第2問整数の解答・解説

平方差の因数分解・偶奇の一致・素数のべきの約数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

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(1) $c = 24, 25, 26$ について、条件をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $c = 24$ ： $(7, 5), (5, 1)$ ／ $c = 25$ ： $(13, 12), (5, 0)$ ／ $c = 26$ ：なし

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ と因数分解し、 $u = a - b, v = a + b$ と置き換える。 $a = \frac{u + v}{2}, b = \frac{v - u}{2}$ が整数になる条件が「 $u, v$ の偶奇が一致」で、これが決め手になる。

$a \geq b \geq 0$ より $u = a - b \geq 0$ 、 $v = a + b \geq 0$ で、さらに $v - u = 2 b \geq 0$ から $u \leq v$ 。 $uv = c$ で、 $u, v$ の偶奇が一致するものだけが整数の組を与える。

$c = 24$ ： $(u, v) = (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)$ のうち偶奇が一致するのは $(2, 12), (4, 6)$ 。それぞれ $(a, b) = (7, 5), (5, 1)$
$c = 25$ ： $(1, 25), (5, 5)$ はどちらも奇数どうし。 $(a, b) = (13, 12), (5, 0)$
$c = 26$ ： $(1, 26), (2, 13)$ はどちらも偶奇が食い違う。解なし

$c = 26$ に解がないことは、 $4$ で割った余りだけで分かる。 $u, v$ の偶奇が一致するなら $uv$ は奇数か $4$ の倍数になるが、 $26 = 4 \cdot 6 + 2$ はどちらでもない。だから因数分解を調べるまでもなく解はなく、 $c \equiv 2 (mod 4)$ のときはいつも同じことが起こる。

$7^{2} - 5^{2} = 24$ 、 $5^{2} - 1^{2} = 24$ 、 $1 3^{2} - 1 2^{2} = 25$ 、 $5^{2} - 0^{2} = 25$ 。いずれも $a \geq b \geq 0$ をみたす。

$b = 0$ を忘れない。条件は $b \geq 0$ であって $b \geq 1$ ではないので、 $c = 25$ の $(5, 0)$ は落とせない。

$u \leq v$ を付けないと、 $(u, v)$ と $(v, u)$ を二重に数えたり、 $b < 0$ の組を拾ったりする。

(2) $p$ を $3$ 以上の素数、 $n$ を正の整数、 $c = 4 p^{2 n}$ とするとき、条件をみたす $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (p^{i} + p^{2 n - i}, p^{2 n - i} - p^{i}) (i = 0, 1, \dots, n)$ の $n + 1$ 組

(1) と同じ置き換えを使う。 $c$ が偶数なので $u, v$ はともに偶数しかありえず、 $u = 2 s, v = 2 t$ と書くと $s t = p^{2 n}$ に化ける。あとは $p$ のべきの約数を数えるだけ。

$uv = 4 p^{2 n}$ は偶数なので、偶奇が一致するなら $u, v$ はともに偶数。 $u = 2 s, v = 2 t$ （ $0 \leq s \leq t$ ）とおくと $4 s t = 4 p^{2 n}$ より $s t = p^{2 n}$ 。このとき

a = \frac{u + v}{2} = s + t, b = \frac{v - u}{2} = t - s

$p$ は素数だから $p^{2 n}$ の正の約数は $p^{0}, p^{1}, \dots, p^{2 n}$ のみ。 $s = p^{i}, t = p^{j}$ とおくと $i + j = 2 n$ で、 $s \leq t$ より $i \leq j$ 、すなわち $i \leq n$ 。

(a, b) = (p^{i} + p^{2 n - i}, p^{2 n - i} - p^{i}) (i = 0, 1, \dots, n)

$i$ の取りうる値は $0$ から $n$ までの $n + 1$ 通りで、どれも相異なる組を与える。

$p \geq 3$ という条件は、ここで効いている。 $p$ が奇数なので $s, t$ はともに奇数で、 $u = 2 s, v = 2 t$ の偶奇はつねに一致する。 $p = 2$ だと $c = 4 \cdot 2^{2 n} = 2^{2 n + 2}$ となり、 $u, v$ がともに偶数という条件のほかに「 $4$ の倍数かどうか」の場合分けが要る。 $p$ が $3$ 以上の素数に限られているのはこのためである。

$p = 3, n = 1$ なら $c = 36$ 。式からは $i = 0$ で $(10, 8)$ 、 $i = 1$ で $(6, 0)$ の $2 = n + 1$ 組。実際 $1 0^{2} - 8^{2} = 36$ 、 $6^{2} - 0^{2} = 36$ で、ほかに $a \geq b \geq 0$ の組はない。