第1問 空間ベクトルの解答・解説

$\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(2,1,2)$ である。外積は

で、大きさは $\sqrt{4+4+1}=3$ である。$x$ 成分 $2>0$ なのでそのまま割って

である。実際 $\vec{a}\cdot \vec{n}=\frac{2-2+0}{3}=0$、$\vec{b}\cdot \vec{n}=\frac{4-2-2}{3}=0$ となっている。

外積を使わないなら $\vec{n}=(p,q,r)$ とおいて $p+q=0$、$2p+q+2r=0$、$p^2+q^2+r^2=1$ を解く。$q=-p$、$r=-\frac{p}{2}$ から同じ答えになる。

平面 $\alpha$ は $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通る、すなわち原点を通り $\vec{n}$ を法線とする平面である。$\mathrm{P}(4,0,-1)$ について

である（$\mathrm{P}$ から平面までの距離が $3$ で、$\vec{n}$ の側にある）。対称点は

である。

確かめ。 中点は $\left(2,2,0\right)$ で、$\vec{n}$ との内積は $\frac{4-4-0}{3}=0$ だから平面上にある。また $\overrightarrow{{\mathrm{PP}}^{\prime }}=(-4,4,2)=-6\vec{n}$ で $\vec{n}$ に平行である。

$\mathrm{R}$ が平面 $\alpha$ 上にあるとき、対称性から $\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|=\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{R}}\right|$ である。よって

であり（三角不等式）、等号は $\mathrm{R}$ が線分 ${\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}$ 上にあるときである。

反対側にあるか。 $\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}\cdot \vec{n}=-3$、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \vec{n}=\frac{8-0-5}{3}=1$ で符号が逆なので、線分 ${\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}$ は平面 $\alpha$ と交わる。その交点が求める $\mathrm{R}$ である。

交点。 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}+s\left(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}\right)$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\cdot \vec{n}=0$ より

である。$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}=(4,-4,4)$ だから

すなわち $\mathrm{R}(3,1,4)$ である。

最小値。 $\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}}\right|=\sqrt{4^2+(-4{)}^2+4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ である。