第3問整数の解答・解説

互いに素・平方数の余り・倍数の証明・解の構成当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ が互いに素な整数であることを示す

答 $n$ は奇数なので両方とも整数で、差が $1$ だから最大公約数は $1$

まず $n$ が奇数であることを言う。 $n$ が偶数だと左辺が偶数、右辺が奇数になって矛盾する。あとは2つの差が $1$ であることを使う。

$n$ は奇数。 $210 m^{2}$ は偶数なので $1 + 210 m^{2}$ は奇数である。よって $n^{4}$ は奇数で、 $n$ も奇数である。

整数であること。 $n$ が奇数なら $n^{2}$ も奇数なので、 $n^{2} + 1$ と $n^{2} - 1$ はどちらも偶数である。よって $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ はともに整数である。

互いに素。 $d$ を2つの正の公約数とすると、 $d$ は差

\frac{n ^{2} + 1}{2} - \frac{n ^{2} - 1}{2} = 1

も割り切る。よって $d = 1$ で、2つは互いに素である。

$n = 41$ では $\frac{1681 + 1}{2} = 841$ 、 $\frac{1681 - 1}{2} = 840$ で、 $841 = 2 9^{2}$ 、 $840$ と互いに素である。

「整数であること」と「互いに素であること」の2つを示す。奇数であることがその両方の土台になる。

連続する2整数は互いに素、という形に持ち込む。 $\frac{n ^{2} - 1}{2}$ と $\frac{n ^{2} + 1}{2}$ は連続している。

(2) $n^{2} - 1$ が $168$ の倍数であることを示す

答 $168 = 8 \cdot 3 \cdot 7$ で、 $8 ∣ n^{2} - 1$ （ $n$ 奇数）、 $3 ∣ n^{2} - 1$ 、 $7 ∣ n^{2} - 1$ をそれぞれ示す

$168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ と素因数分解する。 $8$ は「奇数の平方は $8$ で割って $1$ 余る」から。 $3$ と $7$ は、 $n^{4} \equiv 1$ であることから $n^{2} \equiv 1$ を導く。

$168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ なので、 $8, 3, 7$ の倍数であることを順に示す。

$8$ の倍数。 (1) より $n$ は奇数である。 $n = 2 k + 1$ とすると

n^{2} - 1 = 4 k (k + 1)

で、 $k (k + 1)$ は連続2整数の積だから偶数である。よって $n^{2} - 1$ は $8$ の倍数である。

$3$ の倍数。 ① より $n^{4} - 1 = 210 m^{2}$ は $3$ の倍数なので $n^{4} \equiv 1 (mod 3)$ である。 $n^{2}$ を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ で、 $n^{4} = (n^{2})^{2}$ の余りはそれぞれ $0, 1$ だから、 $n^{4} \equiv 1$ となるのは $n^{2} \equiv 1 (mod 3)$ のときに限る。よって $3 ∣ n^{2} - 1$ 。

$7$ の倍数。 同じく $7 ∣ 210 m^{2} = n^{4} - 1$ より $n^{4} \equiv 1 (mod 7)$ である。 $n^{2}$ を $7$ で割った余りは $0, 1, 2, 4$ のいずれかで、 $n^{4}$ の余りはそれぞれ

0^{2} = 0, 1^{2} = 1, 2^{2} = 4, 4^{2} = 16 \equiv 2 (mod 7)

となる。 $n^{4} \equiv 1$ になるのは $n^{2} \equiv 1 (mod 7)$ のときだけである。よって $7 ∣ n^{2} - 1$ 。

$8, 3, 7$ はどの2つも互いに素なので、 $n^{2} - 1$ は $8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ の倍数である。

$n = 41$ で $n^{2} - 1 = 1680 = 168 \times 10$ であり、確かに $168$ の倍数である。

$168 = 8 \cdot 21$ と分けて、 $8$ と $3$ と $7$ を別々に示す。 $168$ をそのまま扱おうとしない。

$n^{4} \equiv 1$ から $n^{2} \equiv 1$ を出すところが要点である。 $n^{2} \equiv - 1$ も $n^{4} \equiv 1$ をみたしうるので、法 $3$ ・法 $7$ では $- 1$ が平方数の余りに現れないことを確かめる必要がある。表を作るのが確実である。

平方数を $7$ で割った余りは $0, 1, 2, 4$ の4通りである。 $3, 5, 6$ は現れない。

(3)① をみたす自然数の組 $(m, n)$ を1つ求める

答 $(m, n) = (116, 41)$

(2) より $n^{2} - 1 = 168 k$ と書ける。これを ① に入れて整理すると $m^{2} = \frac{8 k ( 84 k + 1 )}{5}$ となり、 $k$ を小さいほうから試せる。

(2) より $n^{2} = 168 k + 1$ （ $k$ は自然数）と書ける。 $n^{2} + 1 = 168 k + 2$ なので

210 m^{2} = n^{4} - 1 = (n^{2} - 1) (n^{2} + 1) = 168 k (168 k + 2) = 336 k (84 k + 1)

である。両辺を $42$ で割ると

5 m^{2} = 8 k (84 k + 1)

となる。 $k$ を小さいほうから試す。

$k = 1$ ： $8 \cdot 85 = 680$ 、 $m^{2} = 136$ 。平方数でない。
$k = 5$ ： $40 \cdot 421 = 16840$ 、 $m^{2} = 3368$ 。 $5 8^{2} = 3364$ で平方数でない。
$k = 10$ ： $80 \cdot 841 = 67280$ 、 $m^{2} = 13456 = 11 6^{2}$ 。◯

$k = 10$ のとき $n^{2} = 168 \cdot 10 + 1 = 1681 = 4 1^{2}$ だから $n = 41$ 、 $m = 116$ である。

確かめ。

4 1^{4} = 168 1^{2} = 2825761, 1 + 210 \cdot 11 6^{2} = 1 + 210 \cdot 13456 = 2825761

で一致する。よって $(m, n) = (116, 41)$ である。

$841 = 2 9^{2}$ 、 $840 = 4 \cdot 210$ となっていて、 $\frac{n ^{2} + 1}{2} = 2 9^{2}$ 、 $\frac{n ^{2} - 1}{2} = 4 \cdot 210$ である。(1) の「互いに素」から、 $2 \cdot \frac{n ^{2} - 1}{2} \cdot \frac{n ^{2} + 1}{2} = 105 m^{2}$ の素因数がどちらに振り分けられるかを考えると、この形に行き着く。