第5問 積分法の解答・解説

$x=t+2{\sin }^{2}t=t+1-\cos 2t$ なので

である。$0<t<\pi$ では $\cos t>-1$ なので $\frac{dy}{dt}>0$、つまり $\frac{dy}{dt}$ は決して $0$ にならない。

$\frac{dx}{dt}=0$ を解く。 $\sin 2t=-\frac{1}{2}$ で、$0<t<\pi$ より $0<2t<2\pi$ だから

の2つである。どちらでも $\frac{dy}{dt}>0$ なので、接線は $y$ 軸に平行になる。

異なる直線か。 2つの $t$ での $x$ 座標を比べる。$x=t+1-\cos 2t$ で $\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos \frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ だから

と異なる。よって求める直線は2つである。

$y\le x$ となる $t$ の範囲。 $x-y=2{\sin }^{2}t-\sin t=\sin t\left(2\sin t-1\right)$ で、$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ だから

である。両端 $t=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ では $x=y$ となり、$C$ は直線 $y=x$ 上にある。

$x$ は $y$ の関数。 $\frac{dy}{dt}=1+\cos t>0$ なので、$y$ は $t$ について狭義増加である。したがって $C$ 上の点は $y$ の値で一意に決まり、$x$ を $y$ の関数とみてよい（$x$ のほうは (1) で見たとおり増減するが、面積計算には関係しない）。

面積。 同じ $y$ に対する「曲線の $x$」と「直線の $x(=y)$」の差を $y$ で積分すればよい。$dy=(1+\cos t)dt$ だから

である。展開すると

で、4つの項を順に積分する。

1. ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}2{\sin }^{2}tdt=[t-\frac{1}{2}\sin 2t{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}=\left(\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)-\left(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(-\sin t)dt=[\cos t{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$
3. ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}2{\sin }^{2}t\cos tdt=[\frac{2}{3}{\sin }^{3}t{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}=\frac{1}{12}-\frac{1}{12}=0$
4. ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(-\sin t\cos t)dt=[\frac{1}{4}\cos 2t{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=0$

足し合わせて

である（$1.2284$ ほど）。