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九州大学　2022年度　前期日程　理科系

九大理系 2022年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　空間ベクトル

外積・単位法線ベクトル・平面に関する対称点・折れ線の最短当サイトの体感難易度：標準

(1) $a, b$ の両方に垂直で、 $x$ 成分が正、大きさが $1$ のベクトル $n$ を求める

答 $n = \frac{1}{3} (2, - 2, - 1)$

外積 $a \times b$ が両方に垂直なベクトルを与える。あとは大きさで割り、 $x$ 成分の符号を合わせる。

$a = (1, 1, 0)$ 、 $b = (2, 1, 2)$ である。外積は

a \times b = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 2 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = (2, - 2, - 1)

で、大きさは $4 + 4 + 1 = 3$ である。 $x$ 成分 $2 > 0$ なのでそのまま割って

n = \frac{1}{3} (2, - 2, - 1)

である。実際 $a \cdot n = \frac{2 - 2 + 0}{3} = 0$ 、 $b \cdot n = \frac{4 - 2 - 2}{3} = 0$ となっている。

外積を使わないなら $n = (p, q, r)$ とおいて $p + q = 0$ 、 $2 p + q + 2 r = 0$ 、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 1$ を解く。 $q = - p$ 、 $r = - \frac{p}{2}$ から同じ答えになる。

$a \cdot n = b \cdot n = 0$ 、 $∣ n ∣ = 1$ を数値で確かめた。

「 $x$ 成分が正」という条件で向きが1つに決まる。 $- n$ のほうを答えない。

大きさ $1$ にするのを忘れない。 $(2, - 2, - 1)$ のままでは $∣ n ∣ = 3$ である。

(2)平面 $α$ に関して点 $P$ と対称な点 $P^{'}$ の座標を求める

答 $P^{'} (0, 4, 1)$

平面 $α$ は原点を通るので、 $P$ から平面までの符号つき距離は $OP \cdot n$ である。対称点はそのぶんを2回ぶん戻した点になる。

平面 $α$ は $O, A, B$ を通る、すなわち原点を通り $n$ を法線とする平面である。 $P (4, 0, - 1)$ について

OP \cdot n = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot ( - 2 ) + ( - 1 ) \cdot ( - 1 )}{3} = \frac{8 + 1}{3} = 3

である（ $P$ から平面までの距離が $3$ で、 $n$ の側にある）。対称点は

OP^{'} = OP - 2 (OP \cdot n) n = (4, 0, - 1) - 6 \cdot \frac{1}{3} (2, - 2, - 1) = (4, 0, - 1) - (4, - 4, - 2) = (0, 4, 1)

である。

確かめ。 中点は $(2, 2, 0)$ で、 $n$ との内積は $\frac{4 - 4 - 0}{3} = 0$ だから平面上にある。また $PP^{'} = (- 4, 4, 2) = - 6 n$ で $n$ に平行である。

中点 $(2, 2, 0)$ が平面上にあり、 $PP^{'}$ が $n$ の $- 6$ 倍であることを確かめた。

$2 (OP \cdot n) n$ の $2$ を忘れると、対称点ではなく垂線の足になる。

平面が原点を通るので定数項がない。通らない平面ならここに平行移動が入る。

(3) $R$ が平面 $α$ 上を動くとき $PR + RQ$ が最小となる $R$ の座標を求める

答 $R (3, 1, 4)$ （最小値は $43$ ）

$R$ が平面上にあるかぎり $PR = P^{'} R$ なので、求めるのは「 $P^{'}$ と $Q$ を結ぶ折れ線の長さの最小」である。 $P^{'}$ と $Q$ が平面の反対側にあれば、線分 $P^{'} Q$ と平面の交点が答えになる。

$R$ が平面 $α$ 上にあるとき、対称性から $PR = P^{'} R$ である。よって

PR + RQ = P^{'} R + RQ \geq P^{'} Q

であり（三角不等式）、等号は $R$ が線分 $P^{'} Q$ 上にあるときである。

反対側にあるか。 $OP^{'} \cdot n = - 3$ 、 $OQ \cdot n = \frac{8 - 0 - 5}{3} = 1$ で符号が逆なので、線分 $P^{'} Q$ は平面 $α$ と交わる。その交点が求める $R$ である。

交点。 $OR = OP^{'} + s (OQ - OP^{'})$ とおくと、 $OR \cdot n = 0$ より

- 3 + s (1 - (- 3)) = 0 ⟹ s = \frac{3}{4}

である。 $OQ - OP^{'} = (4, - 4, 4)$ だから

OR = (0, 4, 1) + \frac{3}{4} (4, - 4, 4) = (3, 1, 4)

すなわち $R (3, 1, 4)$ である。

最小値。 $P^{'} Q = 4^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2} = 48 = 43$ である。

平面上の点を $801 \times 801$ 通りに刻んで直接最小を探すと $6.928203$ で $R = (3, 1, 4)$ となり、 $43 = 6.928203$ と一致した。

「平面に関する対称点に飛ばす」のが定石である。 $P$ のまま最小化しようとすると2変数の計算になる。

$P^{'}$ と $Q$ が平面の反対側にあることを確かめる。同じ側だと線分が平面と交わらず、答えが変わる。

$R$ が本当に平面 $α$ 上にあるか（ $OR \cdot n = \frac{6 - 2 - 4}{3} = 0$ ）を最後に確かめておく。

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第2問　整式

剰余の定理・重根と微分・因数分解・極限当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C$ をみたす実数 $A, B, C$ と整式 $Q (x)$ が存在することを示す

答 $x^{n}$ を3次式 $(x - α) (x - β)^{2}$ で割った余り（2次以下）を $A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C$ の形に書き直せばよい

まず割り算をして商 $Q$ と余り $R$ （2次以下）を作る。次に、2次以下の整式はどれも $(x - α) (x - β)$ 、 $(x - α)$ 、 $1$ の1次結合で書けることを言う。

割り算。 $(x - α) (x - β)^{2}$ は3次式なので、 $x^{n}$ をこれで割ると

x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + R (x), R は 2 次以下

となる整式 $Q, R$ がただ1組定まる。

余りを書き直す。 $R (x) = p x^{2} + q x + r$ とする。

A = p, B = R^{'} (β) のかわりに次のように順に決める

というより、 $A, B, C$ を次の順に決めればよい。まず $A = p$ （ $x^{2}$ の係数）とすると

R (x) - A (x - α) (x - β)

は $x^{2}$ の係数が $p - A = 0$ になるので1次以下である。これを $B x + C^{'}$ と書き、さらに $B$ を使って

B x + C^{'} = B (x - α) + (C^{'} + B α)

と直し、 $C = C^{'} + B α$ とおく。すると

R (x) = A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C

となる。 $A, B, C$ はいずれも実数である（ $p, q, r, α, β$ が実数だから）。以上で題意の表し方が存在する。

$(x - α) (x - β)$ 、 $x - α$ 、 $1$ はそれぞれ2次・1次・0次なので、次数の高いほうから順に係数を合わせていける。一般に「次数がすべて異なる $n + 1$ 個の整式は、 $n$ 次以下の整式を1通りに表す」という形になっている。

$n = 3$ 、 $α = 2$ 、 $β = 5$ でやってみると $x^{3} = (x - 2) (x - 5)^{2} \cdot 1 + 10 (x - 2) (x - 5) + 39 (x - 2) + 8$ となり、確かに書ける。

$n \geq 3$ なので $x^{n}$ は3次式で割れる。 $Q (x)$ の存在は整式の割り算そのものである。

「存在を示せ」なので、具体的に $A, B, C$ を作る手順を書けばよい。一意性までは問われていない。

(2) $A, B, C$ を $n, α, β$ で表す

答 $C = α^{n}$ 、 $B = \frac{β ^{n} - α ^{n}}{β - α}$ 、 $A = \frac{n β ^{n - 1} ( β - α ) - ( β ^{n} - α ^{n} )}{( β - α ) ^{2}}$

$x = α$ を代入すると $C$ が、 $x = β$ を代入すると $B$ が出る。 $A$ は両辺を微分して $x = β$ を代入すればよい。 $(x - β)^{2}$ があるので、微分しても $Q$ の項は消える。

$x = α$ を代入。 右辺は $C$ だけが残るので

C = α^{n}

である。

$x = β$ を代入。 右辺は $B (β - α) + C$ なので

β^{n} = B (β - α) + α^{n} ⟹ B = \frac{β ^{n} - α ^{n}}{β - α}

である（ $α \neq = β$ なので割ってよい）。

両辺を微分して $x = β$ 。 左辺の導関数は $n x^{n - 1}$ 。右辺の第1項 $(x - α) (x - β)^{2} Q (x)$ の導関数は

(x - β)^{2} Q + 2 (x - α) (x - β) Q + (x - α) (x - β)^{2} Q^{'}

で、3項とも $(x - β)$ を因数にもつから $x = β$ で $0$ になる。第2項の導関数は $A {(x - β) + (x - α)}$ で $x = β$ では $A (β - α)$ 、第3項は $B$ 、第4項は $0$ である。よって

n β^{n - 1} = A (β - α) + B

すなわち

A = \frac{n β ^{n - 1} - B}{β - α} = \frac{n β ^{n - 1} ( β - α ) - ( β ^{n} - α ^{n} )}{( β - α ) ^{2}}

である。

$n, α, β$ を $3000$ 組ランダムにとり、 $x^{n} - A (x - α) (x - β) - B (x - α) - C$ が $x = α$ で $0$ 、 $x = β$ で値も微分係数も $0$ になることを確かめた。

$A$ を出すのに微分を使う。 $(x - β)^{2}$ があるおかげで、微分しても未知の $Q$ が顔を出さない。

$x = β$ の代入だけでは $B$ しか出ない。 $A$ には「 $β$ が重根に近い」という情報が要る。

$B$ の式は $β^{n - 1} + β^{n - 2} α + \dots + α^{n - 1}$ とも書ける。(3) ではこちらが使いやすい。

(3) $n, α$ を固定して $β \to α$ としたときの $β \to α lim A$ を求める

答 $\frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2}$

$β^{n} - α^{n} = (β - α) (β^{n - 1} + β^{n - 2} α + \dots + α^{n - 1})$ で約分すると、 $A$ は $\frac{0}{0}$ の形がひとつほどける。もう一度同じ因数分解を使えば極限が見える。

$β^{n} - α^{n} = (β - α) k = 0 \sum n - 1 β^{n - 1 - k} α^{k}$ を使うと

A = \frac{( β - α ) { n β ^{n - 1} - \sum _{k = 0}^{n - 1} β ^{n - 1 - k} α ^{k} }}{( β - α ) ^{2}} = \frac{n β ^{n - 1} - \sum _{k = 0}^{n - 1} β ^{n - 1 - k} α ^{k}}{β - α}

である。分子の $n β^{n - 1}$ を $\sum_{k = 0}^{n - 1} β^{n - 1}$ （ $n$ 個の和）と見ると

A = k = 0 \sum n - 1 \frac{β ^{n - 1} - β ^{n - 1 - k} α ^{k}}{β - α} = k = 0 \sum n - 1 β^{n - 1 - k} \cdot \frac{β ^{k} - α ^{k}}{β - α}

となる。ここでもう一度同じ因数分解を使うと

\frac{β ^{k} - α ^{k}}{β - α} = j = 0 \sum k - 1 β^{k - 1 - j} α^{j}

で（ $k = 0$ のときは $0$ ）、これは $β \to α$ のとき $k α^{k - 1}$ に収束する（ $k$ 個の項がすべて $α^{k - 1}$ に近づく）。また $β^{n - 1 - k} \to α^{n - 1 - k}$ である。したがって

β \to α lim A = k = 0 \sum n - 1 α^{n - 1 - k} \cdot k α^{k - 1} = α^{n - 2} k = 0 \sum n - 1 k = \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2}

である。

この値は $_{n} C_{2} α^{n - 2}$ 、つまり $x^{n}$ を $x = α$ のまわりで $(x - α)$ の整式に展開したときの $(x - α)^{2}$ の係数である。 $β = α$ にすると $(x - α)^{3}$ で割った余りを求める問題になる、と思えば自然な答えである。

$n = 3, α = 2$ で $β = α + 1 0^{- 5}$ とすると $A = 6.000012$ 、 $\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot 2 = 6$ 。 $n = 5, α = 1.5$ で $33.750449$ 、理論値 $33.75$ 。 $n = 7, α = - 1.2$ で $- 52.2533$ 、理論値 $- 52.2547$ と、いずれも近づいた。

$(β - α)^{2}$ が分母にあるので、約分を2回ぶん進める必要がある。1回では $\frac{0}{0}$ が残る。

$\sum_{k = 0}^{n - 1} k = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。 $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ としない。

$α = 0$ のときも、 $n \geq 3$ なら $α^{n - 2} = 0$ で式は成り立つ。

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第3問　整数

互いに素・平方数の余り・倍数の証明・解の構成当サイトの体感難易度：難

(1) $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ が互いに素な整数であることを示す

答 $n$ は奇数なので両方とも整数で、差が $1$ だから最大公約数は $1$

まず $n$ が奇数であることを言う。 $n$ が偶数だと左辺が偶数、右辺が奇数になって矛盾する。あとは2つの差が $1$ であることを使う。

$n$ は奇数。 $210 m^{2}$ は偶数なので $1 + 210 m^{2}$ は奇数である。よって $n^{4}$ は奇数で、 $n$ も奇数である。

整数であること。 $n$ が奇数なら $n^{2}$ も奇数なので、 $n^{2} + 1$ と $n^{2} - 1$ はどちらも偶数である。よって $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ はともに整数である。

互いに素。 $d$ を2つの正の公約数とすると、 $d$ は差

\frac{n ^{2} + 1}{2} - \frac{n ^{2} - 1}{2} = 1

も割り切る。よって $d = 1$ で、2つは互いに素である。

$n = 41$ では $\frac{1681 + 1}{2} = 841$ 、 $\frac{1681 - 1}{2} = 840$ で、 $841 = 2 9^{2}$ 、 $840$ と互いに素である。

「整数であること」と「互いに素であること」の2つを示す。奇数であることがその両方の土台になる。

連続する2整数は互いに素、という形に持ち込む。 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ と $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ は連続している。

(2) $n^{2} - 1$ が $168$ の倍数であることを示す

答 $168 = 8 \cdot 3 \cdot 7$ で、 $8 ∣ n^{2} - 1$ （ $n$ 奇数）、 $3 ∣ n^{2} - 1$ 、 $7 ∣ n^{2} - 1$ をそれぞれ示す

$168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ と素因数分解する。 $8$ は「奇数の平方は $8$ で割って $1$ 余る」から。 $3$ と $7$ は、 $n^{4} \equiv 1$ であることから $n^{2} \equiv 1$ を導く。

$168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ なので、 $8, 3, 7$ の倍数であることを順に示す。

$8$ の倍数。 (1) より $n$ は奇数である。 $n = 2 k + 1$ とすると

n^{2} - 1 = 4 k (k + 1)

で、 $k (k + 1)$ は連続2整数の積だから偶数である。よって $n^{2} - 1$ は $8$ の倍数である。

$3$ の倍数。 ① より $n^{4} - 1 = 210 m^{2}$ は $3$ の倍数なので $n^{4} \equiv 1 (mod 3)$ である。 $n^{2}$ を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ で、 $n^{4} = (n^{2})^{2}$ の余りはそれぞれ $0, 1$ だから、 $n^{4} \equiv 1$ となるのは $n^{2} \equiv 1 (mod 3)$ のときに限る。よって $3 ∣ n^{2} - 1$ 。

$7$ の倍数。 同じく $7 ∣ 210 m^{2} = n^{4} - 1$ より $n^{4} \equiv 1 (mod 7)$ である。 $n^{2}$ を $7$ で割った余りは $0, 1, 2, 4$ のいずれかで、 $n^{4}$ の余りはそれぞれ

0^{2} = 0, 1^{2} = 1, 2^{2} = 4, 4^{2} = 16 \equiv 2 (mod 7)

となる。 $n^{4} \equiv 1$ になるのは $n^{2} \equiv 1 (mod 7)$ のときだけである。よって $7 ∣ n^{2} - 1$ 。

$8, 3, 7$ はどの2つも互いに素なので、 $n^{2} - 1$ は $8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ の倍数である。

$n = 41$ で $n^{2} - 1 = 1680 = 168 \times 10$ であり、確かに $168$ の倍数である。

$168 = 8 \cdot 21$ と分けて、 $8$ と $3$ と $7$ を別々に示す。 $168$ をそのまま扱おうとしない。

$n^{4} \equiv 1$ から $n^{2} \equiv 1$ を出すところが要点である。 $n^{2} \equiv - 1$ も $n^{4} \equiv 1$ をみたしうるので、法 $3$ ・法 $7$ では $- 1$ が平方数の余りに現れないことを確かめる必要がある。表を作るのが確実である。

平方数を $7$ で割った余りは $0, 1, 2, 4$ の4通りである。 $3, 5, 6$ は現れない。

(3)① をみたす自然数の組 $(m, n)$ を1つ求める

答 $(m, n) = (116, 41)$

(2) より $n^{2} - 1 = 168 k$ と書ける。これを ① に入れて整理すると $m^{2} = \frac{8 k ( 84 k + 1 )}{5}$ となり、 $k$ を小さいほうから試せる。

(2) より $n^{2} = 168 k + 1$ （ $k$ は自然数）と書ける。 $n^{2} + 1 = 168 k + 2$ なので

210 m^{2} = n^{4} - 1 = (n^{2} - 1) (n^{2} + 1) = 168 k (168 k + 2) = 336 k (84 k + 1)

である。両辺を $42$ で割ると

5 m^{2} = 8 k (84 k + 1)

となる。 $k$ を小さいほうから試す。

$k = 1$ ： $8 \cdot 85 = 680$ 、 $m^{2} = 136$ 。平方数でない。
$k = 5$ ： $40 \cdot 421 = 16840$ 、 $m^{2} = 3368$ 。 $5 8^{2} = 3364$ で平方数でない。
$k = 10$ ： $80 \cdot 841 = 67280$ 、 $m^{2} = 13456 = 11 6^{2}$ 。◯

$k = 10$ のとき $n^{2} = 168 \cdot 10 + 1 = 1681 = 4 1^{2}$ だから $n = 41$ 、 $m = 116$ である。

確かめ。

4 1^{4} = 168 1^{2} = 2825761, 1 + 210 \cdot 11 6^{2} = 1 + 210 \cdot 13456 = 2825761

で一致する。よって $(m, n) = (116, 41)$ である。

$841 = 2 9^{2}$ 、 $840 = 4 \cdot 210$ となっていて、 $\frac{n ^{2} + 1}{2} = 2 9^{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2} = 4 \cdot 210$ である。(1) の「互いに素」から、 $2 \cdot \frac{n ^{2} - 1}{2} \cdot \frac{n ^{2} + 1}{2} = 105 m^{2}$ の素因数がどちらに振り分けられるかを考えると、この形に行き着く。

$1 \leq n \leq 299$ 、 $1 \leq m \leq 1999$ を全探索すると、① をみたすのは $(m, n) = (116, 41)$ だけだった。

「1つ求めよ」なので、見つけたら代入して確かめれば十分である。すべて求める必要はない。

$n$ をそのまま探すと $4 1^{4} = 2825761$ まで届かない。 $n^{2} - 1 = 168 k$ に直して $k$ で探すと手が届く。

$5 m^{2} = 8 k (84 k + 1)$ なので、 $5$ が $8 k (84 k + 1)$ を割り切る必要がある。 $k = 10$ はこれをみたす。

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第4問　積分法

定積分の定義・導関数の定義・平均値の定理・区分求積法当サイトの体感難易度：やや難

(1) ${F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)$ を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から $\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ を示す

答差分商を2つに分け、それぞれの極限が存在することから和の極限を得る。あとは $F + G$ が $f + g$ の原始関数になることを ① に入れる

どちらも定義どおりに書き下すだけである。前半は「極限の和は和の極限」、後半は「 $F + G$ が $f + g$ の原始関数」という一言で済む。

前半。 $H (x) = F (x) + G (x)$ とおくと、 $h \neq = 0$ について

\frac{H ( x + h ) - H ( x )}{h} = \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} + \frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h}

である。 $F, G$ は微分可能なので、 $h \to 0$ のとき右辺の2つの極限はそれぞれ $F^{'} (x)$ 、 $G^{'} (x)$ として存在する。極限の和の性質より左辺の極限も存在して

H^{'} (x) = F^{'} (x) + G^{'} (x)

である。

後半。 $F^{'} = f$ 、 $G^{'} = g$ となる $F, G$ をとる。前半より

(F + G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g

なので、 $F + G$ は $f + g$ の原始関数である。定義 ① を $f + g$ に対して使うと

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = {F (b) + G (b)} - {F (a) + G (a)} = {F (b) - F (a)} + {G (b) - G (a)} = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

である（最後の等号で $f, g$ それぞれに ① を使った）。

$f = x^{2}$ 、 $g = sin x$ 、 $[a, b] = [0, 1]$ で両辺を計算すると、どちらも $\frac{1}{3} + 1 - cos 1$ になる。

「極限が存在するから分けてよい」の順に書く。 $F^{'}, G^{'}$ が存在することが仮定である。

定義 ① は「原始関数の差」である。原始関数の取り方によらないと問題文にあるので、好きな $F, G$ をとってよい。

(2)定積分の定義 ① と平均値の定理を用いて、 $a < b$ かつ区間 $a \leq x \leq b$ で $g (x) > 0$ ならば $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$ であることを示す

答原始関数 $G$ に平均値の定理を使うと $\int_{a}^{b} g = G (b) - G (a) = g (c) (b - a) > 0$

① より定積分は $G (b) - G (a)$ である。 $G$ は微分可能なので平均値の定理が使え、 $G (b) - G (a) = G^{'} (c) (b - a) = g (c) (b - a)$ となる。あとは符号を見るだけ。

$G^{'} (x) = g (x)$ となる $G$ をとる。定義 ① より

\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a)

である。 $G$ は区間 $a \leq x \leq b$ で微分可能（したがって連続）なので、平均値の定理より

G (b) - G (a) = G^{'} (c) (b - a) = g (c) (b - a)

をみたす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。仮定より $g (c) > 0$ 、また $a < b$ より $b - a > 0$ だから

\int_{a}^{b} g (x) d x = g (c) (b - a) > 0

である。

この (2) は、性質 (C) を「差 $g - h$ に適用する」形で使うときの土台になる。 $g \geq h$ なら $\int (g - h) \geq 0$ 、すなわち $\int g \geq \int h$ である。

$g (x) = x^{2} + 1 > 0$ 、 $[a, b] = [0, 2]$ で $\int = \frac{8}{3} + 2 > 0$ となり、確かに正である。

「 $g > 0$ だから積分も正」は直感では当たり前だが、ここでは定義 ① からきちんと導くことが求められている。

平均値の定理を使う対象は $g$ ではなく原始関数 $G$ である。

(3)空欄アに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

答ア $=$ (C)

$f$ が増加関数なので、小区間 $[\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}]$ 上では $f$ の値が両端の値の間にある。これを定数関数と比べるのが性質 (C) である。定数の定積分は ① から直接計算できる。

空欄アは (C)（大小関係が定積分に移る性質）である。

定数の定積分。 定数 $k$ に対し $(k x)^{'} = k$ なので、① より

\int_{a}^{b} k d x = k b - k a = k (b - a)

である。

不等式 ②。 $f$ は増加関数なので、 $\frac{i - 1}{n} \leq x \leq \frac{i}{n}$ では

f (\frac{i - 1}{n}) \leq f (x) \leq f (\frac{i}{n})

が成り立つ。左の不等式に (C) を（ $g = f$ 、 $h =$ 定数 $f (\frac{i - 1}{n})$ として）適用すると

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x \geq \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (\frac{i - 1}{n}) d x = f (\frac{i - 1}{n}) \cdot \frac{1}{n}

である（区間の幅が $\frac{i}{n} - \frac{i - 1}{n} = \frac{1}{n}$ ）。右の不等式に同じく (C) を適用すると

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x \leq f (\frac{i}{n}) \cdot \frac{1}{n}

である。2つを合わせて ② が得られる。

$f (x) = x^{3} + e^{x}$ 、 $n = 10$ 、 $i = 4$ で $\frac{1}{10} f (0.3) = 0.1619$ 、 $\int_{0.3}^{0.4} f = 0.1697$ 、 $\frac{1}{10} f (0.4) = 0.1856$ となり、② のとおり挟まれている。

区間の幅が $\frac{1}{n}$ であることから $\frac{1}{n}$ が出る。 $f$ の値そのものが積分値になるのではない。

$f$ が増加関数だから、左端で最小・右端で最大になる。減少関数なら不等号が逆になる。

(4)空欄イに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す

答イ $=$ (B)

$\int_{0}^{1}$ を $n$ 個の小区間の和に分けるのが性質 (B) である。② を $i = 1$ から $n$ まで足すと、左側から $S_{n}$ が、右側から「右端和」が出てくる。2つの差は途中が打ち消し合って $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}$ になる。

空欄イは (B)（区間を分けて足す性質）である。これを繰り返し使うと

\int_{0}^{1} f (x) d x = i = 1 \sum n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x

である。

左側の不等式。 ② の左側を $i = 1$ から $n$ まで足すと

\int_{0}^{1} f (x) d x \geq i = 1 \sum n \frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) = S_{n}

すなわち $\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} \geq 0$ である。

右側の不等式。 ② の右側を足すと

\int_{0}^{1} f (x) d x \leq i = 1 \sum n \frac{1}{n} f (\frac{i}{n}) = T_{n}

とおける。ここで

T_{n} - S_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n {f (\frac{i}{n}) - f (\frac{i - 1}{n})} = \frac{1}{n} {f (1) - f (0)}

である（途中の項が次々に打ち消し合う）。したがって

\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} \leq T_{n} - S_{n} = \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}

となり、2つを合わせて ③ が示された。

$f$ が増加関数なので $f (1) - f (0) \geq 0$ であり、③ の右辺は $n \to \infty$ で $0$ に収束する。はさみうちの原理から $S_{n} \to \int_{0}^{1} f (x) d x$ がしたがう。これが区分求積法である。

$f (x) = x^{3} + e^{x}$ （増加関数、 $f (1) - f (0) = e$ ）で $n = 100$ とすると $\int_{0}^{1} f - S_{n} = 0.01351$ で、 $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n} = 0.02718$ 以下である。 $f (x) = x + 1$ でも $n = 10, 100, 1000$ で ③ が成り立った。

(B) は「 $a \leq c \leq b$ のとき2つに分ける」形だが、これを繰り返せば $n$ 個に分けられる。そのことを一言添えておく。

$S_{n}$ は左端の値を使う和である。 $T_{n}$ （右端の和）と取り違えない。

$T_{n} - S_{n}$ が望遠鏡のように打ち消し合うのが要点。 $f (1) - f (0)$ だけが残る。

第4問だけのページ

第5問　積分法

媒介変数表示・和積の公式・面積・対称性と回転当サイトの体感難易度：難

(1) $0 < t < \frac{π}{6}$ で $\frac{d x}{d t} < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} < 0$ であることを示す

答 $\frac{d x}{d t} = - 10 sin 3 t cos 2 t < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} = - tan 2 t < 0$

微分したあと和積の公式でまとめると、因数の符号が一目で分かる形になる。

微分して和積の公式を使う。

\frac{d x}{d t} = - 5 sin t - 5 sin 5 t = - 5 (sin 5 t + sin t) = - 10 sin 3 t cos 2 t

\frac{d y}{d t} = 5 cos t - 5 cos 5 t = - 5 (cos 5 t - cos t) = 10 sin 3 t sin 2 t

である（ $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ 、 $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ ）。

符号。 $0 < t < \frac{π}{6}$ のとき $0 < 3 t < \frac{π}{2}$ なので $sin 3 t > 0$ 、 $0 < 2 t < \frac{π}{3}$ なので $cos 2 t > 0$ 、 $sin 2 t > 0$ である。よって

\frac{d x}{d t} = - 10 sin 3 t cos 2 t < 0

である。また $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ なので

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{10 sin 3 t sin 2 t}{- 10 sin 3 t cos 2 t} = - tan 2 t

となり、 $0 < 2 t < \frac{π}{3}$ では $tan 2 t > 0$ だから $\frac{d y}{d x} < 0$ である。

$t = 0.01, 0.2, 0.4, 0.52$ で数値微分と式が一致し、どれも $\frac{d x}{d t} < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} = - tan 2 t < 0$ だった。

和積でまとめると $sin 3 t$ が共通因数として出て、 $\frac{d y}{d x}$ で約分される。これをしないと符号が読みにくい。

$\frac{d y}{d x}$ を出すには $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ が要る。先に $\frac{d x}{d t} < 0$ を示しておく順番がよい。

(2) $C$ の $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の部分、 $x$ 軸、直線 $y = \frac{1}{3} x$ で囲まれた図形の面積を求める

答 $\frac{5 π}{3}$

両端が $x$ 軸上と直線上にあるので、閉じた曲線になる。面積は $\frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ で求まり、 $x$ 軸と原点を通る直線の上ではこの被積分式が $0$ になるので、曲線の部分だけ積分すればよい。

両端。 $t = 0$ では

x = 5 + 1 = 6, y = 0 - 0 = 0

で $x$ 軸上の点 $(6, 0)$ 。 $t = \frac{π}{6}$ では

x = 5 \cdot \frac{3}{2} + (- \frac{3}{2}) = 23, y = 5 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2

で、 $\frac{2 3}{3} = 2$ だから直線 $y = \frac{1}{3} x$ の上にある。よって「原点 $\to (6, 0)$ （ $x$ 軸） $\to$ 曲線 $\to (23, 2) \to$ 原点（直線）」が閉じた道になる。

面積の公式。 閉曲線で囲まれた面積は $\frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ である。原点を通る直線 $y = k x$ 上では $x d y - y d x = x \cdot k d x - k x d x = 0$ 、 $x$ 軸（ $y = 0$ 、 $d y = 0$ ）でも $0$ なので、この2つの辺は寄与しない。したがって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) d t

である。

被積分関数。 (1) の式を使って計算すると

x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t} = 5 (5 cos t + cos 5 t) (cos t - cos 5 t) + 5 (5 sin t - sin 5 t) (sin t + sin 5 t) = 5 [5 (cos^{2} t + sin^{2} t) - (cos^{2} 5 t + sin^{2} 5 t) - 4 (cos t cos 5 t - sin t sin 5 t)] = 5 (5 - 1 - 4 cos 6 t) = 20 (1 - cos 6 t)

である（ $cos t cos 5 t - sin t sin 5 t = cos 6 t$ ）。よって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 20 (1 - cos 6 t) d t = 10 [t - \frac{sin 6 t}{6}]_{0}^{\frac{π}{6}} = 10 \cdot \frac{π}{6} = \frac{5 π}{3}

である（ $sin π = 0$ ）。 $5.236$ ほどである。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π /6} (x y^{'} - y x^{'}) d t$ を $40$ 万点で数値積分すると $5.2359878$ となり、 $\frac{5 π}{3} = 5.2359878$ と一致した。

$x d y - y d x$ は「原点を通る直線」の上では $0$ になる。この問題では境界の2辺がどちらもそうなので、曲線だけ積分すればよい。

$cos t cos 5 t - sin t sin 5 t$ は $cos (t + 5 t) = cos 6 t$ である。符号と和を間違えない。

$(23, 2)$ が直線 $y = \frac{1}{3} x$ 上にあることを確かめておく。ここがずれていると図形が閉じない。

(3) $C$ が $x$ 軸に関して対称であること、および $C$ 上の点を原点中心に反時計回りに $\frac{π}{3}$ 回転させた点が $C$ 上にあることを示す

答 $t \mapsto - t$ で $(x, - y)$ になり、複素数で書くと $z (t) = 5 e^{i t} + e^{- 5 i t}$ 、 $e^{i \frac{π}{3}} z (t) = z (t + \frac{π}{3})$

対称性は $t \to - t$ の代入でただちに出る。回転のほうは、 $x + i y$ を複素数でまとめると見通しがよい。

$x$ 軸対称。 $t$ を $- t$ に置き換えると

x (- t) y (- t) = 5 cos (- t) + cos (- 5 t) = 5 cos t + cos 5 t = x (t) = 5 sin (- t) - sin (- 5 t) = - 5 sin t + sin 5 t = - y (t)

である。 $t$ が範囲を動けば $- t$ も（周期 $2 π$ で読み替えて）範囲を動くので、 $C$ 上の点 $(x, y)$ に対して $(x, - y)$ も $C$ 上にある。すなわち $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

回転。 $C$ 上の点を複素数 $z (t) = x + i y$ で表すと

z (t) = (5 cos t + cos 5 t) + i (5 sin t - sin 5 t) = 5 (cos t + i sin t) + (cos 5 t - i sin 5 t) = 5 e^{i t} + e^{- 5 i t}

である（ここで $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ と略記した）。原点中心に $\frac{π}{3}$ 回転させるのは $e^{i \frac{π}{3}}$ を掛けることだから

e^{i \frac{π}{3}} z (t) = 5 e^{i (t + \frac{π}{3})} + e^{i \frac{π}{3}} e^{- 5 i t}

である。一方

z (t + \frac{π}{3}) = 5 e^{i (t + \frac{π}{3})} + e^{- 5 i (t + \frac{π}{3})} = 5 e^{i (t + \frac{π}{3})} + e^{- 5 i t} e^{- i \frac{5 π}{3}}

で、 $e^{- i \frac{5 π}{3}} = e^{- i \frac{5 π}{3} + 2 π i} = e^{i \frac{π}{3}}$ だから、2つは一致する。すなわち

e^{i \frac{π}{3}} z (t) = z (t + \frac{π}{3})

である。右辺は $C$ 上の点（ $t + \frac{π}{3}$ を周期 $2 π$ で範囲に入れ直す）なので、回転させた点は $C$ 上にある。

複素数を使わなくても、加法定理で $x cos \frac{π}{3} - y sin \frac{π}{3}$ と $x sin \frac{π}{3} + y cos \frac{π}{3}$ を計算して $x (t + \frac{π}{3})$ 、 $y (t + \frac{π}{3})$ に一致することを示せばよい。式は長くなる。

$t = 0.3, 1.1, - 2.5$ で $x (- t) = x (t)$ 、 $y (- t) = - y (t)$ 、 $e^{iπ /3} z (t) = z (t + \frac{π}{3})$ がすべて $1 0^{- 12}$ 以内で成り立った。

$e^{- 5 i (t + \frac{π}{3})}$ の指数は $- 5 t - \frac{5 π}{3}$ である。 $- \frac{5 π}{3}$ と $+ \frac{π}{3}$ が $2 π$ 違いで同じ、というのが鍵。

$t + \frac{π}{3}$ が与えられた範囲 $- π \leq t < π$ をはみ出すことがある。周期 $2 π$ なので読み替えてよいと断っておく。

(4)曲線 $C$ の概形を図示する

答原点から見て $6$ の距離に6個の尖点をもち、その間で $4$ まで内側にへこむ、6回対称の閉曲線（外サイクロイド）

(3) の2つの対称性で、 $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の一部分だけ描けば全体が復元できる。 $∣ z (t) ∣$ の最大・最小と、 $\frac{d z}{d t} = 0$ になる点（尖点）を押さえる。

大きさ。 $z (t) = 5 e^{i t} + e^{- 5 i t}$ の2項の偏角は $t$ と $- 5 t$ で、差は $6 t$ である。よって

∣ z (t) ∣^{2} = 25 + 1 + 2 \cdot 5 cos 6 t = 26 + 10 cos 6 t

である。 $cos 6 t = 1$ （ $t = \frac{k π}{3}$ ）で最大 $36 = 6$ 、 $cos 6 t = - 1$ （ $t = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ ）で最小 $16 = 4$ になる。

尖点。 (1) の式より $\frac{d x}{d t} = \frac{d y}{d t} = 0$ となるのは $sin 3 t = 0$ 、すなわち $t = \frac{k π}{3}$ のときである。このとき $∣ z ∣ = 6$ で、曲線は向きを変える。 $k = 0, \pm 1, \pm 2, 3$ の6個の尖点が、偏角 $0^{\circ}, \pm 6 0^{\circ}, \pm 12 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ の方向、原点から距離 $6$ のところにある。

形。 (1) より $0 < t < \frac{π}{6}$ では $x$ は減少、 $y$ は増加で、 $\frac{d y}{d x} = - tan 2 t$ は $0$ から $- 3$ まで減る。つまり $(6, 0)$ から出て左上に、だんだん傾きを急にしながら $(23, 2)$ へ向かう。

あとは (3) の $x$ 軸対称と $\frac{π}{3}$ 回転対称を使って、この弧を折り返し・回転させて並べればよい。

曲線

C

の概形。原点から距離

6

の6方向（

0^{\circ}, \pm 6 0^{\circ}, \pm 12 0^{\circ}, 18 0^{\circ}

）に尖点があり、その中間（

\pm 3 0^{\circ}, \pm 9 0^{\circ}, \pm 15 0^{\circ}

）で距離

4

まで内側にへこむ。点線は距離

4

と

6

の円。濃い部分が (2) で扱った

0 \leq t \leq \frac{π}{6}

の弧。

$t$ を $0$ から $2 π$ まで $601$ 点に刻んで $∣ z (t) ∣$ を計算すると、最小 $4.000000$ 、最大 $6.000000$ で、最大は $t = \frac{k π}{3}$ のところだった。

$t = \frac{k π}{3}$ では $\frac{d x}{d t}$ と $\frac{d y}{d t}$ が同時に $0$ になる。なめらかな点ではなく尖点なので、丸く描かない。

$∣ z ∣$ が $4$ と $6$ の間を6回往復する。へこみの深さ（ $4$ ）を測っておくと形が決まる。

(3) の2つの対称性を使えば、描くべきは $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の弧ひとつだけである。全部を計算しない。

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問題文について

(1)a,b の両方に垂直で、x 成分が正、大きさが 1 のベクトル n を求める

(2)平面 α に関して点 P と対称な点 P′ の座標を求める

(3)R が平面 α 上を動くとき ​PR​+​RQ​​ が最小となる R の座標を求める

(1)xn=(x−α)(x−β)2Q(x)+A(x−α)(x−β)+B(x−α)+C をみたす実数 A,B,C と整式 Q(x) が存在することを示す

(2)A,B,C を n,α,β で表す

(3)n,α を固定して β→α としたときの β→αlim​A を求める

(1)2n2+1​、2n2−1​ が互いに素な整数であることを示す

(2)n2−1 が 168 の倍数であることを示す

(3)① をみたす自然数の組 (m,n) を1つ求める

(1){F(x)+G(x)}′=F′(x)+G′(x) を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から ∫ab​{f(x)+g(x)}dx=∫ab​f(x)dx+∫ab​g(x)dx を示す

(2)定積分の定義 ① と平均値の定理を用いて、a<b かつ区間 a≤x≤b で g(x)>0 ならば ∫ab​g(x)dx>0 であることを示す

(3)空欄 ア に入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

(4)空欄 イ に入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す

(1)0<t<6π​ で dtdx​<0、dxdy​<0 であることを示す

(2)C の 0≤t≤6π​ の部分、x 軸、直線 y=3​1​x で囲まれた図形の面積を求める

(3)C が x 軸に関して対称であること、および C 上の点を原点中心に反時計回りに 3π​ 回転させた点が C 上にあることを示す

(4)曲線 C の概形を図示する

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(1) $a, b$ の両方に垂直で、 $x$ 成分が正、大きさが $1$ のベクトル $n$ を求める

(2)平面 $α$ に関して点 $P$ と対称な点 $P^{'}$ の座標を求める

(3) $R$ が平面 $α$ 上を動くとき $PR + RQ$ が最小となる $R$ の座標を求める

(1) $x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C$ をみたす実数 $A, B, C$ と整式 $Q (x)$ が存在することを示す

(2) $A, B, C$ を $n, α, β$ で表す

(3) $n, α$ を固定して $β \to α$ としたときの $β \to α lim A$ を求める

(1) $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ が互いに素な整数であることを示す

(2) $n^{2} - 1$ が $168$ の倍数であることを示す

(3)① をみたす自然数の組 $(m, n)$ を1つ求める

(1) ${F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)$ を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から $\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ を示す

(2)定積分の定義 ① と平均値の定理を用いて、 $a < b$ かつ区間 $a \leq x \leq b$ で $g (x) > 0$ ならば $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$ であることを示す

(3)空欄アに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

(4)空欄イに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す

(1) $0 < t < \frac{π}{6}$ で $\frac{d x}{d t} < 0$ 、 $\frac{d y}{d x} < 0$ であることを示す

(2) $C$ の $0 \leq t \leq \frac{π}{6}$ の部分、 $x$ 軸、直線 $y = \frac{1}{3} x$ で囲まれた図形の面積を求める

(3) $C$ が $x$ 軸に関して対称であること、および $C$ 上の点を原点中心に反時計回りに $\frac{π}{3}$ 回転させた点が $C$ 上にあることを示す

(4)曲線 $C$ の概形を図示する