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名古屋市立大学　2025年度　前期日程　医学部医学科

第3問整数・数列の解答・解説

条件を満たす格子点の数え上げ・偶奇で分けて一般項・和の計算当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)自然数 $k$ に対して $x < y < k < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ の個数を $a_{k}$ とするとき、 $a_{7}, a_{8}$ を求める

答 $a_{7} = 6$ 、 $a_{8} = 9$

$y$ を固定すると $x$ の動く範囲が $k - y < x < y$ と決まる。

条件 $x < y < k < x + y$ は、 $y$ を固定すると

1 ≦ y ≦ k - 1, k - y < x < y

と書ける。 $x$ は整数なので $k - y + 1 ≦ x ≦ y - 1$ で、個数は $y - 1 - (k - y + 1) + 1 = 2 y - k - 1$ （これが $0$ 以下なら $0$ 個）である。また $k - y + 1 ≧ 2 > 1$ なので $x ≧ 1$ は自動的に満たされる。

$k = 7$ のとき $2 y - 8 ≧ 1$ より $y ≧ 5$ で、 $y ≦ 6$ だから

$y = 5$ … $2$ 個
$y = 6$ … $4$ 個

で $a_{7} = 6$ である。 $k = 8$ のとき $2 y - 9 ≧ 1$ より $y ≧ 5$ で、 $y ≦ 7$ だから

$y = 5$ … $1$ 個
$y = 6$ … $3$ 個
$y = 7$ … $5$ 個

で $a_{8} = 9$ である。

定義どおり全探索すると $a_{7} = 6$ 、 $a_{8} = 9$ だった。

(2)自然数 $m$ に対して $a_{2 m - 1}, a_{2 m}$ を $m$ の式で表す

答 $a_{2 m - 1} = (m - 1) (m - 2)$ 、 $a_{2 m} = (m - 1)^{2}$

(1) で出した $2 y - k - 1$ を $y$ について足す。 $k$ の偶奇で $y$ の下限が変わる。

(1) より

a_{k} = y \sum (2 y - k - 1) (2 y - k - 1 ≧ 1 となる y ≦ k - 1 について)

である。条件は $y ≧ \frac{k + 2}{2}$ である。

$k = 2 m$ のとき　 $y ≧ m + 1$ で、 $y$ は $m + 1$ から $2 m - 1$ まで動く。 $2 y - k - 1 = 2 y - 2 m - 1$ は $y = m + 1, m + 2, \dots, 2 m - 1$ に対して

1, 3, 5, \dots, 2 m - 3

という $m - 1$ 個の奇数になるので

a_{2 m} = 1 + 3 + \dots + (2 m - 3) = (m - 1)^{2}

である（ $m = 1$ のときは動く $y$ がなく $a_{2} = 0$ で、式とも合う）。

$k = 2 m - 1$ のとき　 $y ≧ \frac{2 m + 1}{2}$ 、つまり $y ≧ m + 1$ で、 $y$ は $m + 1$ から $2 m - 2$ まで動く。 $2 y - k - 1 = 2 y - 2 m$ は

2, 4, 6, \dots, 2 m - 4

という $m - 2$ 個の偶数になるので

a_{2 m - 1} = 2 {1 + 2 + \dots + (m - 2)} = (m - 2) (m - 1)

である（ $m = 1, 2$ のときは $0$ で、式とも合う）。

$m = 1, \dots, 14$ で、全探索した $a_{2 m - 1}, a_{2 m}$ が式と一致した。

$k$ が奇数のときは $\frac{k + 2}{2}$ が整数でないので、 $y$ の下限は切り上げて $m + 1$ になる。

(3)自然数 $n$ に対して $k = 1 \sum 2 n a_{k}$ を $n$ の式で表す

答 $\frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}$

奇数番目と偶数番目をペアにして $m = 1$ から $n$ まで足す。

(2) より、 $m = 1, 2, \dots, n$ についてペアにして足すと

k = 1 \sum 2 n a_{k} = m = 1 \sum n (a_{2 m - 1} + a_{2 m}) = m = 1 \sum n {(m - 1) (m - 2) + (m - 1)^{2}}

である。 $j = m - 1$ とおくと中身は $j (j - 1) + j^{2} = 2 j^{2} - j$ で、 $j$ は $0$ から $n - 1$ まで動くから

j = 0 \sum n - 1 (2 j^{2} - j) = 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - \frac{( n - 1 ) n}{2}

である。 $n (n - 1)$ でくくると

n (n - 1) {\frac{2 n - 1}{3} - \frac{1}{2}} = n (n - 1) \cdot \frac{2 ( 2 n - 1 ) - 3}{6} = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}

である。

$n = 1, 2, 3, 4, 5$ で $0, 1, 7, 22, 50$ となる。

$n = 1, \dots, 11$ で、全探索した和が $\frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}$ と一致した。

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問題文について

(1)自然数 k に対して x<y<k<x+y を満たす自然数の組 (x,y) の個数を ak​ とするとき、a7​,a8​ を求める

(2)自然数 m に対して a2m−1​,a2m​ を m の式で表す

(3)自然数 n に対して k=1∑2n​ak​ を n の式で表す

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