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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理科系

神戸大理系 2025年度数学第4問（空間ベクトル）の解答・解説

神戸大学（神戸大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理科系入試の数学第4問（分野：空間ベクトル）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「共線条件の否定・直線への垂線の足・2変数関数の最小値・空間内の三角形の面積」を扱います。

出題テーマ：共線条件の否定・直線への垂線の足・2変数関数の最小値・空間内の三角形の面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)3点 $A (- 4, - 1, 0), B (- 3, 0, - 1), P (s, t, - 2 s + t - 1)$ が一直線上にないことを示す

答 $AP = k AB$ と仮定すると第1・第2成分から $t - s = 3$ 、第3成分と連立すると $2 = - 4$ となり矛盾する

$AB$ と $AP$ を成分で表し、 $AP = k AB$ を満たす実数 $k$ が存在しないことを背理法で示す。

$AB$ と $AP$ を成分で表すと

AB = (1, 1, - 1), AP = (s + 4, t + 1, - 2 s + t - 1)

である。 $AB \neq = 0$ だから、3点 $A, B, P$ が一直線上にあると仮定すると、ある実数 $k$ が存在して $AP = k AB$ すなわち

s + 4 = k, t + 1 = k, - 2 s + t - 1 = - k

が成り立つ。第1式と第2式から $k$ を消去すると $t + 1 = s + 4 ⟺ t = s + 3$ となるが、これと $k = s + 4$ を第3式に代入すると

- 2 s + (s + 3) - 1 = - (s + 4) ⟺ - s + 2 = - s - 4 ⟺ 2 = - 4

となり矛盾する。よって実数 $s, t$ がどのような値をとっても、3点 $A, B, P$ は一直線上にない。 $■$

点 $P$ は平面 $2 x - y + z = - 1$ 上を動き、直線 $AB$ の方向ベクトル $(1, 1, - 1)$ はこの平面と平行（ $2 \cdot 1 - 1 + (- 1) = 0$ ）で点 $A (- 4, - 1, 0)$ は平面上にない（ $- 8 + 1 + 0 = - 7 \neq = - 1$ ）ため、直線 $AB$ と平面は交わらない。

(2)点 $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $PH$ とするとき、点 $H$ の座標を $s$ を用いて表す

答 $(s - 2, s + 1, - s - 2)$

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるから $AH = u AB$ とおき、 $PH \cdot AB = 0$ から $u$ を求める。

点 $H$ は直線 $AB$ 上にあるから、実数 $u$ を用いて $AH = u AB = (u, u, - u)$ とおける。このとき

AP \cdot AB = (s + 4) \cdot 1 + (t + 1) \cdot 1 + (- 2 s + t - 1) \cdot (- 1) = 3 s + 6 = 3 (s + 2)

および $AB^{2} = 1^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2} = 3$ である。 $PH ⊥ AB$ より

AH \cdot AB = AP \cdot AB ⟺ 3 u = 3 (s + 2) ⟺ u = s + 2

となる。したがって点 $H$ の座標は

OH = OA + (s + 2) AB = (- 4, - 1, 0) + (s + 2, s + 2, - s - 2) = (s - 2, s + 1, - s - 2)

である。

$HP = OP - OH = (2, t - s - 1, - s + t + 1)$ と $AB = (1, 1, - 1)$ の内積は $2 + (t - s - 1) - (- s + t + 1) = 0$ で確かに直交している。

内積 $AP \cdot AB$ を計算すると $t$ と $- t$ が打ち消し合って消える。もし $t$ が残ったら符号ミスを疑う（問題文にも「 $s$ を用いて表せ」とある）。

(3) $s, t$ が変化するとき、三角形 $ABP$ の面積の最小値を求める

答 $\frac{3 2}{2}$

底辺 $AB = 3$ は一定だから、高さ $PH$ が最小になるとき面積が最小になる。

(2) より

HP = OP - OH = (2, t - s - 1, t - s + 1)

である。 $v = t - s$ とおくと、 $s, t$ が実数全体を動くとき $v$ も実数全体を動き

PH^{2} = 2^{2} + (v - 1)^{2} + (v + 1)^{2} = 2 v^{2} + 6 ≧ 6

となる。等号は $v = 0$ （すなわち $t = s$ ）のときに成り立ち、 $PH$ の最小値は $6$ である。

$AB = 3$ は定数だから、三角形 $ABP$ の面積 $\frac{1}{2} AB \cdot PH$ の最小値は

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = \frac{3 2}{2}

である。

$s = t = 0$ のとき $P (0, 0, - 1), H (- 2, 1, - 2)$ で $PH = 4 + 1 + 1 = 6$ 、面積は $\frac{1}{2} 36 = \frac{3 2}{2}$ 。

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問題文について

(1)3点 A(−4,−1,0), B(−3,0,−1), P(s,t,−2s+t−1) が一直線上にないことを示す

(2)点 P から直線 AB に下ろした垂線を PH とするとき、点 H の座標を s を用いて表す

(3)s,t が変化するとき、三角形 ABP の面積の最小値を求める