0$ だから。

$S_{m}$ と $S_{m + 1}$ はどちらも「添字の和が一定」の形。 $S_{m}$ では和が $m + 1$ 、 $S_{m + 1}$ では $m + 2$ である。混同しやすい。

▸ 別解：

m

を1つずらす見方

(1) の等式は「 $a_{k} a_{ℓ}$ を、 $k + ℓ$ が1つ大きい2つの積の重みつき平均で書き直す式」である。重み $\frac{k}{k + ℓ - 1}$ と $\frac{ℓ}{k + ℓ - 1}$ は足して $1$ にはならないが、 $k + ℓ$ を固定して全部足すと、各 $T_{j}$ の重みがちょうど $m$ ずつに揃う。

この「係数が $j$ によらず $m$ になる」ところが仕掛けで、 $(j - 1) + (m + 1 - j) = m$ という引き算の打ち消しから来ている。 $T_{j}$ の具体形を一切使っていないことに注意する。

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第3問　微分・積分

放物線の接線・面積の計算・3次関数の最大・対称性当サイトの体感難易度：標準

座標平面において $y = x^{2} - 1$ で表される放物線を $C$ とする。 $C$ 上の点 $P$ （ $y$ 軸上にはない）における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $O$ を原点とし、 $C$ と線分 $OP$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ 、 $C$ と接線 $ℓ$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする。 $S - T$ の最大値を求める

答 $\frac{1}{3}$ （ $P = (\pm 1, 0)$ のとき）

$P (p, p^{2} - 1)$ とおくと $S = \frac{∣ p ∣ ^{3}}{6} + \frac{∣ p ∣}{2}$ 、 $T = \frac{∣ p ∣ ^{3}}{3}$ 。

$P (p, p^{2} - 1)$ （ $p \neq = 0$ ）とおく。 $C$ は $y$ 軸について対称で、 $O$ も $y$ 軸上にあるから、 $p \mapsto - p$ で $S$ も $T$ も変わらない。そこで $p > 0$ として考え、最後に $∣ p ∣$ に書き直す。

$T$ を求める。 $y^{'} = 2 x$ なので $ℓ$ は

y = (p^{2} - 1) + 2 p (x - p) = 2 p x - p^{2} - 1

である。 $C$ と $ℓ$ の差は

(x^{2} - 1) - (2 p x - p^{2} - 1) = x^{2} - 2 p x + p^{2} = (x - p)^{2} \geq 0

なので、 $C$ はつねに $ℓ$ の上（または上で接する）にある。 $y$ 軸と $x = p$ の間ではさまれた部分が求める図形で

T = \int_{0}^{p} (x - p)^{2} d x = [\frac{( x - p ) ^{3}}{3}]_{0}^{p} = 0 - (- \frac{p ^{3}}{3}) = \frac{p ^{3}}{3}

である。

$S$ を求める。図形の境界は、線分 $OP$ 、 $P$ から $(0, - 1)$ までの $C$ の弧、 $(0, - 1)$ から $O$ までの $y$ 軸である。 $x$ について積分すると、上側が直線 $OP$ （ $y = \frac{p ^{2} - 1}{p} x$ ）、下側が $C$ なので

S = \int_{0}^{p} {\frac{p ^{2} - 1}{p} x - (x^{2} - 1)} d x = \frac{p ^{2} - 1}{p} \cdot \frac{p ^{2}}{2} - \frac{p ^{3}}{3} + p = \frac{p ^{3} - p}{2} - \frac{p ^{3}}{3} + p = \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2}

である。 $\frac{p ^{3}}{2} - \frac{p ^{3}}{3} = \frac{p ^{3}}{6}$ 、 $- \frac{p}{2} + p = \frac{p}{2}$ でまとまる。

なお、直線 $OP$ が $C$ より上にあることは、 $0 < x < p$ で

\frac{p ^{2} - 1}{p} x - (x^{2} - 1) = \frac{( p - x ) ( p x + 1 )}{p} > 0

から確かめられる（ $p > 0$ 、 $0 < x < p$ なら $p - x > 0$ 、 $p x + 1 > 0$ ）。だから $S$ は符号つきでなく本当の面積である。

$S - T$ の最大。

f (p) = S - T = \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2} - \frac{p ^{3}}{3} = - \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2} (p > 0)

とおくと

f^{'} (p) = - \frac{p ^{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{( 1 - p ) ( 1 + p )}{2}

である。 $p > 0$ では $1 + p > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $1 - p$ と同じである。よって $f$ は $0 < p < 1$ で増加、 $p > 1$ で減少し、 $p = 1$ で最大になる。最大値は

f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

である。対称性より $p = - 1$ でも同じ値をとる。したがって

S - T の最大値は \frac{1}{3} (P = (\pm 1, 0))

である。

最大を与える p = 1 の場合。P は (1, 0) で、上の網かけが S（線分 OP と放物線と y 軸で囲む）、下の網かけが T（放物線と接線 ℓ: y = 2x − 2 と y 軸で囲む）。このとき S = 2/3、T = 1/3。

$T = \frac{p ^{3}}{3}$ は「放物線と接線が囲む面積は $\frac{∣ a ∣}{3} (β - α)^{3}$ 」の形（ $a = 1$ 、幅 $p$ ）になっている。 $S$ のほうは原点を通る線なので、 $\frac{p ^{3}}{6}$ の項と $\frac{p}{2}$ の項に分かれる。

$p = 0.5, 1, 1.5, - 1, - 2$ で数値積分と式が小数第7位まで一致し、最大は $0.3333333$ （ $p = 1$ ）だった。

$P$ が $y$ 軸上にない、という断りは $p \neq = 0$ （接線が水平にならない、 $S$ がつぶれない）のため。 $p$ の符号での場合分けは対称性で片づけてよいが、「対称だから」と一言書く。

$S$ の計算で上側が線分 $OP$ 、下側が $C$ であることを確かめておく。 $p$ が小さいと逆になりそうに見えるが、 $(p - x) (p x + 1) > 0$ よりつねにこの順。

$f (p) = - \frac{p ^{3}}{6} + \frac{p}{2}$ は $p$ を大きくすると負になる。「面積の差だから正」と思い込まない。

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大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)平面上の三角形 OAB で ∠AOB は鋭角、OA=3、OB=t とする。A から直線 OB に下ろした垂線と直線 OB の交点を C とし OC=1 とする。内積 OA⋅OB を t で表す

(2)線分 AB を 2:1 に内分する点を P、A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OB との交点を R とする。線分 OR の長さを t で表す

(3)線分 OB の中点を M とする。点 R が線分 MB 上にあるとき、t のとりうる値の範囲を求める

(1)a1​=1、an+1​=2n2n−1​an​ で定まる数列 {an​} について、正の整数 k,ℓ に対し k+ℓ−1k​ak+1​aℓ​+k+ℓ−1ℓ​ak​aℓ+1​=ak​aℓ​ を示す

(2)正の整数 m に対して k=1∑m​ak​am−k+1​=1 を示す

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(1)平面上の三角形 $OAB$ で $∠ AOB$ は鋭角、 $OA = 3$ 、 $OB = t$ とする。 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $C$ とし $OC = 1$ とする。内積 $OA \cdot OB$ を $t$ で表す

(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ との交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。点 $R$ が線分 $MB$ 上にあるとき、 $t$ のとりうる値の範囲を求める

(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ について、正の整数 $k, ℓ$ に対し $\frac{k}{k + ℓ - 1} a_{k + 1} a_{ℓ} + \frac{ℓ}{k + ℓ - 1} a_{k} a_{ℓ + 1} = a_{k} a_{ℓ}$ を示す

(2)正の整数 $m$ に対して $k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1} = 1$ を示す