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全3問・無料

名古屋大学　2025年度　前期日程　文科系

名大文系 2025年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　2次関数・積分法

解と係数の関係・内分点・対称式・1/6公式当サイトの体感難易度：標準

(1)放物線 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ が2点 $(p, 0), (q, 0)$ （ $p < q$ ）を通り、 $0 < t ≦ 1$ に対し $r = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q$ 、 $s = \frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q$ とするとき、 $q - s, r - p, s + r, s - r$ を $b, c, t$ で表す

答 $q - s = r - p = \frac{( 1 - t ) b ^{2} - 4 c}{2}$ 、 $s + r = - b$ 、 $s - r = t b^{2} - 4 c$

$r, s$ は $p, q$ の重み付き平均なので、差や和はすべて $q - p$ と $p + q$ だけで書ける。そして解と係数の関係から $p + q = - b$ 、 $q - p = b^{2} - 4 c$ である。この2つを用意してから代入する。

準備。 $p, q$ は $x^{2} + b x + c = 0$ の2解なので、解と係数の関係から

p + q = - b, pq = c

である。 $p < q$ より $q - p > 0$ で

(q - p)^{2} = (p + q)^{2} - 4 pq = b^{2} - 4 c, q - p = b^{2} - 4 c

である（2点で交わるので $b^{2} - 4 c > 0$ ）。

$q - s$ と $r - p$ 。 係数の和が $1$ であることに注意して計算すると

q - s = q - \frac{1 - t}{2} p - \frac{1 + t}{2} q = \frac{1 - t}{2} q - \frac{1 - t}{2} p = \frac{1 - t}{2} (q - p)

r - p = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q - p = \frac{1 - t}{2} q - \frac{1 - t}{2} p = \frac{1 - t}{2} (q - p)

で、どちらも同じ値になる。よって

q - s = r - p = \frac{( 1 - t ) b ^{2} - 4 c}{2}

である。

$s + r$ と $s - r$ 。 足すと $t$ の項が消え、引くと $p + q$ の項が消える。

s + r = (\frac{1 - t}{2} + \frac{1 + t}{2}) p + (\frac{1 + t}{2} + \frac{1 - t}{2}) q = p + q = - b

s - r = (\frac{1 - t}{2} - \frac{1 + t}{2}) p + (\frac{1 + t}{2} - \frac{1 - t}{2}) q = t (q - p) = t b^{2} - 4 c

$q - s = r - p$ は「 $r$ と $s$ が区間 $[p, q]$ の中点について対称」という意味である。 $0 < t ≦ 1$ なので $p ≦ r < s ≦ q$ で、 $t = 1$ のとき $r = p, s = q$ 、 $t$ を $0$ に近づけると $r, s$ はどちらも中点に近づく。

$p = - 2, q = 3, t = 0.4$ では $q - s = r - p = 1.5$ 、 $s + r = 1 = - b$ 、 $s - r = 2 = t 25$ だった。

$q - p$ は $\pm b^{2} - 4 c$ のどちらかだが、 $p < q$ なので正のほう。符号を決めておく。

$r$ と $s$ は $p$ と $q$ の係数が入れ替わっているだけ。片方を計算したらもう片方は $p \leftrightarrow q$ の入れ替えで書ける。

(2) $sr$ および $s^{2} + r^{2}$ を $b, c, t$ で表す

答 $sr = \frac{b ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4}$ 、 $s^{2} + r^{2} = \frac{b ^{2} + t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{2}$

(1) で $s + r$ と $s - r$ が出ている。 $4 sr = (s + r)^{2} - (s - r)^{2}$ 、 $2 (s^{2} + r^{2}) = (s + r)^{2} + (s - r)^{2}$ を使えば、 $r, s$ を個別に書く必要がない。

(1) より

(s + r)^{2} = b^{2}, (s - r)^{2} = t^{2} (b^{2} - 4 c)

である。恒等式 $(s + r)^{2} - (s - r)^{2} = 4 sr$ から

sr = \frac{b ^{2} - t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{4}

であり、 $(s + r)^{2} + (s - r)^{2} = 2 (s^{2} + r^{2})$ から

s^{2} + r^{2} = \frac{b ^{2} + t ^{2} ( b ^{2} - 4 c )}{2}

である。

$t = 1$ を入れると $sr = \frac{b ^{2} - b ^{2} + 4 c}{4} = c = pq$ 、 $s^{2} + r^{2} = \frac{b ^{2} + b ^{2} - 4 c}{2} = b^{2} - 2 c = p^{2} + q^{2}$ となり、 $r = p, s = q$ と整合する。

$p = - 4, q = - 1, t = 0.75$ では $sr = 4.984375$ 、式の値も $4.984375$ 、 $s^{2} + r^{2} = 15.03125$ で一致した。

$r, s$ を根号で書き下してから掛け算しない。和と差の2乗を使うほうがはるかに短い。

(3)放物線 $y = f (x)$ 、直線 $x = r$ 、 $x = s$ 、および $x$ 軸が囲む領域の面積を $b, c, t$ で表す

答 $\frac{t ( 3 - t ^{2} ) ( b ^{2} - 4 c ) ^{\frac{3}{2}}}{12}$

$p ≦ r < s ≦ q$ なので、この区間では $f ≦ 0$ である。したがって面積は $- \int_{r}^{s} f (x) d x$ で、 $(2)$ で用意した対称式 $s + r, sr$ をそのまま代入すれば $r, s$ を個別に書かずに済む。

p = -1, q = 2, t = 0.4 のときの様子。r と s は区間 [p, q] の中点について対称な位置にあり、網かけが求める面積。

位置関係。 (1) より $r - p = q - s = \frac{1 - t}{2} (q - p) ≧ 0$ で、 $s - r = t (q - p) > 0$ である。よって

p ≦ r < s ≦ q

である。 $f (x) = (x - p) (x - q)$ は $p ≦ x ≦ q$ で $f (x) ≦ 0$ だから、 $r ≦ x ≦ s$ でも $f (x) ≦ 0$ である。したがって求める面積は

S = - \int_{r}^{s} f (x) d x

である。

積分する。 原始関数を使って

\int_{r}^{s} (x^{2} + b x + c) d x = \frac{s ^{3} - r ^{3}}{3} + \frac{b ( s ^{2} - r ^{2} )}{2} + c (s - r)

である。 $s^{3} - r^{3} = (s - r) (s^{2} + sr + r^{2})$ 、 $s^{2} - r^{2} = (s - r) (s + r)$ なので、 $s - r$ でくくると

\int_{r}^{s} f (x) d x = (s - r) {\frac{s ^{2} + sr + r ^{2}}{3} + \frac{b ( s + r )}{2} + c}

である。 $D = b^{2} - 4 c$ とおく。 $s + r = - b$ と (2) から

s^{2} + sr + r^{2} = (s + r)^{2} - sr = b^{2} - \frac{b ^{2} - t ^{2} D}{4} = \frac{3 b ^{2} + t ^{2} D}{4}

なので、 ${}$ の中身は

\frac{3 b ^{2} + t ^{2} D}{12} + \frac{b ( - b )}{2} + c = \frac{3 b ^{2} + t ^{2} D - 6 b ^{2} + 12 c}{12} = \frac{t ^{2} D - 3 ( b ^{2} - 4 c )}{12} = \frac{( t ^{2} - 3 ) D}{12}

となる。 $s - r = t D$ だったから

\int_{r}^{s} f (x) d x = t D \cdot \frac{( t ^{2} - 3 ) D}{12} = \frac{t ( t ^{2} - 3 ) D ^{\frac{3}{2}}}{12}

である。 $0 < t ≦ 1$ より $t^{2} - 3 < 0$ でこれは負、符号を変えて

S = \frac{t ( 3 - t ^{2} ) ( b ^{2} - 4 c ) ^{\frac{3}{2}}}{12}

である。

$t = 1$ とすると $S = \frac{2 ( b ^{2} - 4 c ) ^{3/2}}{12} = \frac{( q - p ) ^{3}}{6}$ で、放物線と $x$ 軸が囲む面積のいわゆる $\frac{1}{6}$ 公式に一致する。逆に $t \to 0$ では $S \to 0$ で、 $r, s$ が中点に集まることと合う。

$p = 0, q = 7, t = 0.1$ で数値積分すると $8.5464166667$ 、式の値も $8.5464166667$ だった。 $t = 1$ の場合は $\frac{1}{6}$ 公式の値と一致した。

$r, s$ が $p, q$ の間にあることを言ってから「 $f ≦ 0$ だから面積は $- \int f$ 」と進む。ここを飛ばすと符号の根拠がない。

$(b^{2} - 4 c)^{3/2}$ は $(q - p)^{3}$ のこと。 $b^{2} - 4 c > 0$ なので根号のまま書いてよい。

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第2問　整数

平方差の因数分解・偶奇の一致・素数のべきの約数当サイトの体感難易度：標準

(1) $c = 24, 25, 26$ について、条件をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $c = 24$ ： $(7, 5), (5, 1)$ ／ $c = 25$ ： $(13, 12), (5, 0)$ ／ $c = 26$ ：なし

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ と因数分解し、 $u = a - b, v = a + b$ と置き換える。 $a = \frac{u + v}{2}, b = \frac{v - u}{2}$ が整数になる条件が「 $u, v$ の偶奇が一致」で、これが決め手になる。

$a \geq b \geq 0$ より $u = a - b \geq 0$ 、 $v = a + b \geq 0$ で、さらに $v - u = 2 b \geq 0$ から $u \leq v$ 。 $uv = c$ で、 $u, v$ の偶奇が一致するものだけが整数の組を与える。

$c = 24$ ： $(u, v) = (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)$ のうち偶奇が一致するのは $(2, 12), (4, 6)$ 。それぞれ $(a, b) = (7, 5), (5, 1)$
$c = 25$ ： $(1, 25), (5, 5)$ はどちらも奇数どうし。 $(a, b) = (13, 12), (5, 0)$
$c = 26$ ： $(1, 26), (2, 13)$ はどちらも偶奇が食い違う。解なし

$c = 26$ に解がないことは、 $4$ で割った余りだけで分かる。 $u, v$ の偶奇が一致するなら $uv$ は奇数か $4$ の倍数になるが、 $26 = 4 \cdot 6 + 2$ はどちらでもない。だから因数分解を調べるまでもなく解はなく、 $c \equiv 2 (mod 4)$ のときはいつも同じことが起こる。

$7^{2} - 5^{2} = 24$ 、 $5^{2} - 1^{2} = 24$ 、 $1 3^{2} - 1 2^{2} = 25$ 、 $5^{2} - 0^{2} = 25$ 。いずれも $a \geq b \geq 0$ をみたす。

$b = 0$ を忘れない。条件は $b \geq 0$ であって $b \geq 1$ ではないので、 $c = 25$ の $(5, 0)$ は落とせない。

$u \leq v$ を付けないと、 $(u, v)$ と $(v, u)$ を二重に数えたり、 $b < 0$ の組を拾ったりする。

(2) $p$ を $3$ 以上の素数、 $n$ を正の整数、 $c = 4 p^{2 n}$ とするとき、条件をみたす $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (p^{i} + p^{2 n - i}, p^{2 n - i} - p^{i}) (i = 0, 1, \dots, n)$ の $n + 1$ 組

(1) と同じ置き換えを使う。 $c$ が偶数なので $u, v$ はともに偶数しかありえず、 $u = 2 s, v = 2 t$ と書くと $s t = p^{2 n}$ に化ける。あとは $p$ のべきの約数を数えるだけ。

$uv = 4 p^{2 n}$ は偶数なので、偶奇が一致するなら $u, v$ はともに偶数。 $u = 2 s, v = 2 t$ （ $0 \leq s \leq t$ ）とおくと $4 s t = 4 p^{2 n}$ より $s t = p^{2 n}$ 。このとき

a = \frac{u + v}{2} = s + t, b = \frac{v - u}{2} = t - s

$p$ は素数だから $p^{2 n}$ の正の約数は $p^{0}, p^{1}, \dots, p^{2 n}$ のみ。 $s = p^{i}, t = p^{j}$ とおくと $i + j = 2 n$ で、 $s \leq t$ より $i \leq j$ 、すなわち $i \leq n$ 。

(a, b) = (p^{i} + p^{2 n - i}, p^{2 n - i} - p^{i}) (i = 0, 1, \dots, n)

$i$ の取りうる値は $0$ から $n$ までの $n + 1$ 通りで、どれも相異なる組を与える。

$p \geq 3$ という条件は、ここで効いている。 $p$ が奇数なので $s, t$ はともに奇数で、 $u = 2 s, v = 2 t$ の偶奇はつねに一致する。 $p = 2$ だと $c = 4 \cdot 2^{2 n} = 2^{2 n + 2}$ となり、 $u, v$ がともに偶数という条件のほかに「 $4$ の倍数かどうか」の場合分けが要る。 $p$ が $3$ 以上の素数に限られているのはこのためである。

$p = 3, n = 1$ なら $c = 36$ 。式からは $i = 0$ で $(10, 8)$ 、 $i = 1$ で $(6, 0)$ の $2 = n + 1$ 組。実際 $1 0^{2} - 8^{2} = 36$ 、 $6^{2} - 0^{2} = 36$ で、ほかに $a \geq b \geq 0$ の組はない。

$i \leq n$ の上限を落とすと、 $i$ と $2 n - i$ を入れ替えた同じ組を二重に数えてしまう。 $b \geq 0$ がこの上限そのもの。

$i = n$ のときは $b = p^{n} - p^{n} = 0$ 。これも $b \geq 0$ をみたすので数に入れる。

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第3問　確率

裏返しの操作・偶奇の連立方程式・必要十分条件・多項係数当サイトの体感難易度：難

(1) $p_{2}$ を求める

答 $p_{2} = \frac{1}{18}$

どのコインが何回裏返るかは、選ばれた回数の偶奇だけで決まる。順番は関係ない。だから「各コインが偶数回選ばれたか奇数回選ばれたか」を変数にした連立方程式に落ちる。

コイン $i$ が選ばれた回数を $k_{i}$ とする。コイン $j$ が裏返る回数は、 $j$ と隣り合うコインが選ばれた回数の合計。すべて裏向きになる条件は、どの $j$ についてもその合計が奇数になることで、 $x_{i} \equiv k_{i} (mod 2)$ とおけば ${0, 1}$ 上の連立方程式になる。

(2) で解くとおり、この連立方程式の解は $x_{2} = x_{5} = 1$ 、ほかは $0$ のただ1つ。つまり②と⑤が奇数回、残りの4枚が偶数回。

$n = 2$ では $k_{1} + \dots + k_{6} = 2$ なので、これをみたすのは $k_{2} = k_{5} = 1$ 、ほかは $0$ の場合だけ。並べ方は②→⑤と⑤→②の $2$ 通り、全体は $6^{2} = 36$ 通りだから

p_{2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

「選んだコインはそのまま」なので、選ばれたコイン自身は裏返らない。自分を含めて裏返すと思うと連立方程式が変わる。

$n$ が奇数のときは $p_{n} = 0$ 。 $x_{2} + x_{5} = 2$ は偶数なので、 $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{6}$ も偶数でなければならない。

(2)グループ $A, B$ への分け方を答える

答 $A = {②, ⑤}$ 、 $B = {①, ③, ④, ⑥}$

$x_{i} \in {0, 1}$ の連立方程式を解く。向かい合う位置どうしを足し引きすると変数が次々に消えて、解が1つに決まる。

マス目の隣接から、条件は次の6本（左辺はそのコインが裏返る回数の偶奇）。

①： $x_{2} + x_{4} \equiv 1$
②： $x_{1} + x_{3} + x_{5} \equiv 1$
③： $x_{2} + x_{6} \equiv 1$
④： $x_{1} + x_{5} \equiv 1$
⑤： $x_{2} + x_{4} + x_{6} \equiv 1$
⑥： $x_{3} + x_{5} \equiv 1$

①と③から $x_{4} \equiv x_{6} (\equiv 1 + x_{2})$ 。これを⑤に入れると $x_{2} + (x_{4} + x_{6}) \equiv x_{2} \equiv 1$ 。よって $x_{2} = 1$ 、 $x_{4} = x_{6} = 0$ 。

④と⑥から $x_{1} \equiv x_{3} (\equiv 1 + x_{5})$ 。これを②に入れると $(x_{1} + x_{3}) + x_{5} \equiv x_{5} \equiv 1$ 。よって $x_{5} = 1$ 、 $x_{1} = x_{3} = 0$ 。

解はただ1つで、 $x_{2} = x_{5} = 1$ 、ほかは $0$ 。すなわち $A = {②, ⑤}$ 、 $B = {①, ③, ④, ⑥}$ 。

②と⑤だけが別扱いになるのは、隣の数が違うからである。 $2 \times 3$ のマス目で、②と⑤は隣が $3$ つある真ん中の列、四隅の①③④⑥は隣が $2$ つ。隣の個数の偶奇が効いて、真ん中の列だけ奇数回選ぶ必要が出る。

解が1つしかないことまで言う。「このように分ければよい」だけでなく「これ以外にない」ことが、(3) で数え漏らさないための根拠になる。

(3) $p_{4}$ を求める

答 $p_{4} = \frac{7}{162}$

(2) の条件のもとで $k_{1} + \dots + k_{6} = 4$ をみたす組を書き出し、それぞれの並べ方の数（多項係数）を足す。

$k_{2}, k_{5}$ が奇数、ほかが偶数で、合計 $4$ 。 $k_{2} + k_{5}$ は偶数で $2$ か $4$ なので、場合は次の3通り。

$k_{2} = k_{5} = 1$ で、①③④⑥のどれか1枚が $2$ 回 … 並べ方 $\frac{4 !}{1 ! 1 ! 2 !} = 12$ 通り、コインの選び方が $4$ 通りで $48$ 通り
$k_{2} = 3, k_{5} = 1$ … $\frac{4 !}{3 ! 1 !} = 4$ 通り
$k_{2} = 1, k_{5} = 3$ … 同様に $4$ 通り

48 + 4 + 4 = 56

全体は $6^{4} = 1296$ 通りだから

p_{4} = \frac{56}{1296} = \frac{7}{162}

$6^{4} = 1296$ 通りの操作列をすべて作って数えても $56$ 通りになる。また $\frac{7}{162} = 0.0432 \dots$ で、 $p_{2} = \frac{1}{18} = 0.0555 \dots$ より小さい。回数が増えるほど「ちょうど全部裏」に当たりにくくなることと合う。

$k_{2} = k_{5} = 1$ で残り $2$ 回を①③④⑥に配るとき、 $2$ 枚に $1$ 回ずつではいけない。それだと両方が奇数回になって条件を外れる。

「同じコインを複数回選ぶ」ことが許されている。 $4$ 枚から $4$ 枚を選ぶ問題ではないので、組合せではなく多項係数で数える。

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大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)放物線 y=f(x)=x2+bx+c が2点 (p,0),(q,0)（p<q）を通り、0<t≦1 に対し r=21+t​p+21−t​q、s=21−t​p+21+t​q とするとき、q−s, r−p, s+r, s−r を b,c,t で表す

(2)sr および s2+r2 を b,c,t で表す

(3)放物線 y=f(x)、直線 x=r、x=s、および x 軸が囲む領域の面積を b,c,t で表す

(1)c=24, 25, 26 について、条件をみたす整数の組 (a,b) をすべて求める

(2)p を 3 以上の素数、n を正の整数、c=4p2n とするとき、条件をみたす (a,b) をすべて求める

(1)p2​ を求める

(2)グループ A, B への分け方を答える

(3)p4​ を求める

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関連するページ

(1)放物線 $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ が2点 $(p, 0), (q, 0)$ （ $p < q$ ）を通り、 $0 < t ≦ 1$ に対し $r = \frac{1 + t}{2} p + \frac{1 - t}{2} q$ 、 $s = \frac{1 - t}{2} p + \frac{1 + t}{2} q$ とするとき、 $q - s, r - p, s + r, s - r$ を $b, c, t$ で表す

(2) $sr$ および $s^{2} + r^{2}$ を $b, c, t$ で表す

(3)放物線 $y = f (x)$ 、直線 $x = r$ 、 $x = s$ 、および $x$ 軸が囲む領域の面積を $b, c, t$ で表す

(1) $c = 24, 25, 26$ について、条件をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める

(2) $p$ を $3$ 以上の素数、 $n$ を正の整数、 $c = 4 p^{2 n}$ とするとき、条件をみたす $(a, b)$ をすべて求める

(1) $p_{2}$ を求める

(2)グループ $A, B$ への分け方を答える

(3) $p_{4}$ を求める