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名古屋大学　2025年度　前期日程　文科系

第1問 2次関数・積分法の解答・解説

解と係数の関係・内分点・対称式・1/6公式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)放物線 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ が2点 $(p, 0), (q, 0)$ （ $p < q$ ）を通り、 $0 < t ≦ 1$ に対し $r = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q$ 、 $s = \frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q$ とするとき、 $q - s, r - p, s + r, s - r$ を $b, c, t$ で表す

答 $q - s = r - p = \frac{( 1 - t ) b ^{2} - 4 c}{2}$ 、 $s + r = - b$ 、 $s - r = t b^{2} - 4 c$

$r, s$ は $p, q$ の重み付き平均なので、差や和はすべて $q - p$ と $p + q$ だけで書ける。そして解と係数の関係から $p + q = - b$ 、 $q - p = b^{2} - 4 c$ である。この2つを用意してから代入する。

準備。 $p, q$ は $x^{2} + b x + c = 0$ の2解なので、解と係数の関係から

p + q = - b, pq = c

である。 $p < q$ より $q - p > 0$ で

(q - p)^{2} = (p + q)^{2} - 4 pq = b^{2} - 4 c, q - p = b^{2} - 4 c

である（2点で交わるので $b^{2} - 4 c > 0$ ）。

$q - s$ と $r - p$ 。 係数の和が $1$ であることに注意して計算すると

q - s = q - \frac{1 - t}{2} p - \frac{1 + t}{2} q = \frac{1 - t}{2} q - \frac{1 - t}{2} p = \frac{1 - t}{2} (q - p)

r - p = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q - p = \frac{1 - t}{2} q - \frac{1 - t}{2} p = \frac{1 - t}{2} (q - p)

で、どちらも同じ値になる。よって

q - s = r - p = \frac{( 1 - t ) b ^{2} - 4 c}{2}

である。

$s + r$ と $s - r$ 。 足すと $t$ の項が消え、引くと $p + q$ の項が消える。

s + r = (\frac{1 - t}{2} + \frac{1 + t}{2}) p + (\frac{1 + t}{2} + \frac{1 - t}{2}) q = p + q = - b

s - r = (\frac{1 - t}{2} - \frac{1 + t}{2}) p + (\frac{1 + t}{2} - \frac{1 - t}{2}) q = t (q - p) = t b^{2} - 4 c

$q - s = r - p$ は「 $r$ と $s$ が区間 $[p, q]$ の中点について対称」という意味である。 $0 < t ≦ 1$ なので $p ≦ r < s ≦ q$ で、 $t = 1$ のとき $r = p, s = q$ 、 $t$ を $0$ に近づけると $r, s$ はどちらも中点に近づく。

$p = - 2, q = 3, t = 0.4$ では $q - s = r - p = 1.5$ 、 $s + r = 1 = - b$ 、 $s - r = 2 = t 25$ だった。

$q - p$ は $\pm b^{2} - 4 c$ のどちらかだが、 $p < q$ なので正のほう。符号を決めておく。

$r$ と $s$ は $p$ と $q$ の係数が入れ替わっているだけ。片方を計算したらもう片方は $p \leftrightarrow q$ の入れ替えで書ける。

(2) $sr$ および $s^{2} + r^{2}$ を $b, c, t$ で表す

答 $sr = \frac{b ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4}$ 、 $s^{2} + r^{2} = \frac{b ^{2} + t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{2}$

(1) で $s + r$ と $s - r$ が出ている。 $4 sr = (s + r)^{2} - (s - r)^{2}$ 、 $2 (s^{2} + r^{2}) = (s + r)^{2} + (s - r)^{2}$ を使えば、 $r, s$ を個別に書く必要がない。

(1) より

(s + r)^{2} = b^{2}, (s - r)^{2} = t^{2} (b^{2} - 4 c)

である。恒等式 $(s + r)^{2} - (s - r)^{2} = 4 sr$ から

sr = \frac{b ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4}

であり、 $(s + r)^{2} + (s - r)^{2} = 2 (s^{2} + r^{2})$ から

s^{2} + r^{2} = \frac{b ^{2} + t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{2}

である。

$t = 1$ を入れると $sr = \frac{b ^{2} - b ^{2} + 4 c}{4} = c = pq$ 、 $s^{2} + r^{2} = \frac{b ^{2} + b ^{2} - 4 c}{2} = b^{2} - 2 c = p^{2} + q^{2}$ となり、 $r = p, s = q$ と整合する。

$p = - 4, q = - 1, t = 0.75$ では $sr = 4.984375$ 、式の値も $4.984375$ 、 $s^{2} + r^{2} = 15.03125$ で一致した。

$r, s$ を根号で書き下してから掛け算しない。和と差の2乗を使うほうがはるかに短い。

(3)放物線 $y = f (x)$ 、直線 $x = r$ 、 $x = s$ 、および $x$ 軸が囲む領域の面積を $b, c, t$ で表す

答 $\frac{t ( 3 - t ^{2} ) ( b ^{2} - 4 c ) ^{\frac{3}{2}}}{12}$

$p ≦ r < s ≦ q$ なので、この区間では $f ≦ 0$ である。したがって面積は $- \int_{r}^{s} f (x) d x$ で、 $(2)$ で用意した対称式 $s + r, sr$ をそのまま代入すれば $r, s$ を個別に書かずに済む。

p = -1, q = 2, t = 0.4 のときの様子。r と s は区間 [p, q] の中点について対称な位置にあり、網かけが求める面積。

位置関係。 (1) より $r - p = q - s = \frac{1 - t}{2} (q - p) ≧ 0$ で、 $s - r = t (q - p) > 0$ である。よって

p ≦ r < s ≦ q

である。 $f (x) = (x - p) (x - q)$ は $p ≦ x ≦ q$ で $f (x) ≦ 0$ だから、 $r ≦ x ≦ s$ でも $f (x) ≦ 0$ である。したがって求める面積は

S = - \int_{r}^{s} f (x) d x

である。

積分する。 原始関数を使って

\int_{r}^{s} (x^{2} + b x + c) d x = \frac{s ^{3} - r ^{3}}{3} + \frac{b ( s ^{2} - r ^{2} )}{2} + c (s - r)

である。 $s^{3} - r^{3} = (s - r) (s^{2} + sr + r^{2})$ 、 $s^{2} - r^{2} = (s - r) (s + r)$ なので、 $s - r$ でくくると

\int_{r}^{s} f (x) d x = (s - r) {\frac{s ^{2} + sr + r ^{2}}{3} + \frac{b ( s + r )}{2} + c}

である。 $D = b^{2} - 4 c$ とおく。 $s + r = - b$ と (2) から

s^{2} + sr + r^{2} = (s + r)^{2} - sr = b^{2} - \frac{b ^{2} - t ^{2} D}{4} = \frac{3 b ^{2} + t ^{2} D}{4}

なので、 ${}$ の中身は

\frac{3 b ^{2} + t ^{2} D}{12} + \frac{b ( - b )}{2} + c = \frac{3 b ^{2} + t ^{2} D - 6 b ^{2} + 12 c}{12} = \frac{t ^{2} D - 3 ( b ^{2} - 4 c )}{12} = \frac{( t ^{2} - 3 ) D}{12}

となる。 $s - r = t D$ だったから

\int_{r}^{s} f (x) d x = t D \cdot \frac{( t ^{2} - 3 ) D}{12} = \frac{t ( t ^{2} - 3 ) D ^{\frac{3}{2}}}{12}

である。 $0 < t ≦ 1$ より $t^{2} - 3 < 0$ でこれは負、符号を変えて

S = \frac{t ( 3 - t ^{2} ) ( b ^{2} - 4 c ) ^{\frac{3}{2}}}{12}

である。

$t = 1$ とすると $S = \frac{2 ( b ^{2} - 4 c ) ^{3/2}}{12} = \frac{( q - p ) ^{3}}{6}$ で、放物線と $x$ 軸が囲む面積のいわゆる $\frac{1}{6}$ 公式に一致する。逆に $t \to 0$ では $S \to 0$ で、 $r, s$ が中点に集まることと合う。

$p = 0, q = 7, t = 0.1$ で数値積分すると $8.5464166667$ 、式の値も $8.5464166667$ だった。 $t = 1$ の場合は $\frac{1}{6}$ 公式の値と一致した。

$r, s$ が $p, q$ の間にあることを言ってから「 $f ≦ 0$ だから面積は $- \int f$ 」と進む。ここを飛ばすと符号の根拠がない。

$(b^{2} - 4 c)^{3/2}$ は $(q - p)^{3}$ のこと。 $b^{2} - 4 c > 0$ なので根号のまま書いてよい。

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問題文について

(1)放物線 y=f(x)=x2+bx+c が2点 (p,0),(q,0)（p<q）を通り、0<t≦1 に対し r=21+t​p+21−t​q、s=21−t​p+21+t​q とするとき、q−s, r−p, s+r, s−r を b,c,t で表す

(2)sr および s2+r2 を b,c,t で表す

(3)放物線 y=f(x)、直線 x=r、x=s、および x 軸が囲む領域の面積を b,c,t で表す

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(1)放物線 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ が2点 $(p, 0), (q, 0)$ （ $p < q$ ）を通り、 $0 < t ≦ 1$ に対し $r = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q$ 、 $s = \frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q$ とするとき、 $q - s, r - p, s + r, s - r$ を $b, c, t$ で表す

(2) $sr$ および $s^{2} + r^{2}$ を $b, c, t$ で表す

(3)放物線 $y = f (x)$ 、直線 $x = r$ 、 $x = s$ 、および $x$ 軸が囲む領域の面積を $b, c, t$ で表す