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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理科系

神戸大理系 2025年度数学の解答・解説

神戸大学（神戸大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理科系入試の数学全5問（第1問：微分積分・関数、第2問：数と式・整数、第3問：微分積分（数III）、第4問：空間ベクトル、第5問：微分積分（数III））について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分積分・関数

絶対値つき3次関数のグラフ・定点を通る直線・2次関数との接線条件・共有点の個数当サイトの体感難易度：標準

(1) $f (x) = x^{3} - x$ で表される曲線 $C : y = f (x)$ の概形をかく（極大値は調べなくてよい）

答 $x < - 1, 0 ≦ x ≦ 1$ では $y = - x^{3} + x$ 、 $- 1 ≦ x ≦ 0, x > 1$ では $y = x^{3} - x$ （ $x = - 1, 0, 1$ で $x$ 軸と交わる）

$x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ の符号が $- 1, 0, 1$ を境に交互に変わることを使い、 $x^{3} - x < 0$ の区間を $x$ 軸に関して折り返す。

$x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1)$ であるから、符号で場合分けすると

f (x) = {- x^{3} + x x^{3} - x (x < - 1, 0 ≦ x ≦ 1) (- 1 ≦ x ≦ 0, x > 1)

である。 $(x^{3} - x)^{'} = 3 x^{2} - 1$ より、もとの3次関数 $y = x^{3} - x$ は $x = - \frac{1}{3}$ で極大、 $x = \frac{1}{3}$ で極小をとり、 $x = - 1, 0, 1$ で $x$ 軸と交わる。その負の部分（ $x < - 1$ および $0 < x < 1$ ）を $x$ 軸に関して上側へ折り返したものが曲線 $C$ である。

曲線

C : y = ∣ x^{3} - x ∣

と、4つの共有点をもつ直線

ℓ : y = \frac{1}{4} (x + 1)

。直線

ℓ

は

(- 1, 0)

を通り、

x = 1/2

でアーチ

y = - x^{3} + x

に接する。

$f (- 1) = f (0) = f (1) = 0$ であり、すべての $x$ で $f (x) ≧ 0$ となっている。

(2)曲線 $C : y = x^{3} - x$ と直線 $ℓ : y = k (x + 1)$ がちょうど4つの共有点をもつような実数 $k$ の値を求める

答 $k = \frac{1}{4}$

$(- 1, 0)$ はつねに共有点である。 $x \neq = - 1$ では両辺を $x + 1$ で割ることで、放物線 $u = x (x - 1)$ や $u = - x (x - 1)$ と水平線 $u = k$ の共有点数に帰着させる。

方程式 $x^{3} - x = k (x + 1)$ において、 $x = - 1$ は任意の $k$ に対してつねに解である。したがって、 $x \neq = - 1$ の範囲でちょうど3つの実数解をもつような $k$ を求めればよい。

$x \neq = - 1$ のとき、 $x^{3} - x = ∣ x (x - 1) ∣ ∣ x + 1 ∣$ だから、 $x + 1$ で割ると：

$x < - 1$ のとき： $∣ x + 1 ∣ = - (x + 1)$ 、かつ $x (x - 1) > 2 > 0$ だから、方程式は $- x (x - 1) = k$ となる。 $x < - 1$ で $- x (x - 1)$ は $- \infty$ から $- 2$ まで単調に増加するから、解の個数は $k < - 2$ で1個、 $k ≧ - 2$ で0個である。
$x > - 1$ のとき： $∣ x + 1 ∣ = x + 1 > 0$ だから、方程式は $∣ x (x - 1) ∣ = k$ となる。

ここで $x > - 1$ における関数 $h (x) = ∣ x (x - 1) ∣$ のグラフを考えると

h (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - x = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} - x^{2} + x = - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} (- 1 < x ≦ 0, x ≧ 1) (0 < x < 1)

である。 $x > - 1$ において $h (x)$ は：

$- 1 < x ≦ 0$ で $2$ （左端は白丸）から $0$ まで単調減少
$0 ≦ x ≦ 1$ で $x = \frac{1}{2}$ の極大値 $\frac{1}{4}$ を頂点とする上に凸の放物線弧（両端 $0$ ）
$x ≧ 1$ で $0$ から $+ \infty$ まで単調増加

となる。よって $x \neq = - 1$ における実数解の個数は

$k < - 2$ ： $x < - 1$ に1個、 $x > - 1$ に0個で計1個
$- 2 ≦ k < 0$ ：0個
$k = 0$ ： $x = 0, 1$ の2個
$0 < k < \frac{1}{4}$ ：4個
$k = \frac{1}{4}$ ： $- 1 < x < 0$ に1個、 $x = \frac{1}{2}$ （接点）の1個、 $x > 1$ に1個で計3個
$\frac{1}{4} < k < 2$ ：2個
$k ≧ 2$ ：1個

$x = - 1$ の1個と合わせて共有点がちょうど4個となるのは、 $x \neq = - 1$ で3個となる

k = \frac{1}{4}

のときである。

$k = \frac{1}{4}$ のとき $x^{2} - x = \frac{1}{4} ⟺ x = \frac{1 \pm 2}{2}$ （ともに $> - 1$ ）、 $- x^{2} + x = \frac{1}{4} ⟺ x = \frac{1}{2}$ （重解）で、 $x = - 1$ と合わせて確かに4個。

$x + 1$ で割るときに $x < - 1$ では $∣ x + 1∣ = - (x + 1)$ となって符号が反転する点に注意する。また $x = - 1$ での接線の傾き $k = 2$ では $x = - 1$ が重解になるため共有点は2個しかなく、4個にはならない。

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第2問　数と式・整数

無理数の整数部分と小数部分・分母の有理化・数列の単調性・背理法・単射性当サイトの体感難易度：標準

(1)自然数 $n$ に対し $a_{n} = n^{2} + 1 - n$ とおくとき、 $0 < a_{n} < 1$ を示す

答 $n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ より $n < n^{2} + 1 < n + 1$ 、各辺から $n$ を引いて $0 < a_{n} < 1$

$n$ は自然数なので $n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ が成り立つ。

$n$ は自然数だから $2 n > 0$ であり

n^{2} < n^{2} + 1 < n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}

が成り立つ。各辺は正なので正の平方根をとると

n < n^{2} + 1 < n + 1

となり、各辺から $n$ を引いて $0 < a_{n} < 1$ が成り立つ。 $■$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 2 - 1 \approx 0.414 \in (0, 1)$ 。

(2) $b_{n}$ を $(3 n - \frac{1}{a _{n}})$ の小数部分とするとき、 $b_{n}$ を $n$ を用いて表す

答 $b_{n} = n + 1 - n^{2} + 1$

$\frac{1}{a _{n}}$ の分母を有理化して $n^{2} + 1 + n$ に直し、整数部分を決定する。

$\frac{1}{a _{n}}$ の分母を有理化すると

\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{n ^{2} + 1 - n} = \frac{n ^{2} + 1 + n}{( n ^{2} + 1 ) - n ^{2}} = n^{2} + 1 + n

であるから

3 n - \frac{1}{a _{n}} = 3 n - (n^{2} + 1 + n) = 2 n - n^{2} + 1 = (n - 1) + (n + 1 - n^{2} + 1)

となる。ここで (1) の $0 < a_{n} < 1$ より $0 < 1 - a_{n} < 1$ すなわち

0 < n + 1 - n^{2} + 1 < 1

であり、 $n - 1$ は整数だから、 $3 n - \frac{1}{a _{n}}$ を超えない最大の整数（整数部分）は $n - 1$ である。したがって小数部分 $b_{n}$ は

b_{n} = (2 n - n^{2} + 1) - (n - 1) = n + 1 - n^{2} + 1 (= 1 - a_{n})

である。

$n = 1$ のとき $3 - \frac{1}{2 - 1} = 2 - 2 \approx 0.586$ で整数部分は $0$ 、小数部分は $2 - 2$ 。式に $n = 1$ を入れても $2 - 2$ で一致する。

$2 n - n^{2} + 1$ の整数部分をうっかり $2 n - n = n$ としてはいけない。 $- n^{2} + 1$ は $- n$ よりわずかに小さいため、整数部分は1つ小さい $n - 1$ になる。

(3)異なる2つの自然数 $m, n$ に対して $a_{m} + b_{n} \neq = 1$ を示す

答 $b_{n} = 1 - a_{n}$ より $a_{m} + b_{n} = 1 + a_{m} - a_{n}$ であり、 $a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ は狭義単調減少だから $m \neq = n$ なら $a_{m} \neq = a_{n}$

(2) の関係式 $b_{n} = 1 - a_{n}$ を使うと、 $a_{m} + b_{n} = 1 ⟺ a_{m} = a_{n}$ に帰着する。

(2) より $b_{n} = n + 1 - n^{2} + 1 = 1 - a_{n}$ であるから

a_{m} + b_{n} = 1 ⟺ a_{m} + (1 - a_{n}) = 1 ⟺ a_{m} = a_{n}

である。ところが (2) の有理化より

a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}

であり、分母 $n^{2} + 1 + n$ は正で $n$ に関して狭義単調増加だから、数列 ${a_{n}}$ は狭義単調減少である（ $1 ≦ m < n$ ならば $a_{m} > a_{n}$ ）。

したがって、異なる2つの自然数 $m, n$ に対してはつねに $a_{m} \neq = a_{n}$ であり、 $a_{m} + b_{n} \neq = 1$ が成り立つ。 $■$

$a_{1} \approx 0.414, a_{2} \approx 0.236, a_{3} \approx 0.162$ と単調減少しており、同じ値をとることはない。

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第3問　微分積分（数III）

媒介変数表示の曲線・対称性と絶対値の解消・円で挟まれた図形の面積当サイトの体感難易度：標準

(1) $x = sin θ, y = cos θ + ∣ sin θ ∣ (0 ≦ θ ≦ 2 π)$ で表される曲線 $C$ の概形をかく

答 $y$ 軸対称な閉曲線で、 $- 1 ≦ x ≦ 1$ において上側 $y = ∣ x ∣ + 1 - x^{2}$ 、下側 $y = ∣ x ∣ - 1 - x^{2}$ からなる

$θ \mapsto 2 π - θ$ で $x \mapsto - x, y \mapsto y$ となることから $y$ 軸対称性を確認し、 $0 ≦ θ ≦ π$ （ $x ≧ 0$ ）での増減を調べる。

$θ$ を $2 π - θ$ に置き換えると、 $sin (2 π - θ) = - sin θ = - x$ 、 $cos (2 π - θ) + ∣ sin (2 π - θ) ∣ = cos θ + ∣ sin θ ∣ = y$ となるから、曲線 $C$ は $y$ 軸に関して対称である。

$0 ≦ θ ≦ π$ のとき $sin θ ≧ 0$ だから

x = sin θ, y = cos θ + sin θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

であり、 $θ$ で微分すると

\frac{d x}{d θ} = cos θ, \frac{d y}{d θ} = - sin θ + cos θ = 2 cos (θ + \frac{π}{4})

となる。 $0 ≦ θ ≦ π$ において：

$θ = 0$ ：点 $(0, 1)$
$θ = \frac{π}{4}$ ： $y$ が最大となり、点 $(\frac{1}{2}, 2)$
$θ = \frac{π}{2}$ ： $x$ が最大となり、点 $(1, 1)$
$θ = π$ ：点 $(0, - 1)$

を通る。これを $y$ 軸に関して折り返すと $π ≦ θ ≦ 2 π$ （ $x ≦ 0$ ）の部分が得られ、全体として閉曲線 $C$ となる（これは単位円 $X^{2} + Y^{2} = 1$ の各点 $(X, Y)$ を $y$ 軸方向に $∣ X ∣$ だけずらした $x = X, y = Y + ∣ X ∣$ でもある）。

曲線

C : x = sin θ, y = cos θ + ∣ sin θ ∣

。各

x \in [- 1, 1]

での縦方向の幅は

(∣ x ∣ + 1 - x^{2}) - (∣ x ∣ - 1 - x^{2}) = 2 1 - x^{2}

で単位円と同じになるため、囲まれる面積は単位円の面積

π

に等しい。

$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ = \pm 1 - x^{2}$ より、 $y = ∣ x ∣ \pm 1 - x^{2}$ と書ける。

$x = 0$ （ $θ = 0, π$ ）で左微分と右微分の符号が変わるため、点 $(0, 1)$ と $(0, - 1)$ は尖点（とがった点）になる。

(2)曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $π$

$cos θ = \pm 1 - x^{2}$ から上下の曲線を $x$ の関数 $y = ∣ x ∣ \pm 1 - x^{2}$ で表すと、差から $∣ x ∣$ が消えて円の面積に帰着する。

$x = sin θ (- 1 ≦ x ≦ 1)$ のとき、 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - x^{2}$ より $cos θ = \pm 1 - x^{2}$ である。したがって、各 $x \in [- 1, 1]$ に対して曲線 $C$ の上側の境界 $y_{1}$ と下側の境界 $y_{2}$ は

y_{1} = ∣ x ∣ + 1 - x^{2}, y_{2} = ∣ x ∣ - 1 - x^{2}

で与えられる（ $x ≧ 0$ では $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ が $y_{1}$ 、 $\frac{π}{2} ≦ θ ≦ π$ が $y_{2}$ に対応する）。よって求める面積 $S$ は

S = \int_{- 1}^{1} (y_{1} - y_{2}) d x = \int_{- 1}^{1} 2 1 - x^{2} d x

である。 $\int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$ は半径 $1$ の半円の面積 $\frac{π}{2}$ に等しいから

S = 2 \cdot \frac{π}{2} = π

である。

単位円の面積 $π \cdot 1^{2} = π$ と一致する。

曲線 $C$ は単位円の各縦断面をそのまま上に $∣ x ∣$ だけスライドさせた図形（カヴァリエリの原理）なので、計算する前から面積が単位円と同じ $π$ になることが見抜ける。

▸ 別解：

0 ≦ θ ≦ π

の媒介変数積分で直接計算する別解

$y$ 軸対称性より $x ≧ 0$ の部分の面積を2倍すればよい。 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ を $y_{1}$ 、 $\frac{π}{2} ≦ θ ≦ π$ を $y_{2}$ として $d x = cos θ d θ$ で置換すると

S = 2 {\int_{0}^{\frac{π}{2}} (cos θ + sin θ) cos θ d θ - \int_{π}^{\frac{π}{2}} (cos θ + sin θ) cos θ d θ} = 2 \int_{0}^{π} cos^{2} θ d θ + 2 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin θ cos θ d θ + \int_{\frac{π}{2}}^{π} sin θ cos θ d θ) = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = π

となって同じ結果を得る。

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第4問　空間ベクトル

共線条件の否定・直線への垂線の足・2変数関数の最小値・空間内の三角形の面積当サイトの体感難易度：標準

(1)3点 $A (- 4, - 1, 0), B (- 3, 0, - 1), P (s, t, - 2 s + t - 1)$ が一直線上にないことを示す

答 $AP = k AB$ と仮定すると第1・第2成分から $t - s = 3$ 、第3成分と連立すると $2 = - 4$ となり矛盾する

$AB$ と $AP$ を成分で表し、 $AP = k AB$ を満たす実数 $k$ が存在しないことを背理法で示す。

$AB$ と $AP$ を成分で表すと

AB = (1, 1, - 1), AP = (s + 4, t + 1, - 2 s + t - 1)

である。 $AB \neq = 0$ だから、3点 $A, B, P$ が一直線上にあると仮定すると、ある実数 $k$ が存在して $AP = k AB$ すなわち

s + 4 = k, t + 1 = k, - 2 s + t - 1 = - k

が成り立つ。第1式と第2式から $k$ を消去すると $t + 1 = s + 4 ⟺ t = s + 3$ となるが、これと $k = s + 4$ を第3式に代入すると

- 2 s + (s + 3) - 1 = - (s + 4) ⟺ - s + 2 = - s - 4 ⟺ 2 = - 4

となり矛盾する。よって実数 $s, t$ がどのような値をとっても、3点 $A, B, P$ は一直線上にない。 $■$

点 $P$ は平面 $2 x - y + z = - 1$ 上を動き、直線 $AB$ の方向ベクトル $(1, 1, - 1)$ はこの平面と平行（ $2 \cdot 1 - 1 + (- 1) = 0$ ）で点 $A (- 4, - 1, 0)$ は平面上にない（ $- 8 + 1 + 0 = - 7 \neq = - 1$ ）ため、直線 $AB$ と平面は交わらない。

(2)点 $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $PH$ とするとき、点 $H$ の座標を $s$ を用いて表す

答 $(s - 2, s + 1, - s - 2)$

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるから $AH = u AB$ とおき、 $PH \cdot AB = 0$ から $u$ を求める。

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるから、実数 $u$ を用いて $AH = u AB = (u, u, - u)$ とおける。このとき

AP \cdot AB = (s + 4) \cdot 1 + (t + 1) \cdot 1 + (- 2 s + t - 1) \cdot (- 1) = 3 s + 6 = 3 (s + 2)

および $AB^{2} = 1^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2} = 3$ である。 $PH ⊥ AB$ より

AH \cdot AB = AP \cdot AB ⟺ 3 u = 3 (s + 2) ⟺ u = s + 2

となる。したがって点 $H$ の座標は

OH = OA + (s + 2) AB = (- 4, - 1, 0) + (s + 2, s + 2, - s - 2) = (s - 2, s + 1, - s - 2)

である。

$HP = OP - OH = (2, t - s - 1, - s + t + 1)$ と $AB = (1, 1, - 1)$ の内積は $2 + (t - s - 1) - (- s + t + 1) = 0$ で確かに直交している。

内積 $AP \cdot AB$ を計算すると $t$ と $- t$ が打ち消し合って消える。もし $t$ が残ったら符号ミスを疑う（問題文にも「 $s$ を用いて表せ」とある）。

(3) $s, t$ が変化するとき、三角形 $ABP$ の面積の最小値を求める

答 $\frac{3 2}{2}$

底辺 $AB = 3$ は一定だから、高さ $PH$ が最小になるとき面積が最小になる。

(2) より

HP = OP - OH = (2, t - s - 1, t - s + 1)

である。 $v = t - s$ とおくと、 $s, t$ が実数全体を動くとき $v$ も実数全体を動き

PH^{2} = 2^{2} + (v - 1)^{2} + (v + 1)^{2} = 2 v^{2} + 6 ≧ 6

となる。等号は $v = 0$ （すなわち $t = s$ ）のときに成り立ち、 $PH$ の最小値は $6$ である。

$AB = 3$ は定数だから、三角形 $ABP$ の面積 $\frac{1}{2} AB \cdot PH$ の最小値は

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = \frac{3 2}{2}

である。

$s = t = 0$ のとき $P (0, 0, - 1), H (- 2, 1, - 2)$ で $PH = 4 + 1 + 1 = 6$ 、面積は $\frac{1}{2} 36 = \frac{3 2}{2}$ 。

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第5問　微分積分（数III）

商の微分と平均値の定理・曲線の長さの定積分・微分積分学の基本定理・微分方程式への帰着当サイトの体感難易度：標準

(1) $t > 1$ とし、開区間 $(1, t)$ でつねに $f (x) - x f^{'} (x) = 0$ が成り立つならば、閉区間 $[1, t]$ で $\frac{f ( x )}{x}$ は定数であることを示す

答 ${\frac{f ( x )}{x}}^{'} = \frac{x f ^{'} ( x ) - f ( x )}{x ^{2}} = 0$ より平均値の定理から $[1, t]$ で定数

$F (x) = \frac{f ( x )}{x}$ とおいて商の微分公式を使う。

$F (x) = \frac{f ( x )}{x}$ とおくと、 $f (x)$ は閉区間 $[1, t]$ で連続、開区間 $(1, t)$ で微分可能であり、 $x ≧ 1 > 0$ だから $F (x)$ も $[1, t]$ で連続、 $(1, t)$ で微分可能である。

開区間 $(1, t)$ において商の微分公式より

F^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot x - f ( x ) \cdot 1}{x ^{2}} = - \frac{f ( x ) - x f ^{'} ( x )}{x ^{2}} = 0

が成り立つ。よって平均値の定理により、閉区間 $[1, t]$ 上の任意の $x$ に対して $F (x) = F (1)$ となり、 $\frac{f ( x )}{x}$ は閉区間 $[1, t]$ で定数である。 $■$

$f (x) = c x$ のとき $f (x) - x f^{'} (x) = c x - x \cdot c = 0$ となり成り立つ。

(2) $t ≧ 1$ を満たす任意の $t$ に対して $g (t) = h (t) + 2$ が成り立つとき、 $f (1)$ の値と $f (t) (t ≧ 1)$ を求める

答 $f (1) = 3, f (t) = 3 t$

$t = 1$ を代入して $f (1)$ を求め、両辺を $t$ で微分して2乗し、(1) の形 $f (t) - t f^{'} (t) = 0$ を導く。

原点 $O$ と点 $P (t, f (t))$ の距離は $g (t) = t^{2} + {f (t)}^{2}$ であり、曲線の長さは $h (t) = \int_{1}^{t} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$ （ $t = 1$ のときも $h (1) = 0$ で成り立つ）である。

関係式 $g (t) = h (t) + 2$ に $t = 1$ を代入すると、 $h (1) = 0$ より

1 + {f (1)}^{2} = 2 ⟺ 1 + {f (1)}^{2} = 4

となる。 $f (1) ≧ 0$ だから

f (1) = 3

である。次に $t ≧ 1$ において $t^{2} + {f (t)}^{2} ≧ 1 > 0$ であり、 $f^{'} (x)$ は連続だから $g (t)$ と $h (t)$ はともに $t$ について微分可能である。 $g (t) = h (t) + 2$ の両辺を $t$ で微分すると

\frac{t + f ( t ) f ^{'} ( t )}{t ^{2} + { f ( t ) } ^{2}} = 1 + {f^{'} (t)}^{2}

を得る。分母を払って両辺を2乗すると

{t + f (t) f^{'} (t)}^{2} t^{2} + 2 t f (t) f^{'} (t) + {f (t)}^{2} {f^{'} (t)}^{2} = (t^{2} + {f (t)}^{2}) (1 + {f^{'} (t)}^{2}) = t^{2} + t^{2} {f^{'} (t)}^{2} + {f (t)}^{2} + {f (t)}^{2} {f^{'} (t)}^{2}

整理すると

{f (t) - t f^{'} (t)}^{2} = 0 ⟺ f (t) - t f^{'} (t) = 0

がすべての $t ≧ 1$ で成り立つ。したがって (1) より、任意の $t > 1$ に対して $\frac{f ( t )}{t} = \frac{f ( 1 )}{1} = 3$ が成り立つ。これは $t = 1$ でも成り立つから、 $t ≧ 1$ のとき

f (t) = 3 t

である（逆にこのとき $g (t) = 2 t, h (t) = 2 (t - 1)$ となって条件 $g (t) = h (t) + 2$ を満たす）。

$f (t) = 3 t$ のとき $g (t) = t^{2} + 3 t^{2} = 2 t$ 、 $h (t) = \int_{1}^{t} 1 + 3 d x = 2 t - 2$ で $g (t) = h (t) + 2$ が恒等的に成り立つ。

微分した等式を2乗したときは、最後に求まった $f (t) = 3 t$ で $t + f (t) f^{'} (t) = 4 t > 0$ となって元の式（および $g (t) = h (t) + 2$ ）を満たすことを一言確認しておくと万全である。

▸ 別解：幾何学的な意味（三角不等式の等号成立条件）による解釈

点 $A (1, f (1))$ とおくと、 $g (1) = OA = 2$ であり、条件 $g (t) = h (t) + 2$ は「 $OP = OA + ($ 点 $A$ から点 $P$ までの曲線長 $)$ 」を表す。2点間の最短経路は線分だから、これが成り立つのは点 $A$ が半直線 $OP$ 上にあり、かつ曲線 $AP$ がその半直線そのものであるとき（すなわち原点を通り $A (1, 3)$ を通る直線 $y = 3 x$ のとき）に限られる。

第5問だけのページ

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問題文について

(1)f(x)=​x3−x​ で表される曲線 C:y=f(x) の概形をかく（極大値は調べなくてよい）

(2)曲線 C:y=​x3−x​ と直線 ℓ:y=k(x+1) がちょうど4つの共有点をもつような実数 k の値を求める

(1)自然数 n に対し an​=n2+1​−n とおくとき、0<an​<1 を示す

(2)bn​ を (3n−an​1​) の小数部分とするとき、bn​ を n を用いて表す

(3)異なる2つの自然数 m,n に対して am​+bn​=1 を示す

(1)x=sinθ, y=cosθ+∣sinθ∣ (0≦θ≦2π) で表される曲線 C の概形をかく

(2)曲線 C で囲まれた部分の面積 S を求める

(1)3点 A(−4,−1,0), B(−3,0,−1), P(s,t,−2s+t−1) が一直線上にないことを示す

(2)点 P から直線 AB に下ろした垂線を PH とするとき、点 H の座標を s を用いて表す

(3)s,t が変化するとき、三角形 ABP の面積の最小値を求める

(1)t>1 とし、開区間 (1,t) でつねに f(x)−xf′(x)=0 が成り立つならば、閉区間 [1,t] で xf(x)​ は定数であることを示す

(2)t≧1 を満たす任意の t に対して g(t)=h(t)+2 が成り立つとき、f(1) の値と f(t) (t≧1) を求める

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(1) $f (x) = x^{3} - x$ で表される曲線 $C : y = f (x)$ の概形をかく（極大値は調べなくてよい）

(2)曲線 $C : y = x^{3} - x$ と直線 $ℓ : y = k (x + 1)$ がちょうど4つの共有点をもつような実数 $k$ の値を求める

(1)自然数 $n$ に対し $a_{n} = n^{2} + 1 - n$ とおくとき、 $0 < a_{n} < 1$ を示す

(2) $b_{n}$ を $(3 n - \frac{1}{a _{n}})$ の小数部分とするとき、 $b_{n}$ を $n$ を用いて表す

(3)異なる2つの自然数 $m, n$ に対して $a_{m} + b_{n} \neq = 1$ を示す

(1) $x = sin θ, y = cos θ + ∣ sin θ ∣ (0 ≦ θ ≦ 2 π)$ で表される曲線 $C$ の概形をかく

(2)曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

(1)3点 $A (- 4, - 1, 0), B (- 3, 0, - 1), P (s, t, - 2 s + t - 1)$ が一直線上にないことを示す

(2)点 $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $PH$ とするとき、点 $H$ の座標を $s$ を用いて表す

(3) $s, t$ が変化するとき、三角形 $ABP$ の面積の最小値を求める

(1) $t > 1$ とし、開区間 $(1, t)$ でつねに $f (x) - x f^{'} (x) = 0$ が成り立つならば、閉区間 $[1, t]$ で $\frac{f ( x )}{x}$ は定数であることを示す

(2) $t ≧ 1$ を満たす任意の $t$ に対して $g (t) = h (t) + 2$ が成り立つとき、 $f (1)$ の値と $f (t) (t ≧ 1)$ を求める

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