独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

名古屋市立大学　2025年度　前期日程　医学部医学科

名市大医 2025年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は名古屋市立大学が公開しています。

問題文を見る（名古屋市立大学公式・外部サイト・PDF）

掲載ページ名「令和7年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　平面ベクトル

垂線の足・2直線の交点をベクトルで表す・内積の計算当サイトの体感難易度：標準

(1)三角形 $OAB$ で、 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $OH$ とする。 $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $a$ と $b$ のなす角 $θ$ について $∣ a ∣ = 2$ 、 $b = 6$ 、 $cos θ = \frac{5}{6}$ のとき、 $OH$ を $a, b$ で表す

答 $OH = \frac{13 a - 3 b}{10}$

$H$ は直線 $AB$ 上だから $OH = a + t (b - a)$ とおき、 $OH \cdot AB = 0$ で $t$ を決める。

まず内積と $b - a^{2}$ を出しておく。

a \cdot b = ∣ a ∣ b cos θ = 2 \cdot 6 \cdot \frac{5}{6} = 10

b - a^{2} = b^{2} - 2 a \cdot b + ∣ a ∣^{2} = 36 - 20 + 4 = 20

$H$ は直線 $AB$ 上にあるので $OH = a + t (b - a)$ とおける。 $OH ⊥ AB$ より

{a + t (b - a)} \cdot (b - a) = 0

である。 $a \cdot (b - a) = 10 - 4 = 6$ なので

6 + 20 t = 0, t = - \frac{3}{10}

である。よって

OH = a - \frac{3}{10} (b - a) = \frac{13}{10} a - \frac{3}{10} b = \frac{13 a - 3 b}{10}

である。

$t = - \frac{3}{10} < 0$ なので、 $H$ は線分 $AB$ の外、 $A$ の側にある。実際 $AO \cdot AB = - 6 < 0$ で、角 $A$ は鈍角である。

$\frac{13 a - 3 b}{10}$ と $b - a$ の内積を分数のまま計算すると、ちょうど $0$ になった。

$H$ が線分 $AB$ の内部にあるとは限らない。ここでは $A$ の外側に出る。

(2)線分 $OB$ の中点を $M$ 、直線 $OH$ と直線 $AM$ の交点を $N$ とするとき、 $ON$ を $a, b$ で表す

答 $ON = \frac{13 a - 3 b}{7}$

$N$ を2通りに表して、 $a, b$ が1次独立であることから係数を比べる。

$N$ は直線 $OH$ 上なので、実数 $u$ を使って

ON = u \cdot \frac{13 a - 3 b}{10} = \frac{13 u}{10} a - \frac{3 u}{10} b

と書ける。また $OM = \frac{1}{2} b$ で、 $N$ は直線 $AM$ 上なので、実数 $s$ を使って

ON = a + s (\frac{1}{2} b - a) = (1 - s) a + \frac{s}{2} b

とも書ける。三角形 $OAB$ ができているので $a, b$ は1次独立であり、係数を比べて

1 - s = \frac{13 u}{10}, \frac{s}{2} = - \frac{3 u}{10}

である。第2式から $s = - \frac{3 u}{5}$ で、これを第1式に入れると

1 + \frac{3 u}{5} = \frac{13 u}{10}, 1 = \frac{13 u - 6 u}{10} = \frac{7 u}{10}, u = \frac{10}{7}

である。よって

ON = \frac{10}{7} \cdot \frac{13 a - 3 b}{10} = \frac{13 a - 3 b}{7} = \frac{13}{7} a - \frac{3}{7} b

である。

三角形 OAB と、O から直線 AB に下ろした垂線の足 H、OB の中点 M、直線 OH と直線 AM の交点 N の位置関係。H と N はどちらも線分 AB の外、A の側にある。

$\frac{13 a - 3 b}{7}$ は $OH$ の $\frac{10}{7}$ 倍で直線 $OH$ 上にあり、 $s = - \frac{6}{7}$ として $(1 - s) a + \frac{s}{2} b$ とも一致した。

$u = \frac{10}{7} > 1$ なので、 $N$ は $H$ よりさらに遠い。線分 $OH$ の内部とは限らない。

第1問だけのページ

第2問　確率

交互に取る試行と部分集合・総和の偶奇・勝ちが確定する条件・場合分けによる数え上げ当サイトの体感難易度：難

(1)箱に $0$ から $2 m - 1$ までの数字が1つずつ書かれた $2 m$ 個の玉が入っている（ $m ≧ 2$ ）。 $A, B$ が $A, B, A, B, \dots$ の順に1個ずつ戻さずに取り、最後に持っている玉の数の総和が大きいほうを勝ち、等しければ引き分けとする。 $m = 2, 3, 4$ のとき引き分けとなる確率を求める

答 $m = 2$ のとき $\frac{1}{3}$ 、 $m = 3$ のとき $0$ 、 $m = 4$ のとき $\frac{4}{35}$

取る順番を $2 m$ 個の並べ方と見ると、 $A$ が持つ $m$ 個の組は、 $m$ 個の部分集合のどれも同様に確からしい。

玉を取る順番は $2 m$ 個の玉の並べ方 $(2 m)!$ 通りが同様に確からしく、 $A$ が持つのは $1, 3, 5, \dots$ 番目の玉である。したがって $A$ の持つ $m$ 個の組は、 ${0, 1, \dots, 2 m - 1}$ の $m$ 個の部分集合のどれも同様に確からしい（全部で $_{2 m} C_{m}$ 通り）。

全部の玉の数の総和は

0 + 1 + \dots + (2 m - 1) = \frac{( 2 m - 1 ) 2 m}{2} = m (2 m - 1)

なので、引き分けは $A$ の持つ玉の和が $\frac{m ( 2 m - 1 )}{2}$ になることである。

$m = 3$ のとき　総和は $3 \cdot 5 = 15$ で奇数だから、2人の和が等しくなることはない。よって確率は $0$ である。

$m = 2$ のとき　玉は $0, 1, 2, 3$ で総和 $6$ 、 $A$ の2個の和が $3$ になればよい。 $_{4} C_{2} = 6$ 通りのうち ${0, 3}, {1, 2}$ の2通りだから

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

である。

$m = 4$ のとき　玉は $0, \dots, 7$ で総和 $28$ 、 $A$ の4個の和が $14$ になればよい。 ${w, x, y, z}$ （ $w < x < y < z$ ）として $w$ で場合分けすると

$w = 0$ … $x + y + z = 14$ で ${0, 1, 6, 7}, {0, 2, 5, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 5, 6}$ の4通り
$w = 1$ … $x + y + z = 13$ で ${1, 2, 4, 7}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 6}$ の3通り
$w = 2$ … $x + y + z = 12$ で ${2, 3, 4, 5}$ の1通り
$w ≧ 3$ … 最小でも $3 + 4 + 5 + 6 = 18 > 14$ なので0通り

で合計8通りである。 $_{8} C_{4} = 70$ だから、求める確率は

\frac{8}{70} = \frac{4}{35}

である。

和が $14$ の4個組は、補集合も和が $14$ になるので4組のペアに分かれる。実際 ${0, 1, 6, 7}$ と ${2, 3, 4, 5}$ 、 ${0, 2, 5, 7}$ と ${1, 3, 4, 6}$ 、 ${0, 3, 4, 7}$ と ${1, 2, 5, 6}$ 、 ${0, 3, 5, 6}$ と ${1, 2, 4, 7}$ である。数え落としの確認に使える。

全探索すると $m = 2, 3, 4$ でそれぞれ $\frac{2}{6}, 0, \frac{8}{70}$ だった。

取る順番は関係なく、 $A$ が最終的に持つ「組」だけで決まる。順列で数えると分母も分子も同じ倍率になるので、組合せで数えてよい。

$m$ が奇数のときは総和 $m (2 m - 1)$ が奇数なので、引き分けは起こらない。

(2) $m = 3, 4$ のとき、 $A$ が2個目の玉を取り終えた時点で $A$ の勝ちがすでに確定している確率を求める

答 $m = 3$ のとき $\frac{11}{60}$ 、 $m = 4$ のとき $\frac{1}{56}$

残りの取り方のうち $A$ にとって最悪の場合（ $A$ が残りの小さいほうを取る場合）でも勝てるか、で判定する。

$A$ が2個目を取り終えた時点で、 $A$ は2個（和を $S$ とする）、 $B$ は1個を持ち、箱には $2 m - 3$ 個が残っている。以後 $B, A, B, \dots$ と続くので、 $A$ はあと $m - 2$ 個、 $B$ はあと $m - 1$ 個を取る。

$A$ の最終的な和が最も小さくなるのは、残りのうち小さいほうから $m - 2$ 個を $A$ が取る場合である。その場合でも $A$ が勝つことが「勝ちが確定している」ことと同じである。

残りのうち小さいほうから並べた玉を $r_{1} < r_{2} < \dots$ とする。 $A$ の最終的な和を $X$ とすると $B$ の和は $m (2 m - 1) - X$ なので、 $A$ が勝つ条件は $2 X > m (2 m - 1)$ である。

また、最初の3回の取り方は「 $A$ の2個の組」と「 $B$ の1個」の組合せ $_{2 m} C_{2} \times (2 m - 2)$ 通りがどれも同様に確からしい。取り除かれた3個の集合を $T$ と書く。

$m = 3$ のとき　玉は $0, \dots, 5$ 、総和 $15$ 、 $A$ はあと1個、 $B$ はあと2個取る。最悪の場合 $X = S + r_{1}$ だから、条件は $2 (S + r_{1}) > 15$ 、整数なので

S + r_{1} ≧ 8

である。 $r_{1}$ は $T$ に入らない最小の数なので、 $0$ と $1$ が $T$ に入るかで分ける。

$0 \in / T$ … $r_{1} = 0$ で $S ≧ 8$ が必要。 $A$ の組は ${3, 5}$ （和 $8$ ）か ${4, 5}$ （和 $9$ ）で、 $B$ の玉は $0$ 以外の残り3通り。計 $3 + 3 = 6$ 通り。
$0 \in T$ かつ $1 \in / T$ … $r_{1} = 1$ で $S ≧ 7$ が必要。 $B$ の玉が $0$ でなければ $A$ の組に $0$ が入って $S ≦ 5$ となり不可なので、 $B$ の玉は $0$ 。 $A$ の組は ${2, 3, 4, 5}$ から和 $7$ 以上の ${2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}$ の4通り。
$0, 1 \in T$ … $T = {0, 1, t}$ で $A$ の組はこの3個のうち2個だから $S ≦ 1 + t ≦ 6$ 。 $t ≧ 3$ なら $r_{1} = 2$ で $S ≧ 6$ 、つまり $S = 1 + t = 6$ 、 $t = 5$ 、 $A$ の組は ${1, 5}$ 、 $B$ の玉は $0$ の1通り。 $t = 2$ なら $S ≦ 3$ 、 $r_{1} = 3$ で合計 $6 < 8$ となり不可。

合計 $6 + 4 + 1 = 11$ 通りで、全体は $_{6} C_{2} \times 4 = 60$ 通りだから

\frac{11}{60}

である。

$m = 4$ のとき　玉は $0, \dots, 7$ 、総和 $28$ 、 $A$ はあと2個、 $B$ はあと3個取る。最悪の場合 $X = S + r_{1} + r_{2}$ だから、条件は $2 (S + r_{1} + r_{2}) > 28$ 、つまり

S + r_{1} + r_{2} ≧ 15

である。 $T = {t_{1}, t_{2}, t_{3}}$ （ $t_{1} < t_{2} < t_{3}$ ）とすると $S ≦ t_{2} + t_{3} ≦ 6 + 7 = 13$ である。 $0, 1$ が $T$ に入るかで分ける。

$0, 1$ とも $T$ にない … $r_{1} + r_{2} = 1$ で $S ≧ 14$ が必要だが $S ≦ 13$ なので不可。
$0 \in / T$ 、 $1 \in T$ … $r_{1} = 0$ 。 $2 \in / T$ なら $r_{2} = 2$ で $S ≧ 13$ 、つまり $A$ の組は ${6, 7}$ 、 $T = {1, 6, 7}$ 、 $B$ の玉は $1$ 。これは条件を満たす。 $2 \in T$ なら $T = {1, 2, t}$ で $S ≦ 2 + t ≦ 9$ 、 $r_{2} ≦ 4$ なので合計 $≦ 13$ で不可。
$0 \in T$ 、 $1 \in / T$ … $r_{1} = 1$ 。 $2 \in / T$ なら $r_{2} = 2$ で $S ≧ 12$ 、つまり $A$ の組は ${5, 7}$ か ${6, 7}$ で、 $B$ の玉は $0$ 。 $T = {0, 5, 7}, {0, 6, 7}$ はどちらも $1, 2 \in / T$ を満たす。2通り。 $2 \in T$ なら $T = {0, 2, t}$ で $S ≦ 2 + t ≦ 9$ 、 $r_{2} ≦ 4$ なので合計 $≦ 14$ で不可。
$0, 1 \in T$ … $T = {0, 1, t}$ で $S ≦ 1 + t ≦ 8$ 。 $t ≧ 4$ なら $r_{1} + r_{2} = 2 + 3 = 5$ で合計 $≦ 13$ 、 $t = 2$ なら $S ≦ 3$ ・ $r_{1} + r_{2} = 3 + 4 = 7$ で合計 $≦ 10$ 、 $t = 3$ なら $S ≦ 4$ ・ $r_{1} + r_{2} = 2 + 4 = 6$ で合計 $≦ 10$ 。いずれも不可。

合計3通りで、全体は $_{8} C_{2} \times 6 = 168$ 通りだから

\frac{3}{168} = \frac{1}{56}

である。

最初の3回の取り方をすべて調べると、 $m = 3$ で $\frac{22}{120} = \frac{11}{60}$ 、 $m = 4$ で $\frac{6}{336} = \frac{1}{56}$ だった。

「勝ちが確定」は、残りの取り方がどうなっても勝つということ。最悪の場合だけ調べればよい。

$A$ が2個目を取り終えた時点では $B$ はまだ1個しか取っていない。以後は $B$ のほうが1個多く取る。

第2問だけのページ

第3問　整数・数列

条件を満たす格子点の数え上げ・偶奇で分けて一般項・和の計算当サイトの体感難易度：標準

(1)自然数 $k$ に対して $x < y < k < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ の個数を $a_{k}$ とするとき、 $a_{7}, a_{8}$ を求める

答 $a_{7} = 6$ 、 $a_{8} = 9$

$y$ を固定すると $x$ の動く範囲が $k - y < x < y$ と決まる。

条件 $x < y < k < x + y$ は、 $y$ を固定すると

1 ≦ y ≦ k - 1, k - y < x < y

と書ける。 $x$ は整数なので $k - y + 1 ≦ x ≦ y - 1$ で、個数は $y - 1 - (k - y + 1) + 1 = 2 y - k - 1$ （これが $0$ 以下なら $0$ 個）である。また $k - y + 1 ≧ 2 > 1$ なので $x ≧ 1$ は自動的に満たされる。

$k = 7$ のとき $2 y - 8 ≧ 1$ より $y ≧ 5$ で、 $y ≦ 6$ だから

$y = 5$ … $2$ 個
$y = 6$ … $4$ 個

で $a_{7} = 6$ である。 $k = 8$ のとき $2 y - 9 ≧ 1$ より $y ≧ 5$ で、 $y ≦ 7$ だから

$y = 5$ … $1$ 個
$y = 6$ … $3$ 個
$y = 7$ … $5$ 個

で $a_{8} = 9$ である。

定義どおり全探索すると $a_{7} = 6$ 、 $a_{8} = 9$ だった。

(2)自然数 $m$ に対して $a_{2 m - 1}, a_{2 m}$ を $m$ の式で表す

答 $a_{2 m - 1} = (m - 1) (m - 2)$ 、 $a_{2 m} = (m - 1)^{2}$

(1) で出した $2 y - k - 1$ を $y$ について足す。 $k$ の偶奇で $y$ の下限が変わる。

(1) より

a_{k} = y \sum (2 y - k - 1) (2 y - k - 1 ≧ 1 となる y ≦ k - 1 について)

である。条件は $y ≧ \frac{k + 2}{2}$ である。

$k = 2 m$ のとき　 $y ≧ m + 1$ で、 $y$ は $m + 1$ から $2 m - 1$ まで動く。 $2 y - k - 1 = 2 y - 2 m - 1$ は $y = m + 1, m + 2, \dots, 2 m - 1$ に対して

1, 3, 5, \dots, 2 m - 3

という $m - 1$ 個の奇数になるので

a_{2 m} = 1 + 3 + \dots + (2 m - 3) = (m - 1)^{2}

である（ $m = 1$ のときは動く $y$ がなく $a_{2} = 0$ で、式とも合う）。

$k = 2 m - 1$ のとき　 $y ≧ \frac{2 m + 1}{2}$ 、つまり $y ≧ m + 1$ で、 $y$ は $m + 1$ から $2 m - 2$ まで動く。 $2 y - k - 1 = 2 y - 2 m$ は

2, 4, 6, \dots, 2 m - 4

という $m - 2$ 個の偶数になるので

a_{2 m - 1} = 2 {1 + 2 + \dots + (m - 2)} = (m - 2) (m - 1)

である（ $m = 1, 2$ のときは $0$ で、式とも合う）。

$m = 1, \dots, 14$ で、全探索した $a_{2 m - 1}, a_{2 m}$ が式と一致した。

$k$ が奇数のときは $\frac{k + 2}{2}$ が整数でないので、 $y$ の下限は切り上げて $m + 1$ になる。

(3)自然数 $n$ に対して $k = 1 \sum 2 n a_{k}$ を $n$ の式で表す

答 $\frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}$

奇数番目と偶数番目をペアにして $m = 1$ から $n$ まで足す。

(2) より、 $m = 1, 2, \dots, n$ についてペアにして足すと

k = 1 \sum 2 n a_{k} = m = 1 \sum n (a_{2 m - 1} + a_{2 m}) = m = 1 \sum n {(m - 1) (m - 2) + (m - 1)^{2}}

である。 $j = m - 1$ とおくと中身は $j (j - 1) + j^{2} = 2 j^{2} - j$ で、 $j$ は $0$ から $n - 1$ まで動くから

j = 0 \sum n - 1 (2 j^{2} - j) = 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - \frac{( n - 1 ) n}{2}

である。 $n (n - 1)$ でくくると

n (n - 1) {\frac{2 n - 1}{3} - \frac{1}{2}} = n (n - 1) \cdot \frac{2 ( 2 n - 1 ) - 3}{6} = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}

である。

$n = 1, 2, 3, 4, 5$ で $0, 1, 7, 22, 50$ となる。

$n = 1, \dots, 11$ で、全探索した和が $\frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}$ と一致した。

第3問だけのページ

第4問　微分法・積分法

接線の傾きと2直線のなす角・正接の加法定理・上に凸な曲線と接線・面積の計算当サイトの体感難易度：やや難

(1)曲線 $C : y = 3 lo g x$ 上の2点 $P, Q$ の $x$ 座標を $a, b$ （ $0 < a < 3$ 、 $a < b$ ）とする。 $P, Q$ における $C$ の接線が交わってできる鋭角が $\frac{π}{6}$ のとき、 $b$ を $a$ で表す

答 $b = \frac{3 ( a + 1 )}{3 - a}$

接線の傾きをそれぞれ $tan α, tan β$ と見て、 $tan (α - β)$ の加法定理を使う。

$y^{'} = \frac{3}{x}$ なので、 $P, Q$ での接線の傾きは

m_{1} = \frac{3}{a}, m_{2} = \frac{3}{b}

である。 $0 < a < b$ より $m_{1} > m_{2} > 0$ である。それぞれの接線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $α, β$ （ $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ）とすると $tan α = m_{1}$ 、 $tan β = m_{2}$ で、2直線のなす鋭角は $α - β$ である。加法定理より

tan (α - β) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{\frac{3}{a} - \frac{3}{b}}{1 + \frac{3}{ab}} = \frac{3 ( b - a )}{ab + 3}

である。これが $tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3}$ に等しいので

\frac{3 ( b - a )}{ab + 3} = \frac{1}{3}, 3 (b - a) = ab + 3

である。 $b$ について整理すると $b (3 - a) = 3 a + 3$ で、 $0 < a < 3$ より $3 - a > 0$ だから

b = \frac{3 ( a + 1 )}{3 - a}

である。

このとき $b - a = \frac{3 ( a + 1 ) - a ( 3 - a )}{3 - a} = \frac{a ^{2} + 3}{3 - a} > 0$ なので、 $a < b$ も自動的に満たされる。

$a = 0.5, 1, 2, 2.9$ でこの $b$ をとると、2接線のなす鋭角はどれも $\frac{π}{6}$ だった。

$1 + m_{1} m_{2} = 1 + \frac{3}{ab} > 0$ 、 $m_{1} - m_{2} > 0$ なので、 $tan$ は正のままで絶対値をつける必要はない。

(2) $a = 1$ のとき、2本の接線と曲線 $C$ とで囲まれる部分の面積を求める

答 $3 - \frac{3 3}{4} (lo g 3)^{2} = \frac{3}{4} {4 - 3 (lo g 3)^{2}}$

$y^{''} < 0$ なので $C$ は上に凸で、接線は接点以外で $C$ の上側にある。接線の交点で分けて積分する。

(1) に $a = 1$ を入れると $b = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ である。 $P (1, 0)$ 、 $Q (3, 3 lo g 3)$ で、接線は

ℓ_{1} : y = 3 (x - 1), ℓ_{2} : y = 3 lo g 3 + \frac{1}{3} (x - 3)

である。 $ℓ_{1}$ と $ℓ_{2}$ の交点の $x$ 座標は、両辺を $3$ 倍して整理すると

3 (x - 1) = 3 lo g 3 + (x - 3), 2 x = 3 lo g 3, x = \frac{3}{2} lo g 3

である。これを $c$ とおく。 $\frac{2}{3} < lo g 3 < 2$ （ $e^{\frac{2}{3}} < 3 < e^{2}$ ）より $1 < c < 3$ である。

$y^{''} = - \frac{3}{x ^{2}} < 0$ なので $C$ は上に凸で、接線は接点以外では $C$ の上側にある。したがって囲まれる部分は、 $1 ≦ x ≦ c$ では $ℓ_{1}$ と $C$ の間、 $c ≦ x ≦ 3$ では $ℓ_{2}$ と $C$ の間である。

曲線 y = √3 log x と、x = 1 と x = 3 での接線。2本の接線と曲線で囲まれた部分を塗ってある。接線の交点の x 座標は 1.5 log 3 で、およそ 1.65。

求める面積を $S$ とすると

S = \int_{1}^{c} 3 (x - 1) d x + \int_{c}^{3} {3 lo g 3 + \frac{x - 3}{3}} d x - \int_{1}^{3} 3 lo g x d x

である（曲線の下側を引く部分は $1$ から $3$ までまとめられる）。3つを順に計算する。

\int_{1}^{c} 3 (x - 1) d x = 3 [\frac{( x - 1 ) ^{2}}{2}]_{1}^{c} = \frac{3}{2} (c - 1)^{2}

\int_{c}^{3} {3 lo g 3 + \frac{x - 3}{3}} d x = 3 (lo g 3) (3 - c) - \frac{( 3 - c ) ^{2}}{2 3}

\int_{1}^{3} 3 lo g x d x = 3 [x lo g x - x]_{1}^{3} = 3 (3 lo g 3 - 2)

である。 $L = lo g 3$ とおくと $c = \frac{3}{2} L$ 、 $c - 1 = \frac{3 L - 2}{2}$ 、 $3 - c = \frac{3 ( 2 - L )}{2}$ なので

\frac{3}{2} (c - 1)^{2} = \frac{3}{8} (3 L - 2)^{2} = 3 (\frac{9}{8} L^{2} - \frac{3}{2} L + \frac{1}{2})

3 L (3 - c) = 3 \cdot \frac{3 L ( 2 - L )}{2} = 3 (3 L - \frac{3}{2} L^{2})

\frac{( 3 - c ) ^{2}}{2 3} = \frac{3}{6} \cdot \frac{9 ( 2 - L ) ^{2}}{4} = 3 (\frac{3}{8} L^{2} - \frac{3}{2} L + \frac{3}{2})

である。これらを足し引きすると、 $L$ の1次の項は

- \frac{3}{2} + 3 + \frac{3}{2} - 3 = 0

で消え、 $L^{2}$ の係数は $\frac{9}{8} - \frac{3}{2} - \frac{3}{8} = - \frac{3}{4}$ 、定数項は $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2 = 1$ となる。よって

S = 3 {1 - \frac{3}{4} (lo g 3)^{2}} = 3 - \frac{3 3}{4} (lo g 3)^{2}

である（ $0.1641 \dots$ ）。

$c lo g c$ の形の項は、 $ℓ_{1}$ 側と $ℓ_{2}$ 側で打ち消し合う。曲線の積分を $1$ から $3$ までまとめてしまえば、 $c$ の対数は最初から現れない。

面積を数値積分すると $0.164178116$ で、 $3 - \frac{3 3}{4} (lo g 3)^{2} = 0.164178116$ と一致した。

接線の交点 $c = \frac{3}{2} lo g 3$ が $1$ と $3$ の間にあることを確かめておく。

$\int lo g x d x = x lo g x - x$ を使う。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名市大医学数学 2027

名市大医学部数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・116ページ・2026年8月23日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)三角形 OAB で、O から直線 AB に下ろした垂線を OH とする。OA=a、OB=b、a と b のなす角 θ について ∣a∣=2、​b​=6、cosθ=65​ のとき、OH を a,b で表す

(2)線分 OB の中点を M、直線 OH と直線 AM の交点を N とするとき、ON を a,b で表す

(2)m=3,4 のとき、A が2個目の玉を取り終えた時点で A の勝ちがすでに確定している確率を求める

(1)自然数 k に対して x<y<k<x+y を満たす自然数の組 (x,y) の個数を ak​ とするとき、a7​,a8​ を求める

(2)自然数 m に対して a2m−1​,a2m​ を m の式で表す

(3)自然数 n に対して k=1∑2n​ak​ を n の式で表す

(1)曲線 C:y=3​logx 上の2点 P,Q の x 座標を a,b（0<a<3、a<b）とする。P,Q における C の接線が交わってできる鋭角が 6π​ のとき、b を a で表す

(2)a=1 のとき、2本の接線と曲線 C とで囲まれる部分の面積を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)三角形 $OAB$ で、 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $OH$ とする。 $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $a$ と $b$ のなす角 $θ$ について $∣ a ∣ = 2$ 、 $b = 6$ 、 $cos θ = \frac{5}{6}$ のとき、 $OH$ を $a, b$ で表す

(2)線分 $OB$ の中点を $M$ 、直線 $OH$ と直線 $AM$ の交点を $N$ とするとき、 $ON$ を $a, b$ で表す

(2) $m = 3, 4$ のとき、 $A$ が2個目の玉を取り終えた時点で $A$ の勝ちがすでに確定している確率を求める

(1)自然数 $k$ に対して $x < y < k < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ の個数を $a_{k}$ とするとき、 $a_{7}, a_{8}$ を求める

(2)自然数 $m$ に対して $a_{2 m - 1}, a_{2 m}$ を $m$ の式で表す

(3)自然数 $n$ に対して $k = 1 \sum 2 n a_{k}$ を $n$ の式で表す

(1)曲線 $C : y = 3 lo g x$ 上の2点 $P, Q$ の $x$ 座標を $a, b$ （ $0 < a < 3$ 、 $a < b$ ）とする。 $P, Q$ における $C$ の接線が交わってできる鋭角が $\frac{π}{6}$ のとき、 $b$ を $a$ で表す

(2) $a = 1$ のとき、2本の接線と曲線 $C$ とで囲まれる部分の面積を求める