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大阪大学　2025年度　前期日程　文系

第2問数列の解答・解説

漸化式・恒等式の証明・数学的帰納法・和の入れかえ当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ について、正の整数 $k, ℓ$ に対し $\frac{k}{k + ℓ - 1} a_{k + 1} a_{ℓ} + \frac{ℓ}{k + ℓ - 1} a_{k} a_{ℓ + 1} = a_{k} a_{ℓ}$ を示す

答 $a_{k + 1} = \frac{2 k - 1}{2 k} a_{k}$ 、 $a_{ℓ + 1} = \frac{2 ℓ - 1}{2 ℓ} a_{ℓ}$ を代入すると、 $a_{k} a_{ℓ}$ の係数が $\frac{( 2 k - 1 ) + ( 2 ℓ - 1 )}{2 ( k + ℓ - 1 )} = 1$ になる

両方の項から $a_{k} a_{ℓ}$ をくくり出す。

漸化式より

a_{k + 1} = \frac{2 k - 1}{2 k} a_{k}, a_{ℓ + 1} = \frac{2 ℓ - 1}{2 ℓ} a_{ℓ}

である。左辺に代入すると

\frac{k}{k + ℓ - 1} \cdot \frac{2 k - 1}{2 k} a_{k} a_{ℓ} + \frac{ℓ}{k + ℓ - 1} \cdot \frac{2 ℓ - 1}{2 ℓ} a_{k} a_{ℓ} = a_{k} a_{ℓ} {\frac{2 k - 1}{2 ( k + ℓ - 1 )} + \frac{2 ℓ - 1}{2 ( k + ℓ - 1 )}}

である（ $\frac{k}{2 k} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{ℓ}{2 ℓ} = \frac{1}{2}$ が効く）。中括弧の中は

\frac{( 2 k - 1 ) + ( 2 ℓ - 1 )}{2 ( k + ℓ - 1 )} = \frac{2 ( k + ℓ - 1 )}{2 ( k + ℓ - 1 )} = 1

である（ $k, ℓ \geq 1$ より $k + ℓ - 1 \geq 1 > 0$ なので割ってよい）。よって左辺は $a_{k} a_{ℓ}$ に等しい。 $■$

$a_{n}$ を具体的に書くと $a_{n} = \frac{( 2 n - 2 ) !}{4 ^{n - 1} { ( n - 1 ) ! } ^{2}}$ で、 $a_{1}, a_{2}, \dots = 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{5}{16}, \frac{35}{128}, \dots$ である。ただし (1)(2) を解くのにこの式は要らない。

$1 \leq k, ℓ \leq 39$ の $1521$ 組すべてで、分数のまま等式が成り立った。

$\frac{k}{2 k}$ を約分して $\frac{1}{2}$ にするところが要点。ここで $k$ が消えるので、残りが $k + ℓ$ の形にまとまる。

(2)正の整数 $m$ に対して $k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1} = 1$ を示す

答 $S_{m} = k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1}$ とおくと、(1) を $k + ℓ = m + 1$ の組すべてで足すと $S_{m} = S_{m + 1}$ が出る。 $S_{1} = 1$ より帰納法

(1) を $ℓ = m + 1 - k$ として $k = 1, \dots, m$ で足し、出てくる項を $T_{j} = a_{j} a_{m + 2 - j}$ で整理する。

$S_{m} = k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1}$ とおく。 $m$ についての帰納法で $S_{m} = 1$ を示す。

$m = 1$ のとき $S_{1} = a_{1} a_{1} = 1$ である。

$S_{m} = 1$ と仮定する。(1) で $ℓ = m + 1 - k$ とおくと $k + ℓ - 1 = m$ なので

\frac{k}{m} a_{k + 1} a_{m + 1 - k} + \frac{m + 1 - k}{m} a_{k} a_{m + 2 - k} = a_{k} a_{m + 1 - k}

である（ $k = 1, \dots, m$ で $ℓ = m + 1 - k \geq 1$ なので使える）。これを $k = 1$ から $m$ まで足すと、右辺の和は $S_{m}$ である。よって

\frac{1}{m} {k = 1 \sum m k a_{k + 1} a_{m + 1 - k} + k = 1 \sum m (m + 1 - k) a_{k} a_{m + 2 - k}} = S_{m}

である。ここで

T_{j} = a_{j} a_{m + 2 - j} (j = 1, 2, \dots, m + 1)

とおくと $S_{m + 1} = j = 1 \sum m + 1 T_{j}$ である。

1つめの和は $j = k + 1$ と置きかえると $k = 1, \dots, m$ が $j = 2, \dots, m + 1$ に対応し、 $a_{k + 1} a_{m + 1 - k} = a_{j} a_{m + 2 - j} = T_{j}$ なので

k = 1 \sum m k a_{k + 1} a_{m + 1 - k} = j = 2 \sum m + 1 (j - 1) T_{j} = j = 1 \sum m + 1 (j - 1) T_{j}

である（ $j = 1$ の係数は $0$ なので足しても変わらない）。2つめの和はそのまま

k = 1 \sum m (m + 1 - k) a_{k} a_{m + 2 - k} = j = 1 \sum m (m + 1 - j) T_{j} = j = 1 \sum m + 1 (m + 1 - j) T_{j}

である（ $j = m + 1$ の係数は $0$ ）。2つを足すと、 $T_{j}$ の係数は

(j - 1) + (m + 1 - j) = m

で $j$ によらない。よって

\frac{1}{m} \cdot m j = 1 \sum m + 1 T_{j} = S_{m}, S_{m + 1} = S_{m} = 1

である。帰納法よりすべての正の整数 $m$ で $S_{m} = 1$ である。 $■$

$(1 - x)^{- 1/2} = n \geq 1 \sum a_{n} x^{n - 1}$ であることを知っていれば、 $(1 - x)^{- 1/2} \cdot (1 - x)^{- 1/2} = (1 - x)^{- 1} = m \geq 1 \sum x^{m - 1}$ の係数比較が (2) そのものである。高校範囲では使えないが、(1) の等式はこの事実を初等的に手渡すための足場になっている。

$m = 1, \dots, 199$ で分数のまま計算して、すべてちょうど $1$ だった。

添字の置きかえ $j = k + 1$ のあと、和の範囲が $2$ から $m + 1$ になる。これを $1$ から $m + 1$ に広げてよいのは係数が $0$ だから。

$S_{m}$ と $S_{m + 1}$ はどちらも「添字の和が一定」の形。 $S_{m}$ では和が $m + 1$ 、 $S_{m + 1}$ では $m + 2$ である。混同しやすい。

▸ 別解：

m

を1つずらす見方

(1) の等式は「 $a_{k} a_{ℓ}$ を、 $k + ℓ$ が1つ大きい2つの積の重みつき平均で書き直す式」である。重み $\frac{k}{k + ℓ - 1}$ と $\frac{ℓ}{k + ℓ - 1}$ は足して $1$ にはならないが、 $k + ℓ$ を固定して全部足すと、各 $T_{j}$ の重みがちょうど $m$ ずつに揃う。

この「係数が $j$ によらず $m$ になる」ところが仕掛けで、 $(j - 1) + (m + 1 - j) = m$ という引き算の打ち消しから来ている。 $T_{j}$ の具体形を一切使っていないことに注意する。

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問題文について

(1)a1​=1、an+1​=2n2n−1​an​ で定まる数列 {an​} について、正の整数 k,ℓ に対し k+ℓ−1k​ak+1​aℓ​+k+ℓ−1ℓ​ak​aℓ+1​=ak​aℓ​ を示す

(2)正の整数 m に対して k=1∑m​ak​am−k+1​=1 を示す

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(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ について、正の整数 $k, ℓ$ に対し $\frac{k}{k + ℓ - 1} a_{k + 1} a_{ℓ} + \frac{ℓ}{k + ℓ - 1} a_{k} a_{ℓ + 1} = a_{k} a_{ℓ}$ を示す

(2)正の整数 $m$ に対して $k = 1 \sum m a_{k} a_{m - k + 1} = 1$ を示す