独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問4問・無料

九州大学　2022年度　前期日程　理科系

第4問積分法の解答・解説

定積分の定義・導関数の定義・平均値の定理・区分求積法当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) ${F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)$ を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から $\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ を示す

答差分商を2つに分け、それぞれの極限が存在することから和の極限を得る。あとは $F + G$ が $f + g$ の原始関数になることを ① に入れる

どちらも定義どおりに書き下すだけである。前半は「極限の和は和の極限」、後半は「 $F + G$ が $f + g$ の原始関数」という一言で済む。

前半。 $H (x) = F (x) + G (x)$ とおくと、 $h \neq = 0$ について

\frac{H ( x + h ) - H ( x )}{h} = \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} + \frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h}

である。 $F, G$ は微分可能なので、 $h \to 0$ のとき右辺の2つの極限はそれぞれ $F^{'} (x)$ 、 $G^{'} (x)$ として存在する。極限の和の性質より左辺の極限も存在して

H^{'} (x) = F^{'} (x) + G^{'} (x)

である。

後半。 $F^{'} = f$ 、 $G^{'} = g$ となる $F, G$ をとる。前半より

(F + G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g

なので、 $F + G$ は $f + g$ の原始関数である。定義 ① を $f + g$ に対して使うと

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = {F (b) + G (b)} - {F (a) + G (a)} = {F (b) - F (a)} + {G (b) - G (a)} = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

である（最後の等号で $f, g$ それぞれに ① を使った）。

$f = x^{2}$ 、 $g = sin x$ 、 $[a, b] = [0, 1]$ で両辺を計算すると、どちらも $\frac{1}{3} + 1 - cos 1$ になる。

「極限が存在するから分けてよい」の順に書く。 $F^{'}, G^{'}$ が存在することが仮定である。

定義 ① は「原始関数の差」である。原始関数の取り方によらないと問題文にあるので、好きな $F, G$ をとってよい。

(2)定積分の定義 ① と平均値の定理を用いて、 $a < b$ かつ区間 $a \leq x \leq b$ で $g (x) > 0$ ならば $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$ であることを示す

答原始関数 $G$ に平均値の定理を使うと $\int_{a}^{b} g = G (b) - G (a) = g (c) (b - a) > 0$

① より定積分は $G (b) - G (a)$ である。 $G$ は微分可能なので平均値の定理が使え、 $G (b) - G (a) = G^{'} (c) (b - a) = g (c) (b - a)$ となる。あとは符号を見るだけ。

$G^{'} (x) = g (x)$ となる $G$ をとる。定義 ① より

\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a)

である。 $G$ は区間 $a \leq x \leq b$ で微分可能（したがって連続）なので、平均値の定理より

G (b) - G (a) = G^{'} (c) (b - a) = g (c) (b - a)

をみたす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。仮定より $g (c) > 0$ 、また $a < b$ より $b - a > 0$ だから

\int_{a}^{b} g (x) d x = g (c) (b - a) > 0

である。

この (2) は、性質 (C) を「差 $g - h$ に適用する」形で使うときの土台になる。 $g \geq h$ なら $\int (g - h) \geq 0$ 、すなわち $\int g \geq \int h$ である。

$g (x) = x^{2} + 1 > 0$ 、 $[a, b] = [0, 2]$ で $\int = \frac{8}{3} + 2 > 0$ となり、確かに正である。

「 $g > 0$ だから積分も正」は直感では当たり前だが、ここでは定義 ① からきちんと導くことが求められている。

平均値の定理を使う対象は $g$ ではなく原始関数 $G$ である。

(3)空欄アに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

答ア $=$ (C)

$f$ が増加関数なので、小区間 $[\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}]$ 上では $f$ の値が両端の値の間にある。これを定数関数と比べるのが性質 (C) である。定数の定積分は ① から直接計算できる。

空欄アは (C)（大小関係が定積分に移る性質）である。

定数の定積分。 定数 $k$ に対し $(k x)^{'} = k$ なので、① より

\int_{a}^{b} k d x = k b - k a = k (b - a)

である。

不等式 ②。 $f$ は増加関数なので、 $\frac{i - 1}{n} \leq x \leq \frac{i}{n}$ では

f (\frac{i - 1}{n}) \leq f (x) \leq f (\frac{i}{n})

が成り立つ。左の不等式に (C) を（ $g = f$ 、 $h =$ 定数 $f (\frac{i - 1}{n})$ として）適用すると

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x \geq \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (\frac{i - 1}{n}) d x = f (\frac{i - 1}{n}) \cdot \frac{1}{n}

である（区間の幅が $\frac{i}{n} - \frac{i - 1}{n} = \frac{1}{n}$ ）。右の不等式に同じく (C) を適用すると

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x \leq f (\frac{i}{n}) \cdot \frac{1}{n}

である。2つを合わせて ② が得られる。

$f (x) = x^{3} + e^{x}$ 、 $n = 10$ 、 $i = 4$ で $\frac{1}{10} f (0.3) = 0.1619$ 、 $\int_{0.3}^{0.4} f = 0.1697$ 、 $\frac{1}{10} f (0.4) = 0.1856$ となり、② のとおり挟まれている。

区間の幅が $\frac{1}{n}$ であることから $\frac{1}{n}$ が出る。 $f$ の値そのものが積分値になるのではない。

$f$ が増加関数だから、左端で最小・右端で最大になる。減少関数なら不等号が逆になる。

(4)空欄イに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す

答イ $=$ (B)

$\int_{0}^{1}$ を $n$ 個の小区間の和に分けるのが性質 (B) である。② を $i = 1$ から $n$ まで足すと、左側から $S_{n}$ が、右側から「右端和」が出てくる。2つの差は途中が打ち消し合って $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}$ になる。

空欄イは (B)（区間を分けて足す性質）である。これを繰り返し使うと

\int_{0}^{1} f (x) d x = i = 1 \sum n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x

である。

左側の不等式。 ② の左側を $i = 1$ から $n$ まで足すと

\int_{0}^{1} f (x) d x \geq i = 1 \sum n \frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) = S_{n}

すなわち $\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} \geq 0$ である。

右側の不等式。 ② の右側を足すと

\int_{0}^{1} f (x) d x \leq i = 1 \sum n \frac{1}{n} f (\frac{i}{n}) = T_{n}

とおける。ここで

T_{n} - S_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n {f (\frac{i}{n}) - f (\frac{i - 1}{n})} = \frac{1}{n} {f (1) - f (0)}

である（途中の項が次々に打ち消し合う）。したがって

\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} \leq T_{n} - S_{n} = \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}

となり、2つを合わせて ③ が示された。

$f$ が増加関数なので $f (1) - f (0) \geq 0$ であり、③ の右辺は $n \to \infty$ で $0$ に収束する。はさみうちの原理から $S_{n} \to \int_{0}^{1} f (x) d x$ がしたがう。これが区分求積法である。

$f (x) = x^{3} + e^{x}$ （増加関数、 $f (1) - f (0) = e$ ）で $n = 100$ とすると $\int_{0}^{1} f - S_{n} = 0.01351$ で、 $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n} = 0.02718$ 以下である。 $f (x) = x + 1$ でも $n = 10, 100, 1000$ で ③ が成り立った。