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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理科系

神戸大理系 2025年度数学第2問（数と式・整数）の解答・解説

神戸大学（神戸大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理科系入試の数学第2問（分野：数と式・整数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「無理数の整数部分と小数部分・分母の有理化・数列の単調性・背理法・単射性」を扱います。

出題テーマ：無理数の整数部分と小数部分・分母の有理化・数列の単調性・背理法・単射性当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)自然数 $n$ に対し $a_{n} = n^{2} + 1 - n$ とおくとき、 $0 < a_{n} < 1$ を示す

答 $n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ より $n < n^{2} + 1 < n + 1$ 、各辺から $n$ を引いて $0 < a_{n} < 1$

$n$ は自然数なので $n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ が成り立つ。

$n$ は自然数だから $2 n > 0$ であり

n^{2} < n^{2} + 1 < n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}

が成り立つ。各辺は正なので正の平方根をとると

n < n^{2} + 1 < n + 1

となり、各辺から $n$ を引いて $0 < a_{n} < 1$ が成り立つ。 $■$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 2 - 1 \approx 0.414 \in (0, 1)$ 。

(2) $b_{n}$ を $(3 n - \frac{1}{a _{n}})$ の小数部分とするとき、 $b_{n}$ を $n$ を用いて表す

答 $b_{n} = n + 1 - n^{2} + 1$

$\frac{1}{a _{n}}$ の分母を有理化して $n^{2} + 1 + n$ に直し、整数部分を決定する。

$\frac{1}{a _{n}}$ の分母を有理化すると

\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{n ^{2} + 1 - n} = \frac{n ^{2} + 1 + n}{( n ^{2} + 1 ) - n ^{2}} = n^{2} + 1 + n

であるから

3 n - \frac{1}{a _{n}} = 3 n - (n^{2} + 1 + n) = 2 n - n^{2} + 1 = (n - 1) + (n + 1 - n^{2} + 1)

となる。ここで (1) の $0 < a_{n} < 1$ より $0 < 1 - a_{n} < 1$ すなわち

0 < n + 1 - n^{2} + 1 < 1

であり、 $n - 1$ は整数だから、 $3 n - \frac{1}{a _{n}}$ を超えない最大の整数（整数部分）は $n - 1$ である。したがって小数部分 $b_{n}$ は

b_{n} = (2 n - n^{2} + 1) - (n - 1) = n + 1 - n^{2} + 1 (= 1 - a_{n})

である。

$n = 1$ のとき $3 - \frac{1}{2 - 1} = 2 - 2 \approx 0.586$ で整数部分は $0$ 、小数部分は $2 - 2$ 。式に $n = 1$ を入れても $2 - 2$ で一致する。

$2 n - n^{2} + 1$ の整数部分をうっかり $2 n - n = n$ としてはいけない。 $- n^{2} + 1$ は $- n$ よりわずかに小さいため、整数部分は1つ小さい $n - 1$ になる。

(3)異なる2つの自然数 $m, n$ に対して $a_{m} + b_{n} \neq = 1$ を示す

答 $b_{n} = 1 - a_{n}$ より $a_{m} + b_{n} = 1 + a_{m} - a_{n}$ であり、 $a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ は狭義単調減少だから $m \neq = n$ なら $a_{m} \neq = a_{n}$

(2) の関係式 $b_{n} = 1 - a_{n}$ を使うと、 $a_{m} + b_{n} = 1 ⟺ a_{m} = a_{n}$ に帰着する。

(2) より $b_{n} = n + 1 - n^{2} + 1 = 1 - a_{n}$ であるから

a_{m} + b_{n} = 1 ⟺ a_{m} + (1 - a_{n}) = 1 ⟺ a_{m} = a_{n}

である。ところが (2) の有理化より

a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}

であり、分母 $n^{2} + 1 + n$ は正で $n$ に関して狭義単調増加だから、数列 ${a_{n}}$ は狭義単調減少である（ $1 ≦ m < n$ ならば $a_{m} > a_{n}$ ）。

したがって、異なる2つの自然数 $m, n$ に対してはつねに $a_{m} \neq = a_{n}$ であり、 $a_{m} + b_{n} \neq = 1$ が成り立つ。 $■$

$a_{1} \approx 0.414, a_{2} \approx 0.236, a_{3} \approx 0.162$ と単調減少しており、同じ値をとることはない。

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問題文について

(1)自然数 n に対し an​=n2+1​−n とおくとき、0<an​<1 を示す

(2)bn​ を (3n−an​1​) の小数部分とするとき、bn​ を n を用いて表す

(3)異なる2つの自然数 m,n に対して am​+bn​=1 を示す