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名古屋市立大学　2025年度　前期日程　医学部医学科

第4問微分法・積分法の解答・解説

接線の傾きと2直線のなす角・正接の加法定理・上に凸な曲線と接線・面積の計算当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)曲線 $C : y = 3 lo g x$ 上の2点 $P, Q$ の $x$ 座標を $a, b$ （ $0 < a < 3$ 、 $a < b$ ）とする。 $P, Q$ における $C$ の接線が交わってできる鋭角が $\frac{π}{6}$ のとき、 $b$ を $a$ で表す

答 $b = \frac{3 ( a + 1 )}{3 - a}$

接線の傾きをそれぞれ $tan α, tan β$ と見て、 $tan (α - β)$ の加法定理を使う。

$y^{'} = \frac{3}{x}$ なので、 $P, Q$ での接線の傾きは

m_{1} = \frac{3}{a}, m_{2} = \frac{3}{b}

である。 $0 < a < b$ より $m_{1} > m_{2} > 0$ である。それぞれの接線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $α, β$ （ $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ）とすると $tan α = m_{1}$ 、 $tan β = m_{2}$ で、2直線のなす鋭角は $α - β$ である。加法定理より

tan (α - β) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{\frac{3}{a} - \frac{3}{b}}{1 + \frac{3}{ab}} = \frac{3 ( b - a )}{ab + 3}

である。これが $tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3}$ に等しいので

\frac{3 ( b - a )}{ab + 3} = \frac{1}{3}, 3 (b - a) = ab + 3

である。 $b$ について整理すると $b (3 - a) = 3 a + 3$ で、 $0 < a < 3$ より $3 - a > 0$ だから

b = \frac{3 ( a + 1 )}{3 - a}

である。

このとき $b - a = \frac{3 ( a + 1 ) - a ( 3 - a )}{3 - a} = \frac{a ^{2} + 3}{3 - a} > 0$ なので、 $a < b$ も自動的に満たされる。

$a = 0.5, 1, 2, 2.9$ でこの $b$ をとると、2接線のなす鋭角はどれも $\frac{π}{6}$ だった。

$1 + m_{1} m_{2} = 1 + \frac{3}{ab} > 0$ 、 $m_{1} - m_{2} > 0$ なので、 $tan$ は正のままで絶対値をつける必要はない。

(2) $a = 1$ のとき、2本の接線と曲線 $C$ とで囲まれる部分の面積を求める

答 $3 - \frac{3 3}{4} (lo g 3)^{2} = \frac{3}{4} {4 - 3 (lo g 3)^{2}}$

$y^{''} < 0$ なので $C$ は上に凸で、接線は接点以外で $C$ の上側にある。接線の交点で分けて積分する。

(1) に $a = 1$ を入れると $b = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ である。 $P (1, 0)$ 、 $Q (3, 3 lo g 3)$ で、接線は

ℓ_{1} : y = 3 (x - 1), ℓ_{2} : y = 3 lo g 3 + \frac{1}{3} (x - 3)

である。 $ℓ_{1}$ と $ℓ_{2}$ の交点の $x$ 座標は、両辺を $3$ 倍して整理すると

3 (x - 1) = 3 lo g 3 + (x - 3), 2 x = 3 lo g 3, x = \frac{3}{2} lo g 3

である。これを $c$ とおく。 $\frac{2}{3} < lo g 3 < 2$ （ $e^{\frac{2}{3}} < 3 < e^{2}$ ）より $1 < c < 3$ である。

$y^{''} = - \frac{3}{x ^{2}} < 0$ なので $C$ は上に凸で、接線は接点以外では $C$ の上側にある。したがって囲まれる部分は、 $1 ≦ x ≦ c$ では $ℓ_{1}$ と $C$ の間、 $c ≦ x ≦ 3$ では $ℓ_{2}$ と $C$ の間である。

曲線 y = √3 log x と、x = 1 と x = 3 での接線。2本の接線と曲線で囲まれた部分を塗ってある。接線の交点の x 座標は 1.5 log 3 で、およそ 1.65。

求める面積を $S$ とすると

S = \int_{1}^{c} 3 (x - 1) d x + \int_{c}^{3} {3 lo g 3 + \frac{x - 3}{3}} d x - \int_{1}^{3} 3 lo g x d x

である（曲線の下側を引く部分は $1$ から $3$ までまとめられる）。3つを順に計算する。

\int_{1}^{c} 3 (x - 1) d x = 3 [\frac{( x - 1 ) ^{2}}{2}]_{1}^{c} = \frac{3}{2} (c - 1)^{2}

\int_{c}^{3} {3 lo g 3 + \frac{x - 3}{3}} d x = 3 (lo g 3) (3 - c) - \frac{( 3 - c ) ^{2}}{2 3}

\int_{1}^{3} 3 lo g x d x = 3 [x lo g x - x]_{1}^{3} = 3 (3 lo g 3 - 2)

である。 $L = lo g 3$ とおくと $c = \frac{3}{2} L$ 、 $c - 1 = \frac{3 L - 2}{2}$ 、 $3 - c = \frac{3 ( 2 - L )}{2}$ なので

\frac{3}{2} (c - 1)^{2} = \frac{3}{8} (3 L - 2)^{2} = 3 (\frac{9}{8} L^{2} - \frac{3}{2} L + \frac{1}{2})

3 L (3 - c) = 3 \cdot \frac{3 L ( 2 - L )}{2} = 3 (3 L - \frac{3}{2} L^{2})

\frac{( 3 - c ) ^{2}}{2 3} = \frac{3}{6} \cdot \frac{9 ( 2 - L ) ^{2}}{4} = 3 (\frac{3}{8} L^{2} - \frac{3}{2} L + \frac{3}{2})

である。これらを足し引きすると、 $L$ の1次の項は

- \frac{3}{2} + 3 + \frac{3}{2} - 3 = 0

で消え、 $L^{2}$ の係数は $\frac{9}{8} - \frac{3}{2} - \frac{3}{8} = - \frac{3}{4}$ 、定数項は $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2 = 1$ となる。よって

S = 3 {1 - \frac{3}{4} (lo g 3)^{2}} = 3 - \frac{3 3}{4} (lo g 3)^{2}

である（ $0.1641 \dots$ ）。

$c lo g c$ の形の項は、 $ℓ_{1}$ 側と $ℓ_{2}$ 側で打ち消し合う。曲線の積分を $1$ から $3$ までまとめてしまえば、 $c$ の対数は最初から現れない。

面積を数値積分すると $0.164178116$ で、 $3 - \frac{3 3}{4} (lo g 3)^{2} = 0.164178116$ と一致した。

接線の交点 $c = \frac{3}{2} lo g 3$ が $1$ と $3$ の間にあることを確かめておく。

$\int lo g x d x = x lo g x - x$ を使う。

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(1)曲線 C:y=3​logx 上の2点 P,Q の x 座標を a,b（0<a<3、a<b）とする。P,Q における C の接線が交わってできる鋭角が 6π​ のとき、b を a で表す

(2)a=1 のとき、2本の接線と曲線 C とで囲まれる部分の面積を求める

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(2) $a = 1$ のとき、2本の接線と曲線 $C$ とで囲まれる部分の面積を求める