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大阪大学　2025年度　前期日程　文系

第1問ベクトルの解答・解説

内積と正射影・垂直条件・内分点・不等式で範囲を出す当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)平面上の三角形 $OAB$ で $∠ AOB$ は鋭角、 $OA = 3$ 、 $OB = t$ とする。 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $C$ とし $OC = 1$ とする。内積 $OA \cdot OB$ を $t$ で表す

答 $t$

$C$ は $A$ の直線 $OB$ への正射影なので $OA \cdot OB = OC \cdot OB$ 。

$θ = ∠ AOB$ とおく。 $C$ は $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足なので

OC = OA ∣ cos θ ∣ = 3 ∣ cos θ ∣

である。 $θ$ は鋭角なので $cos θ > 0$ であり、 $OC = 1$ から

cos θ = \frac{1}{3}

である。したがって

OA \cdot OB = OA \cdot OB cos θ = 3 \cdot t \cdot \frac{1}{3} = t

である。

$OC = 1$ は「 $∠ AOB$ の大きさが $t$ によらず固定されている」ことを言っている。 $cos θ = \frac{1}{3}$ はこのあとずっと効く。

t = 3 の場合。C は A から直線 OB に下ろした垂線の足で OC = 1。P は AB を 2 : 1 に内分する点、R は A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OB の交点、M は OB の中点。この t では R は線分 MB の上にある。

座標で作った配置でも $OA \cdot OB = t$ だった。

$∠ AOB$ が鋭角という条件がないと、 $C$ が $B$ と反対側に来る場合（ $cos θ < 0$ ）が混ざり、 $OA \cdot OB = - t$ になってしまう。

(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ との交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

答 $OR = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$

$OR = k OB$ とおき、 $AR \cdot OP = 0$ を展開する。

$a = OA$ 、 $b = OB$ とおく。(1) より

∣ a ∣^{2} = 9, b^{2} = t^{2}, a \cdot b = t

である。 $P$ は $AB$ を $2 : 1$ に内分するので

OP = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{3} = \frac{a + 2 b}{3}

である。 $R$ は直線 $OB$ 上なので $OR = k b$ （ $k$ は実数）と書ける。 $AR ⊥ OP$ より

(k b - a) \cdot \frac{a + 2 b}{3} = 0

である。 $3$ 倍して展開すると

k a \cdot b + 2 k b^{2} - ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b = 0

であり、値を入れて

k t + 2 k t^{2} - 9 - 2 t = 0, k t (1 + 2 t) = 2 t + 9

である。 $t > 0$ なので

k = \frac{2 t + 9}{t ( 2 t + 1 )}

であり、 $k > 0$ だから

OR = ∣ k ∣ b = k t = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}

である。

$k > 0$ なので $R$ は $B$ と同じ側にある。また $OP \neq = 0$ （三角形なので $a, b$ は1次独立）なので、垂線は必ず1本に決まる。

$t$ を $0.002$ から $8$ まで走査して、垂線から直接求めた $R$ と式が一致した。

$AB$ を $2 : 1$ に内分する点は $\frac{a + 2 b}{3}$ 。 $\frac{2 a + b}{3}$ と取り違えると以降すべてずれる。

$OR = k t$ とするには $k > 0$ が要る。式から $k > 0$ はすぐ読めるので一言添える。

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。点 $R$ が線分 $MB$ 上にあるとき、 $t$ のとりうる値の範囲を求める

答 $\frac{1 + 73}{4} \leq t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$

$\frac{t}{2} \leq OR \leq t$ を解く。分母 $2 t + 1 > 0$ を払えば2次不等式が2つ。

(2) より $R$ は半直線 $OB$ 上にある。 $M$ は $OB$ の中点なので $OM = \frac{t}{2}$ であり、 $R$ が線分 $MB$ 上にある条件は

\frac{t}{2} \leq OR \leq t, \frac{t}{2} \leq \frac{2 t + 9}{2 t + 1} \leq t

である。 $t > 0$ より $2 t + 1 > 0$ なので、分母を払ってよい。

右側。 $2 t + 9 \leq t (2 t + 1)$ より

2 t^{2} - t - 9 \geq 0

である。解の公式より $t = \frac{1 \pm 73}{4}$ で、 $t > 0$ の範囲では

t \geq \frac{1 + 73}{4}

である（負のほうの解 $\frac{1 - 73}{4} < 0$ は $t > 0$ の外）。

左側。 $t (2 t + 1) \leq 2 (2 t + 9)$ より

2 t^{2} - 3 t - 18 \leq 0

である。解の公式より $t = \frac{3 \pm 153}{4} = \frac{3 \pm 3 17}{4}$ なので

\frac{3 ( 1 - 17 )}{4} \leq t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

であり、 $t > 0$ と合わせて $t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$ である。

2つを合わせて

\frac{1 + 73}{4} \leq t \leq \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

である。両端はおよそ $2.386 \leq t \leq 3.842$ で、空でない。

$OR = \frac{2 t + 9}{2 t + 1} = 1 + \frac{8}{2 t + 1}$ は $t$ について減少し、 $t \to \infty$ で $1$ に近づく。一方 $\frac{t}{2}$ と $t$ は増加するので、「 $R$ が $M$ より外」「 $R$ が $B$ より内」がそれぞれ $t$ の片側だけで成り立ち、はさまれた区間が答えになる。

$2$ 万点の走査で、直接の判定と求めた範囲が $1$ 度も食い違わなかった。

$153 = 317$ の整理を忘れない。 $\frac{3 + 153}{4}$ のままでも間違いではないが、 $\frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$ のほうが見やすい。

$∠ AOB$ が鋭角、という条件は $cos θ = \frac{1}{3}$ で自動的にみたされる。 $t$ に追加の制限は付かない。

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問題文について

(1)平面上の三角形 OAB で ∠AOB は鋭角、OA=3、OB=t とする。A から直線 OB に下ろした垂線と直線 OB の交点を C とし OC=1 とする。内積 OA⋅OB を t で表す

(2)線分 AB を 2:1 に内分する点を P、A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OB との交点を R とする。線分 OR の長さを t で表す

(3)線分 OB の中点を M とする。点 R が線分 MB 上にあるとき、t のとりうる値の範囲を求める

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(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ との交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。点 $R$ が線分 $MB$ 上にあるとき、 $t$ のとりうる値の範囲を求める