名古屋大学　2026年度　前期日程　文科系

第2問整数の解答・解説

互いに素・素因数分解の一意性・場合の数・重複を除く数え方当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は名古屋大学が公開しています。

問題文を見る（名古屋大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「令和８年度一般選抜（前期日程）の試験問題および正解・解答例等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $ab c = 120$ かつ $a \leq b \leq c$ を満たす組をすべて求める

答 $(1, 1, 120), (1, 3, 40), (1, 5, 24), (1, 8, 15), (3, 5, 8)$ の5組

方針どの2つも互いに素という条件は、素因数の分かれ方を完全に縛る。同じ素数が2つに分かれて入ると、その2つの最大公約数がその素数以上になってしまうので、各素数のべきはまるごと1つに属する。

$120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ なので、分けられない塊は $8, 3, 5$ の3つ。

この3つの塊を $a, b, c$ に振り分ければよい（どこにも塊が来なければその数は $1$ ）。塊の分け方で場合分けすると、 $a \leq b \leq c$ に並べ替えて次のようになる。

3つとも別々 … $(3, 5, 8)$
$8$ と $3$ を同じところへ … $(1, 5, 24)$
$8$ と $5$ を同じところへ … $(1, 3, 40)$
$3$ と $5$ を同じところへ … $(1, 8, 15)$
3つとも同じところへ … $(1, 1, 120)$

いずれも積は $120$ で、どの2つも共通の素因数をもたないから条件を満たす。

答案で省略しない方がよい点

$2^{3}$ を $2$ と $4$ に割って配ることはできない。 $2$ の指数をどう分けても両方に $2$ が入り、互いに素でなくなる。
$1$ はどの数とも互いに素なので、 $(1, 1, 120)$ も条件を満たす。「 $1$ を除く」とは書かれていないので落とさない。

(2) $ab c = 120$ をみたす組 $(a, b, c)$ の個数を求める

答 $27$ 個

方針(1) と理由は同じ。 $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ の素数のべきの塊が3つあり、それぞれを $a, b, c$ のどこへ入れるかを独立に選べる。

どの2つも互いに素という条件から、 $2^{3}, 3, 5$ はそれぞれまるごと $a, b, c$ のどれか1つに属する。逆にどう振り分けても積は $120$ になり、2つの数が共通の素因数をもつことはない。

3 \times 3 \times 3 = 3^{3} = 27 個

検算

(1) の5組それぞれの並べ替えを足すと $27$ 。順序つきで数えた $3^{3}$ と一致する。

答案で省略しない方がよい点

ここで数えているのは順序つきの組。 $(1, 3, 40)$ と $(3, 1, 40)$ を別に数えている。(1) の $a \leq b \leq c$ とは数え方が違う。

(3) $ab c = N!$ を満たす組 $(a, b, c)$ の個数を $m$ で表す

答 $3^{m}$ 個

方針(1) と理由は同じ。 $N!$ の素因数は「 $N$ 以下の素数」がちょうど全部で、その個数が $m$ 。素数ごとに「 $a, b, c$ のどこへ入れるか」を独立に選べる。

$N! = p \leq N \prod p^{e_{p}}$ と書くと、現れる素数はちょうど $m$ 種類。どの2つも互いに素という条件から、各 $p^{e_{p}}$ はまるごと $a, b, c$ のどれか1つに属する。

逆に、 $m$ 個の塊をどう振り分けても積は $N!$ になり、2つの数が共通の素因数をもつことはないので条件を満たす。塊ごとに3通りで、選び方は独立だから

3^{m} 個

答案で省略しない方がよい点

ここで数えているのは順序つきの組。 $(1, 3, 40)$ と $(3, 1, 40)$ は別に数えている。(3) との違いを最初に宣言しておく。

2026年度の全3問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大文系数学 2027

名大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・110ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)abc=120 かつ a≤b≤c を満たす組をすべて求める

(2)abc=120 をみたす組 (a,b,c) の個数を求める

(3)abc=N! を満たす組 (a,b,c) の個数を m で表す

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $ab c = 120$ かつ $a \leq b \leq c$ を満たす組をすべて求める

(2) $ab c = 120$ をみたす組 $(a, b, c)$ の個数を求める

(3) $ab c = N!$ を満たす組 $(a, b, c)$ の個数を $m$ で表す