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九州大学　2022年度　前期日程　理科系

第2問整式の解答・解説

剰余の定理・重根と微分・因数分解・極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C$ をみたす実数 $A, B, C$ と整式 $Q (x)$ が存在することを示す

答 $x^{n}$ を3次式 $(x - α) (x - β)^{2}$ で割った余り（2次以下）を $A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C$ の形に書き直せばよい

まず割り算をして商 $Q$ と余り $R$ （2次以下）を作る。次に、2次以下の整式はどれも $(x - α) (x - β)$ 、 $(x - α)$ 、 $1$ の1次結合で書けることを言う。

割り算。 $(x - α) (x - β)^{2}$ は3次式なので、 $x^{n}$ をこれで割ると

x^{n} = (x - α) (x - β)^{2} Q (x) + R (x), R は 2 次以下

となる整式 $Q, R$ がただ1組定まる。

余りを書き直す。 $R (x) = p x^{2} + q x + r$ とする。

A = p, B = R^{'} (β) のかわりに次のように順に決める

というより、 $A, B, C$ を次の順に決めればよい。まず $A = p$ （ $x^{2}$ の係数）とすると

R (x) - A (x - α) (x - β)

は $x^{2}$ の係数が $p - A = 0$ になるので1次以下である。これを $B x + C^{'}$ と書き、さらに $B$ を使って

B x + C^{'} = B (x - α) + (C^{'} + B α)

と直し、 $C = C^{'} + B α$ とおく。すると

R (x) = A (x - α) (x - β) + B (x - α) + C

となる。 $A, B, C$ はいずれも実数である（ $p, q, r, α, β$ が実数だから）。以上で題意の表し方が存在する。

$(x - α) (x - β)$ 、 $x - α$ 、 $1$ はそれぞれ2次・1次・0次なので、次数の高いほうから順に係数を合わせていける。一般に「次数がすべて異なる $n + 1$ 個の整式は、 $n$ 次以下の整式を1通りに表す」という形になっている。

$n = 3$ 、 $α = 2$ 、 $β = 5$ でやってみると $x^{3} = (x - 2) (x - 5)^{2} \cdot 1 + 10 (x - 2) (x - 5) + 39 (x - 2) + 8$ となり、確かに書ける。

$n \geq 3$ なので $x^{n}$ は3次式で割れる。 $Q (x)$ の存在は整式の割り算そのものである。

「存在を示せ」なので、具体的に $A, B, C$ を作る手順を書けばよい。一意性までは問われていない。

(2) $A, B, C$ を $n, α, β$ で表す

答 $C = α^{n}$ 、 $B = \frac{β ^{n} - α ^{n}}{β - α}$ 、 $A = \frac{n β ^{n - 1} ( β - α ) - ( β ^{n} - α ^{n} )}{( β - α ) ^{2}}$

$x = α$ を代入すると $C$ が、 $x = β$ を代入すると $B$ が出る。 $A$ は両辺を微分して $x = β$ を代入すればよい。 $(x - β)^{2}$ があるので、微分しても $Q$ の項は消える。

$x = α$ を代入。 右辺は $C$ だけが残るので

C = α^{n}

である。

$x = β$ を代入。 右辺は $B (β - α) + C$ なので

β^{n} = B (β - α) + α^{n} ⟹ B = \frac{β ^{n} - α ^{n}}{β - α}

である（ $α \neq = β$ なので割ってよい）。

両辺を微分して $x = β$ 。 左辺の導関数は $n x^{n - 1}$ 。右辺の第1項 $(x - α) (x - β)^{2} Q (x)$ の導関数は

(x - β)^{2} Q + 2 (x - α) (x - β) Q + (x - α) (x - β)^{2} Q^{'}

で、3項とも $(x - β)$ を因数にもつから $x = β$ で $0$ になる。第2項の導関数は $A {(x - β) + (x - α)}$ で $x = β$ では $A (β - α)$ 、第3項は $B$ 、第4項は $0$ である。よって

n β^{n - 1} = A (β - α) + B

すなわち

A = \frac{n β ^{n - 1} - B}{β - α} = \frac{n β ^{n - 1} ( β - α ) - ( β ^{n} - α ^{n} )}{( β - α ) ^{2}}

である。

$n, α, β$ を $3000$ 組ランダムにとり、 $x^{n} - A (x - α) (x - β) - B (x - α) - C$ が $x = α$ で $0$ 、 $x = β$ で値も微分係数も $0$ になることを確かめた。

$A$ を出すのに微分を使う。 $(x - β)^{2}$ があるおかげで、微分しても未知の $Q$ が顔を出さない。

$x = β$ の代入だけでは $B$ しか出ない。 $A$ には「 $β$ が重根に近い」という情報が要る。

$B$ の式は $β^{n - 1} + β^{n - 2} α + \dots + α^{n - 1}$ とも書ける。(3) ではこちらが使いやすい。

(3) $n, α$ を固定して $β \to α$ としたときの $β \to α lim A$ を求める

答 $\frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2}$

$β^{n} - α^{n} = (β - α) (β^{n - 1} + β^{n - 2} α + \dots + α^{n - 1})$ で約分すると、 $A$ は $\frac{0}{0}$ の形がひとつほどける。もう一度同じ因数分解を使えば極限が見える。

$β^{n} - α^{n} = (β - α) k = 0 \sum n - 1 β^{n - 1 - k} α^{k}$ を使うと

A = \frac{( β - α ) { n β ^{n - 1} - \sum _{k = 0}^{n - 1} β ^{n - 1 - k} α ^{k} }}{( β - α ) ^{2}} = \frac{n β ^{n - 1} - \sum _{k = 0}^{n - 1} β ^{n - 1 - k} α ^{k}}{β - α}

である。分子の $n β^{n - 1}$ を $\sum_{k = 0}^{n - 1} β^{n - 1}$ （ $n$ 個の和）と見ると

A = k = 0 \sum n - 1 \frac{β ^{n - 1} - β ^{n - 1 - k} α ^{k}}{β - α} = k = 0 \sum n - 1 β^{n - 1 - k} \cdot \frac{β ^{k} - α ^{k}}{β - α}

となる。ここでもう一度同じ因数分解を使うと

\frac{β ^{k} - α ^{k}}{β - α} = j = 0 \sum k - 1 β^{k - 1 - j} α^{j}

で（ $k = 0$ のときは $0$ ）、これは $β \to α$ のとき $k α^{k - 1}$ に収束する（ $k$ 個の項がすべて $α^{k - 1}$ に近づく）。また $β^{n - 1 - k} \to α^{n - 1 - k}$ である。したがって

β \to α lim A = k = 0 \sum n - 1 α^{n - 1 - k} \cdot k α^{k - 1} = α^{n - 2} k = 0 \sum n - 1 k = \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{n - 2}

である。

この値は $_{n} C_{2} α^{n - 2}$ 、つまり $x^{n}$ を $x = α$ のまわりで $(x - α)$ の整式に展開したときの $(x - α)^{2}$ の係数である。 $β = α$ にすると $(x - α)^{3}$ で割った余りを求める問題になる、と思えば自然な答えである。

$n = 3, α = 2$ で $β = α + 1 0^{- 5}$ とすると $A = 6.000012$ 、 $\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot 2 = 6$ 。 $n = 5, α = 1.5$ で $33.750449$ 、理論値 $33.75$ 。 $n = 7, α = - 1.2$ で $- 52.2533$ 、理論値 $- 52.2547$ と、いずれも近づいた。