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九州大学　2022年度　前期日程　理科系

第5問積分法の解答・解説

媒介変数表示・和積の公式・面積・対称性と回転当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $0 < t < \frac{π}{6}$ で $\frac{d x}{d t} < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} < 0$ であることを示す

答 $\frac{d x}{d t} = - 10 sin 3 t cos 2 t < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} = - tan 2 t < 0$

微分したあと和積の公式でまとめると、因数の符号が一目で分かる形になる。

微分して和積の公式を使う。

\frac{d x}{d t} = - 5 sin t - 5 sin 5 t = - 5 (sin 5 t + sin t) = - 10 sin 3 t cos 2 t

\frac{d y}{d t} = 5 cos t - 5 cos 5 t = - 5 (cos 5 t - cos t) = 10 sin 3 t sin 2 t

である（ $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ 、 $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ ）。

符号。 $0 < t < \frac{π}{6}$ のとき $0 < 3 t < \frac{π}{2}$ なので $sin 3 t > 0$ 、 $0 < 2 t < \frac{π}{3}$ なので $cos 2 t > 0$ 、 $sin 2 t > 0$ である。よって

\frac{d x}{d t} = - 10 sin 3 t cos 2 t < 0

である。また $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ なので

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{10 sin 3 t sin 2 t}{- 10 sin 3 t cos 2 t} = - tan 2 t

となり、 $0 < 2 t < \frac{π}{3}$ では $tan 2 t > 0$ だから $\frac{d y}{d x} < 0$ である。

$t = 0.01, 0.2, 0.4, 0.52$ で数値微分と式が一致し、どれも $\frac{d x}{d t} < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} = - tan 2 t < 0$ だった。

和積でまとめると $sin 3 t$ が共通因数として出て、 $\frac{d y}{d x}$ で約分される。これをしないと符号が読みにくい。

$\frac{d y}{d x}$ を出すには $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ が要る。先に $\frac{d x}{d t} < 0$ を示しておく順番がよい。

(2) $C$ の $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の部分、 $x$ 軸、直線 $y = \frac{1}{3} x$ で囲まれた図形の面積を求める

答 $\frac{5 π}{3}$

両端が $x$ 軸上と直線上にあるので、閉じた曲線になる。面積は $\frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ で求まり、 $x$ 軸と原点を通る直線の上ではこの被積分式が $0$ になるので、曲線の部分だけ積分すればよい。

両端。 $t = 0$ では

x = 5 + 1 = 6, y = 0 - 0 = 0

で $x$ 軸上の点 $(6, 0)$ 。 $t = \frac{π}{6}$ では

x = 5 \cdot \frac{3}{2} + (- \frac{3}{2}) = 23, y = 5 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2

で、 $\frac{2 3}{3} = 2$ だから直線 $y = \frac{1}{3} x$ の上にある。よって「原点 $\to (6, 0)$ （ $x$ 軸） $\to$ 曲線 $\to (23, 2) \to$ 原点（直線）」が閉じた道になる。

面積の公式。 閉曲線で囲まれた面積は $\frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ である。原点を通る直線 $y = k x$ 上では $x d y - y d x = x \cdot k d x - k x d x = 0$ 、 $x$ 軸（ $y = 0$ 、 $d y = 0$ ）でも $0$ なので、この2つの辺は寄与しない。したがって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) d t

である。

被積分関数。 (1) の式を使って計算すると

x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t} = 5 (5 cos t + cos 5 t) (cos t - cos 5 t) + 5 (5 sin t - sin 5 t) (sin t + sin 5 t) = 5 [5 (cos^{2} t + sin^{2} t) - (cos^{2} 5 t + sin^{2} 5 t) - 4 (cos t cos 5 t - sin t sin 5 t)] = 5 (5 - 1 - 4 cos 6 t) = 20 (1 - cos 6 t)

である（ $cos t cos 5 t - sin t sin 5 t = cos 6 t$ ）。よって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 20 (1 - cos 6 t) d t = 10 [t - \frac{sin 6 t}{6}]_{0}^{\frac{π}{6}} = 10 \cdot \frac{π}{6} = \frac{5 π}{3}

である（ $sin π = 0$ ）。 $5.236$ ほどである。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π /6} (x y^{'} - y x^{'}) d t$ を $40$ 万点で数値積分すると $5.2359878$ となり、 $\frac{5 π}{3} = 5.2359878$ と一致した。

$x d y - y d x$ は「原点を通る直線」の上では $0$ になる。この問題では境界の2辺がどちらもそうなので、曲線だけ積分すればよい。

$cos t cos 5 t - sin t sin 5 t$ は $cos (t + 5 t) = cos 6 t$ である。符号と和を間違えない。

$(23, 2)$ が直線 $y = \frac{1}{3} x$ 上にあることを確かめておく。ここがずれていると図形が閉じない。

(3) $C$ が $x$ 軸に関して対称であること、および $C$ 上の点を原点中心に反時計回りに $\frac{π}{3}$ 回転させた点が $C$ 上にあることを示す

答 $t \mapsto - t$ で $(x, - y)$ になり、複素数で書くと $z (t) = 5 e^{i t} + e^{- 5 i t}$ 、 $e^{i \frac{π}{3}} z (t) = z (t + \frac{π}{3})$

対称性は $t \to - t$ の代入でただちに出る。回転のほうは、 $x + i y$ を複素数でまとめると見通しがよい。

$x$ 軸対称。 $t$ を $- t$ に置き換えると

x (- t) y (- t) = 5 cos (- t) + cos (- 5 t) = 5 cos t + cos 5 t = x (t) = 5 sin (- t) - sin (- 5 t) = - 5 sin t + sin 5 t = - y (t)

である。 $t$ が範囲を動けば $- t$ も（周期 $2 π$ で読み替えて）範囲を動くので、 $C$ 上の点 $(x, y)$ に対して $(x, - y)$ も $C$ 上にある。すなわち $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

回転。 $C$ 上の点を複素数 $z (t) = x + i y$ で表すと

z (t) = (5 cos t + cos 5 t) + i (5 sin t - sin 5 t) = 5 (cos t + i sin t) + (cos 5 t - i sin 5 t) = 5 e^{i t} + e^{- 5 i t}

である（ここで $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ と略記した）。原点中心に $\frac{π}{3}$ 回転させるのは $e^{i \frac{π}{3}}$ を掛けることだから

e^{i \frac{π}{3}} z (t) = 5 e^{i (t + \frac{π}{3})} + e^{i \frac{π}{3}} e^{- 5 i t}

である。一方

z (t + \frac{π}{3}) = 5 e^{i (t + \frac{π}{3})} + e^{- 5 i (t + \frac{π}{3})} = 5 e^{i (t + \frac{π}{3})} + e^{- 5 i t} e^{- i \frac{5 π}{3}}

で、 $e^{- i \frac{5 π}{3}} = e^{- i \frac{5 π}{3} + 2 π i} = e^{i \frac{π}{3}}$ だから、2つは一致する。すなわち

e^{i \frac{π}{3}} z (t) = z (t + \frac{π}{3})

である。右辺は $C$ 上の点（ $t + \frac{π}{3}$ を周期 $2 π$ で範囲に入れ直す）なので、回転させた点は $C$ 上にある。

複素数を使わなくても、加法定理で $x cos \frac{π}{3} - y sin \frac{π}{3}$ と $x sin \frac{π}{3} + y cos \frac{π}{3}$ を計算して $x (t + \frac{π}{3})$ 、 $y (t + \frac{π}{3})$ に一致することを示せばよい。式は長くなる。

$t = 0.3, 1.1, - 2.5$ で $x (- t) = x (t)$ 、 $y (- t) = - y (t)$ 、 $e^{iπ /3} z (t) = z (t + \frac{π}{3})$ がすべて $1 0^{- 12}$ 以内で成り立った。

$e^{- 5 i (t + \frac{π}{3})}$ の指数は $- 5 t - \frac{5 π}{3}$ である。 $- \frac{5 π}{3}$ と $+ \frac{π}{3}$ が $2 π$ 違いで同じ、というのが鍵。

$t + \frac{π}{3}$ が与えられた範囲 $- π \leq t < π$ をはみ出すことがある。周期 $2 π$ なので読み替えてよいと断っておく。

(4)曲線 $C$ の概形を図示する

答原点から見て $6$ の距離に6個の尖点をもち、その間で $4$ まで内側にへこむ、6回対称の閉曲線（外サイクロイド）

(3) の2つの対称性で、 $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の一部分だけ描けば全体が復元できる。 $∣ z (t) ∣$ の最大・最小と、 $\frac{d z}{d t} = 0$ になる点（尖点）を押さえる。

大きさ。 $z (t) = 5 e^{i t} + e^{- 5 i t}$ の2項の偏角は $t$ と $- 5 t$ で、差は $6 t$ である。よって

∣ z (t) ∣^{2} = 25 + 1 + 2 \cdot 5 cos 6 t = 26 + 10 cos 6 t

である。 $cos 6 t = 1$ （ $t = \frac{k π}{3}$ ）で最大 $36 = 6$ 、 $cos 6 t = - 1$ （ $t = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ ）で最小 $16 = 4$ になる。

尖点。 (1) の式より $\frac{d x}{d t} = \frac{d y}{d t} = 0$ となるのは $sin 3 t = 0$ 、すなわち $t = \frac{k π}{3}$ のときである。このとき $∣ z ∣ = 6$ で、曲線は向きを変える。 $k = 0, \pm 1, \pm 2, 3$ の6個の尖点が、偏角 $0^{\circ}, \pm 6 0^{\circ}, \pm 12 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ の方向、原点から距離 $6$ のところにある。

形。 (1) より $0 < t < \frac{π}{6}$ では $x$ は減少、 $y$ は増加で、 $\frac{d y}{d x} = - tan 2 t$ は $0$ から $- 3$ まで減る。つまり $(6, 0)$ から出て左上に、だんだん傾きを急にしながら $(23, 2)$ へ向かう。

あとは (3) の $x$ 軸対称と $\frac{π}{3}$ 回転対称を使って、この弧を折り返し・回転させて並べればよい。

曲線

C

の概形。原点から距離

6

の6方向（

0^{\circ}, \pm 6 0^{\circ}, \pm 12 0^{\circ}, 18 0^{\circ}

）に尖点があり、その中間（

\pm 3 0^{\circ}, \pm 9 0^{\circ}, \pm 15 0^{\circ}

）で距離

4

まで内側にへこむ。点線は距離

4

と

6

の円。濃い部分が (2) で扱った

0 \leq t \leq \frac{π}{6}

の弧。

$t$ を $0$ から $2 π$ まで $601$ 点に刻んで $∣ z (t) ∣$ を計算すると、最小 $4.000000$ 、最大 $6.000000$ で、最大は $t = \frac{k π}{3}$ のところだった。

$t = \frac{k π}{3}$ では $\frac{d x}{d t}$ と $\frac{d y}{d t}$ が同時に $0$ になる。なめらかな点ではなく尖点なので、丸く描かない。

$∣ z ∣$ が $4$ と $6$ の間を6回往復する。へこみの深さ（ $4$ ）を測っておくと形が決まる。

(3) の2つの対称性を使えば、描くべきは $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の弧ひとつだけである。全部を計算しない。

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問題文について

(1)0<t<6π​ で dtdx​<0、dxdy​<0 であることを示す

(2)C の 0≤t≤6π​ の部分、x 軸、直線 y=3​1​x で囲まれた図形の面積を求める

(3)C が x 軸に関して対称であること、および C 上の点を原点中心に反時計回りに 3π​ 回転させた点が C 上にあることを示す

(4)曲線 C の概形を図示する