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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理科系

神戸大理系 2025年度数学第5問（微分積分（数III））の解答・解説

神戸大学（神戸大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理科系入試の数学第5問（分野：微分積分（数III））について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「商の微分と平均値の定理・曲線の長さの定積分・微分積分学の基本定理・微分方程式への帰着」を扱います。

出題テーマ：商の微分と平均値の定理・曲線の長さの定積分・微分積分学の基本定理・微分方程式への帰着当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $t > 1$ とし、開区間 $(1, t)$ でつねに $f (x) - x f^{'} (x) = 0$ が成り立つならば、閉区間 $[1, t]$ で $\frac{f ( x )}{x}$ は定数であることを示す

答 ${\frac{f ( x )}{x}}^{'} = \frac{x f ^{'} ( x ) - f ( x )}{x ^{2}} = 0$ より平均値の定理から $[1, t]$ で定数

$F (x) = \frac{f ( x )}{x}$ とおいて商の微分公式を使う。

$F (x) = \frac{f ( x )}{x}$ とおくと、 $f (x)$ は閉区間 $[1, t]$ で連続、開区間 $(1, t)$ で微分可能であり、 $x ≧ 1 > 0$ だから $F (x)$ も $[1, t]$ で連続、 $(1, t)$ で微分可能である。

開区間 $(1, t)$ において商の微分公式より

F^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot x - f ( x ) \cdot 1}{x ^{2}} = - \frac{f ( x ) - x f ^{'} ( x )}{x ^{2}} = 0

が成り立つ。よって平均値の定理により、閉区間 $[1, t]$ 上の任意の $x$ に対して $F (x) = F (1)$ となり、 $\frac{f ( x )}{x}$ は閉区間 $[1, t]$ で定数である。 $■$

$f (x) = c x$ のとき $f (x) - x f^{'} (x) = c x - x \cdot c = 0$ となり成り立つ。

(2) $t ≧ 1$ を満たす任意の $t$ に対して $g (t) = h (t) + 2$ が成り立つとき、 $f (1)$ の値と $f (t) (t ≧ 1)$ を求める

答 $f (1) = 3, f (t) = 3 t$

$t = 1$ を代入して $f (1)$ を求め、両辺を $t$ で微分して2乗し、(1) の形 $f (t) - t f^{'} (t) = 0$ を導く。

原点 $O$ と点 $P (t, f (t))$ の距離は $g (t) = t^{2} + {f (t)}^{2}$ であり、曲線の長さは $h (t) = \int_{1}^{t} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$ （ $t = 1$ のときも $h (1) = 0$ で成り立つ）である。

関係式 $g (t) = h (t) + 2$ に $t = 1$ を代入すると、 $h (1) = 0$ より

1 + {f (1)}^{2} = 2 ⟺ 1 + {f (1)}^{2} = 4

となる。 $f (1) ≧ 0$ だから

f (1) = 3

である。次に $t ≧ 1$ において $t^{2} + {f (t)}^{2} ≧ 1 > 0$ であり、 $f^{'} (x)$ は連続だから $g (t)$ と $h (t)$ はともに $t$ について微分可能である。 $g (t) = h (t) + 2$ の両辺を $t$ で微分すると

\frac{t + f ( t ) f ^{'} ( t )}{t ^{2} + { f ( t ) } ^{2}} = 1 + {f^{'} (t)}^{2}

を得る。分母を払って両辺を2乗すると

{t + f (t) f^{'} (t)}^{2} t^{2} + 2 t f (t) f^{'} (t) + {f (t)}^{2} {f^{'} (t)}^{2} = (t^{2} + {f (t)}^{2}) (1 + {f^{'} (t)}^{2}) = t^{2} + t^{2} {f^{'} (t)}^{2} + {f (t)}^{2} + {f (t)}^{2} {f^{'} (t)}^{2}

整理すると

{f (t) - t f^{'} (t)}^{2} = 0 ⟺ f (t) - t f^{'} (t) = 0

がすべての $t ≧ 1$ で成り立つ。したがって (1) より、任意の $t > 1$ に対して $\frac{f ( t )}{t} = \frac{f ( 1 )}{1} = 3$ が成り立つ。これは $t = 1$ でも成り立つから、 $t ≧ 1$ のとき

f (t) = 3 t

である（逆にこのとき $g (t) = 2 t, h (t) = 2 (t - 1)$ となって条件 $g (t) = h (t) + 2$ を満たす）。

$f (t) = 3 t$ のとき $g (t) = t^{2} + 3 t^{2} = 2 t$ 、 $h (t) = \int_{1}^{t} 1 + 3 d x = 2 t - 2$ で $g (t) = h (t) + 2$ が恒等的に成り立つ。

微分した等式を2乗したときは、最後に求まった $f (t) = 3 t$ で $t + f (t) f^{'} (t) = 4 t > 0$ となって元の式（および $g (t) = h (t) + 2$ ）を満たすことを一言確認しておくと万全である。

▸ 別解：幾何学的な意味（三角不等式の等号成立条件）による解釈

点 $A (1, f (1))$ とおくと、 $g (1) = OA = 2$ であり、条件 $g (t) = h (t) + 2$ は「 $OP = OA + ($ 点 $A$ から点 $P$ までの曲線長 $)$ 」を表す。2点間の最短経路は線分だから、これが成り立つのは点 $A$ が半直線 $OP$ 上にあり、かつ曲線 $AP$ がその半直線そのものであるとき（すなわち原点を通り $A (1, 3)$ を通る直線 $y = 3 x$ のとき）に限られる。

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