名古屋市立大学　2025年度　前期日程　医学部医学科

第1問平面ベクトルの解答・解説

垂線の足・2直線の交点をベクトルで表す・内積の計算当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は名古屋市立大学が公開しています。

掲載ページ名「令和7年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

答 $OH = \frac{13 a - 3 b}{10}$

$H$ は直線 $AB$ 上だから $OH = a + t (b - a)$ とおき、 $OH \cdot AB = 0$ で $t$ を決める。

まず内積と $b - a^{2}$ を出しておく。

a \cdot b = ∣ a ∣ b cos θ = 2 \cdot 6 \cdot \frac{5}{6} = 10

b - a^{2} = b^{2} - 2 a \cdot b + ∣ a ∣^{2} = 36 - 20 + 4 = 20

$H$ は直線 $AB$ 上にあるので $OH = a + t (b - a)$ とおける。 $OH ⊥ AB$ より

{a + t (b - a)} \cdot (b - a) = 0

である。 $a \cdot (b - a) = 10 - 4 = 6$ なので

6 + 20 t = 0, t = - \frac{3}{10}

である。よって

OH = a - \frac{3}{10} (b - a) = \frac{13}{10} a - \frac{3}{10} b = \frac{13 a - 3 b}{10}

である。

$t = - \frac{3}{10} < 0$ なので、 $H$ は線分 $AB$ の外、 $A$ の側にある。実際 $AO \cdot AB = - 6 < 0$ で、角 $A$ は鈍角である。

$\frac{13 a - 3 b}{10}$ と $b - a$ の内積を分数のまま計算すると、ちょうど $0$ になった。

$H$ が線分 $AB$ の内部にあるとは限らない。ここでは $A$ の外側に出る。

答 $ON = \frac{13 a - 3 b}{7}$

$N$ を2通りに表して、 $a, b$ が1次独立であることから係数を比べる。

$N$ は直線 $OH$ 上なので、実数 $u$ を使って

ON = u \cdot \frac{13 a - 3 b}{10} = \frac{13 u}{10} a - \frac{3 u}{10} b

と書ける。また $OM = \frac{1}{2} b$ で、 $N$ は直線 $AM$ 上なので、実数 $s$ を使って

ON = a + s (\frac{1}{2} b - a) = (1 - s) a + \frac{s}{2} b

とも書ける。三角形 $OAB$ ができているので $a, b$ は1次独立であり、係数を比べて

1 - s = \frac{13 u}{10}, \frac{s}{2} = - \frac{3 u}{10}

である。第2式から $s = - \frac{3 u}{5}$ で、これを第1式に入れると

1 + \frac{3 u}{5} = \frac{13 u}{10}, 1 = \frac{13 u - 6 u}{10} = \frac{7 u}{10}, u = \frac{10}{7}

である。よって

ON = \frac{10}{7} \cdot \frac{13 a - 3 b}{10} = \frac{13 a - 3 b}{7} = \frac{13}{7} a - \frac{3}{7} b

である。

三角形 OAB と、O から直線 AB に下ろした垂線の足 H、OB の中点 M、直線 OH と直線 AM の交点 N の位置関係。H と N はどちらも線分 AB の外、A の側にある。

$\frac{13 a - 3 b}{7}$ は $OH$ の $\frac{10}{7}$ 倍で直線 $OH$ 上にあり、 $s = - \frac{6}{7}$ として $(1 - s) a + \frac{s}{2} b$ とも一致した。

$u = \frac{10}{7} > 1$ なので、 $N$ は $H$ よりさらに遠い。線分 $OH$ の内部とは限らない。

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