第2問確率の解答・解説

交互に取る試行と部分集合・総和の偶奇・勝ちが確定する条件・場合分けによる数え上げ当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)箱に $0$ から $2 m - 1$ までの数字が1つずつ書かれた $2 m$ 個の玉が入っている（ $m ≧ 2$ ）。 $A, B$ が $A, B, A, B, \dots$ の順に1個ずつ戻さずに取り、最後に持っている玉の数の総和が大きいほうを勝ち、等しければ引き分けとする。 $m = 2, 3, 4$ のとき引き分けとなる確率を求める

答 $m = 2$ のとき $\frac{1}{3}$ 、 $m = 3$ のとき $0$ 、 $m = 4$ のとき $\frac{4}{35}$

取る順番を $2 m$ 個の並べ方と見ると、 $A$ が持つ $m$ 個の組は、 $m$ 個の部分集合のどれも同様に確からしい。

玉を取る順番は $2 m$ 個の玉の並べ方 $(2 m)!$ 通りが同様に確からしく、 $A$ が持つのは $1, 3, 5, \dots$ 番目の玉である。したがって $A$ の持つ $m$ 個の組は、 ${0, 1, \dots, 2 m - 1}$ の $m$ 個の部分集合のどれも同様に確からしい（全部で $_{2 m} C_{m}$ 通り）。

全部の玉の数の総和は

0 + 1 + \dots + (2 m - 1) = \frac{( 2 m - 1 ) 2 m}{2} = m (2 m - 1)

なので、引き分けは $A$ の持つ玉の和が $\frac{m ( 2 m - 1 )}{2}$ になることである。

$m = 3$ のとき　総和は $3 \cdot 5 = 15$ で奇数だから、2人の和が等しくなることはない。よって確率は $0$ である。

$m = 2$ のとき　玉は $0, 1, 2, 3$ で総和 $6$ 、 $A$ の2個の和が $3$ になればよい。 $_{4} C_{2} = 6$ 通りのうち ${0, 3}, {1, 2}$ の2通りだから

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

である。

$m = 4$ のとき　玉は $0, \dots, 7$ で総和 $28$ 、 $A$ の4個の和が $14$ になればよい。 ${w, x, y, z}$ （ $w < x < y < z$ ）として $w$ で場合分けすると

$w = 0$ … $x + y + z = 14$ で ${0, 1, 6, 7}, {0, 2, 5, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 5, 6}$ の4通り
$w = 1$ … $x + y + z = 13$ で ${1, 2, 4, 7}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 6}$ の3通り
$w = 2$ … $x + y + z = 12$ で ${2, 3, 4, 5}$ の1通り
$w ≧ 3$ … 最小でも $3 + 4 + 5 + 6 = 18 > 14$ なので0通り

で合計8通りである。 $_{8} C_{4} = 70$ だから、求める確率は

\frac{8}{70} = \frac{4}{35}

である。

和が $14$ の4個組は、補集合も和が $14$ になるので4組のペアに分かれる。実際 ${0, 1, 6, 7}$ と ${2, 3, 4, 5}$ 、 ${0, 2, 5, 7}$ と ${1, 3, 4, 6}$ 、 ${0, 3, 4, 7}$ と ${1, 2, 5, 6}$ 、 ${0, 3, 5, 6}$ と ${1, 2, 4, 7}$ である。数え落としの確認に使える。

全探索すると $m = 2, 3, 4$ でそれぞれ $\frac{2}{6}, 0, \frac{8}{70}$ だった。

取る順番は関係なく、 $A$ が最終的に持つ「組」だけで決まる。順列で数えると分母も分子も同じ倍率になるので、組合せで数えてよい。

$m$ が奇数のときは総和 $m (2 m - 1)$ が奇数なので、引き分けは起こらない。

(2) $m = 3, 4$ のとき、 $A$ が2個目の玉を取り終えた時点で $A$ の勝ちがすでに確定している確率を求める

答 $m = 3$ のとき $\frac{11}{60}$ 、 $m = 4$ のとき $\frac{1}{56}$

残りの取り方のうち $A$ にとって最悪の場合（ $A$ が残りの小さいほうを取る場合）でも勝てるか、で判定する。

$A$ が2個目を取り終えた時点で、 $A$ は2個（和を $S$ とする）、 $B$ は1個を持ち、箱には $2 m - 3$ 個が残っている。以後 $B, A, B, \dots$ と続くので、 $A$ はあと $m - 2$ 個、 $B$ はあと $m - 1$ 個を取る。

$A$ の最終的な和が最も小さくなるのは、残りのうち小さいほうから $m - 2$ 個を $A$ が取る場合である。その場合でも $A$ が勝つことが「勝ちが確定している」ことと同じである。

残りのうち小さいほうから並べた玉を $r_{1} < r_{2} < \dots$ とする。 $A$ の最終的な和を $X$ とすると $B$ の和は $m (2 m - 1) - X$ なので、 $A$ が勝つ条件は $2 X > m (2 m - 1)$ である。

また、最初の3回の取り方は「 $A$ の2個の組」と「 $B$ の1個」の組合せ $_{2 m} C_{2} \times (2 m - 2)$ 通りがどれも同様に確からしい。取り除かれた3個の集合を $T$ と書く。

$m = 3$ のとき　玉は $0, \dots, 5$ 、総和 $15$ 、 $A$ はあと1個、 $B$ はあと2個取る。最悪の場合 $X = S + r_{1}$ だから、条件は $2 (S + r_{1}) > 15$ 、整数なので

S + r_{1} ≧ 8

である。 $r_{1}$ は $T$ に入らない最小の数なので、 $0$ と $1$ が $T$ に入るかで分ける。

$0 \in / T$ … $r_{1} = 0$ で $S ≧ 8$ が必要。 $A$ の組は ${3, 5}$ （和 $8$ ）か ${4, 5}$ （和 $9$ ）で、 $B$ の玉は $0$ 以外の残り3通り。計 $3 + 3 = 6$ 通り。
$0 \in T$ かつ $1 \in / T$ … $r_{1} = 1$ で $S ≧ 7$ が必要。 $B$ の玉が $0$ でなければ $A$ の組に $0$ が入って $S ≦ 5$ となり不可なので、 $B$ の玉は $0$ 。 $A$ の組は ${2, 3, 4, 5}$ から和 $7$ 以上の ${2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}$ の4通り。
$0, 1 \in T$ … $T = {0, 1, t}$ で $A$ の組はこの3個のうち2個だから $S ≦ 1 + t ≦ 6$ 。 $t ≧ 3$ なら $r_{1} = 2$ で $S ≧ 6$ 、つまり $S = 1 + t = 6$ 、 $t = 5$ 、 $A$ の組は ${1, 5}$ 、 $B$ の玉は $0$ の1通り。 $t = 2$ なら $S ≦ 3$ 、 $r_{1} = 3$ で合計 $6 < 8$ となり不可。

合計 $6 + 4 + 1 = 11$ 通りで、全体は $_{6} C_{2} \times 4 = 60$ 通りだから

\frac{11}{60}

である。

$m = 4$ のとき　玉は $0, \dots, 7$ 、総和 $28$ 、 $A$ はあと2個、 $B$ はあと3個取る。最悪の場合 $X = S + r_{1} + r_{2}$ だから、条件は $2 (S + r_{1} + r_{2}) > 28$ 、つまり

S + r_{1} + r_{2} ≧ 15

である。 $T = {t_{1}, t_{2}, t_{3}}$ （ $t_{1} < t_{2} < t_{3}$ ）とすると $S ≦ t_{2} + t_{3} ≦ 6 + 7 = 13$ である。 $0, 1$ が $T$ に入るかで分ける。

$0, 1$ とも $T$ にない … $r_{1} + r_{2} = 1$ で $S ≧ 14$ が必要だが $S ≦ 13$ なので不可。
$0 \in / T$ 、 $1 \in T$ … $r_{1} = 0$ 。 $2 \in / T$ なら $r_{2} = 2$ で $S ≧ 13$ 、つまり $A$ の組は ${6, 7}$ 、 $T = {1, 6, 7}$ 、 $B$ の玉は $1$ 。これは条件を満たす。 $2 \in T$ なら $T = {1, 2, t}$ で $S ≦ 2 + t ≦ 9$ 、 $r_{2} ≦ 4$ なので合計 $≦ 13$ で不可。
$0 \in T$ 、 $1 \in / T$ … $r_{1} = 1$ 。 $2 \in / T$ なら $r_{2} = 2$ で $S ≧ 12$ 、つまり $A$ の組は ${5, 7}$ か ${6, 7}$ で、 $B$ の玉は $0$ 。 $T = {0, 5, 7}, {0, 6, 7}$ はどちらも $1, 2 \in / T$ を満たす。2通り。 $2 \in T$ なら $T = {0, 2, t}$ で $S ≦ 2 + t ≦ 9$ 、 $r_{2} ≦ 4$ なので合計 $≦ 14$ で不可。
$0, 1 \in T$ … $T = {0, 1, t}$ で $S ≦ 1 + t ≦ 8$ 。 $t ≧ 4$ なら $r_{1} + r_{2} = 2 + 3 = 5$ で合計 $≦ 13$ 、 $t = 2$ なら $S ≦ 3$ ・ $r_{1} + r_{2} = 3 + 4 = 7$ で合計 $≦ 10$ 、 $t = 3$ なら $S ≦ 4$ ・ $r_{1} + r_{2} = 2 + 4 = 6$ で合計 $≦ 10$ 。いずれも不可。