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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理科系

神戸大理系 2025年度数学第3問（微分積分（数III））の解答・解説

神戸大学（神戸大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理科系入試の数学第3問（分野：微分積分（数III））について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「媒介変数表示の曲線・対称性と絶対値の解消・円で挟まれた図形の面積」を扱います。

出題テーマ：媒介変数表示の曲線・対称性と絶対値の解消・円で挟まれた図形の面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x = sin θ, y = cos θ + ∣ sin θ ∣ (0 ≦ θ ≦ 2 π)$ で表される曲線 $C$ の概形をかく

答 $y$ 軸対称な閉曲線で、 $- 1 ≦ x ≦ 1$ において上側 $y = ∣ x ∣ + 1 - x^{2}$ 、下側 $y = ∣ x ∣ - 1 - x^{2}$ からなる

$θ \mapsto 2 π - θ$ で $x \mapsto - x, y \mapsto y$ となることから $y$ 軸対称性を確認し、 $0 ≦ θ ≦ π$ （ $x ≧ 0$ ）での増減を調べる。

$θ$ を $2 π - θ$ に置き換えると、 $sin (2 π - θ) = - sin θ = - x$ 、 $cos (2 π - θ) + ∣ sin (2 π - θ) ∣ = cos θ + ∣ sin θ ∣ = y$ となるから、曲線 $C$ は $y$ 軸に関して対称である。

$0 ≦ θ ≦ π$ のとき $sin θ ≧ 0$ だから

x = sin θ, y = cos θ + sin θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

であり、 $θ$ で微分すると

\frac{d x}{d θ} = cos θ, \frac{d y}{d θ} = - sin θ + cos θ = 2 cos (θ + \frac{π}{4})

となる。 $0 ≦ θ ≦ π$ において：

$θ = 0$ ：点 $(0, 1)$
$θ = \frac{π}{4}$ ： $y$ が最大となり、点 $(\frac{1}{2}, 2)$
$θ = \frac{π}{2}$ ： $x$ が最大となり、点 $(1, 1)$
$θ = π$ ：点 $(0, - 1)$

を通る。これを $y$ 軸に関して折り返すと $π ≦ θ ≦ 2 π$ （ $x ≦ 0$ ）の部分が得られ、全体として閉曲線 $C$ となる（これは単位円 $X^{2} + Y^{2} = 1$ の各点 $(X, Y)$ を $y$ 軸方向に $∣ X ∣$ だけずらした $x = X, y = Y + ∣ X ∣$ でもある）。

曲線

C : x = sin θ, y = cos θ + ∣ sin θ ∣

。各

x \in [- 1, 1]

での縦方向の幅は

(∣ x ∣ + 1 - x^{2}) - (∣ x ∣ - 1 - x^{2}) = 2 1 - x^{2}

で単位円と同じになるため、囲まれる面積は単位円の面積

π

に等しい。

$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ = \pm 1 - x^{2}$ より、 $y = ∣ x ∣ \pm 1 - x^{2}$ と書ける。

$x = 0$ （ $θ = 0, π$ ）で左微分と右微分の符号が変わるため、点 $(0, 1)$ と $(0, - 1)$ は尖点（とがった点）になる。

(2)曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $π$

$cos θ = \pm 1 - x^{2}$ から上下の曲線を $x$ の関数 $y = ∣ x ∣ \pm 1 - x^{2}$ で表すと、差から $∣ x ∣$ が消えて円の面積に帰着する。

$x = sin θ (- 1 ≦ x ≦ 1)$ のとき、 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - x^{2}$ より $cos θ = \pm 1 - x^{2}$ である。したがって、各 $x \in [- 1, 1]$ に対して曲線 $C$ の上側の境界 $y_{1}$ と下側の境界 $y_{2}$ は

y_{1} = ∣ x ∣ + 1 - x^{2}, y_{2} = ∣ x ∣ - 1 - x^{2}

で与えられる（ $x ≧ 0$ では $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ が $y_{1}$ 、 $\frac{π}{2} ≦ θ ≦ π$ が $y_{2}$ に対応する）。よって求める面積 $S$ は

S = \int_{- 1}^{1} (y_{1} - y_{2}) d x = \int_{- 1}^{1} 2 1 - x^{2} d x

である。 $\int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$ は半径 $1$ の半円の面積 $\frac{π}{2}$ に等しいから

S = 2 \cdot \frac{π}{2} = π

である。

単位円の面積 $π \cdot 1^{2} = π$ と一致する。

曲線 $C$ は単位円の各縦断面をそのまま上に $∣ x ∣$ だけスライドさせた図形（カヴァリエリの原理）なので、計算する前から面積が単位円と同じ $π$ になることが見抜ける。

▸ 別解：

0 ≦ θ ≦ π

の媒介変数積分で直接計算する別解

$y$ 軸対称性より $x ≧ 0$ の部分の面積を2倍すればよい。 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ を $y_{1}$ 、 $\frac{π}{2} ≦ θ ≦ π$ を $y_{2}$ として $d x = cos θ d θ$ で置換すると

S = 2 {\int_{0}^{\frac{π}{2}} (cos θ + sin θ) cos θ d θ - \int_{π}^{\frac{π}{2}} (cos θ + sin θ) cos θ d θ} = 2 \int_{0}^{π} cos^{2} θ d θ + 2 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin θ cos θ d θ + \int_{\frac{π}{2}}^{π} sin θ cos θ d θ) = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = π

となって同じ結果を得る。

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